3.2.3直线的一般式方程（教案）
教学目标：
1、知识与能力：
⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）
⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）；
2、过程与方法：
⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。
⑵学会分类讨论及掌握讨论的分界点；
3、情感、态度与价值观：
体验数学发现和探索的历程，发展创新意识
教学重点：
直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的理解
教学难点：
⑴直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）与二元一次方程关系的深入理解
⑵直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的应用。
教学方法：
引导探究法、讨论法
教学过程：
创设情境，引入新课：
1、复习：写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出其局限性：
过点(x0,y0)与x轴垂直的直线可表示成x=x0，
过点(x0,y0)与y轴垂直的直线可表示成 y=y0。
2、 问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？ 提 示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？（这些方程都是关于x 、y 的二元一次方程） 猜 测：直线和二元一次方程有着一定的关系。
新课探究： 问题：
（1）．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是y-1=2(x-2), （2）．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是y=1, （3）．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是x=2,
思考1 ：以上方程是否都可以用 Ax+By+C=0表示？任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示？
答： 2x-y-3=0 y-1=0 x-2=0
在平面直角坐标系中，每一条直线有斜率k 存在和k 不存在两种情况下，直线方程可分别写为y kx b =+和1x x =两种形式，它们又都可以变形为Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）的形式，即：直线Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）
【结论：】在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示。
思考2：对于任意一个二元一次方程Ax+By+C=0（A ，B 不同时为零）能否表示一条直线？
证明：（1）当B ≠0时,方程可变形为B
C x B A y --=它表示过点 （0，-B
C ）斜率为-B
A 的直线
（2） 当B=0时 因为A ，B 不同时为0所以A ≠0 则有Ax=-C 即x=-A
C
这表示的是与x 轴垂直的直线
【结论：】 每个一个二元一次方程Ax+By+C=0（A ，B 不同时为零）都表示一条直线。
由上面讨论可知,
(1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y 的二元一次方程表示,
(2)关于x,y 的二元一次方程都表示一条直线. 1.直线的一般式方程
我们把关于x,y 的二元一次方程Ax+By+C=0 (A,B 不同时为零) 叫做直线的一般式方程,简称一般式
注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定： （1）、一般按含x 项、含y 项、常数项顺序排列 （2）、x 项的系数为正；
（3）、x ，y 的系数和常数项一般不出现分数；
（4）、无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一般式。
深入探究：
二元一次方程Ax+By+C=0的系数A,B 和常数项C 对直线的位置的影响:
①平行与x 轴 A=0 , B ≠0 ,C ≠0; ②平行与y 轴 B=0 , A ≠0 , C ≠0; ③与x 轴重合 A=0 , B ≠0 ,C=0; ④与y 轴重合 B=0 , A ≠0, C=0; ⑤过原点 C=0，A 、B 不同时为0; 例题分析：
例1、已知直线经过点A （6，-4）斜率为-3
4，求直线的点斜式方程，一般式方程和截距式方程。
解：经过点A （6，-4）斜率为-3
4的直线的点斜式方程为y+4=-34(x-6)化为一般式为4x+3y-12=0截距式方程为14
3=+y x 说明：在讨论直线问题时，常常将直线方程的形式相互转化。
例2 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式： 1.经过点P(3,-2),Q(5,-4); 解：直线的两点式方程为3
53
)2(4)2(--=
-----x y 化为一般式方程为
x+y-1=0
2.在x 轴,y 轴上的截距分别是2，3 解：直线的截距式方程为 13
2=+y x 化为一般式 方程为
3x+2y-6=0
说明：在遇到问题时，根据条件写出适当形式的方程，然后再化为一般式。
课堂小结：
1、关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0 (A,B不同时为零) 叫做直线的一般式方程,简称一般式。
2、二元一次方程Ax+By+C=0的系数A,B和常数项C对直线的位置的影响:
①平行与x轴 A=0 , B≠0 ,C≠0;
②平行与y轴 B=0 , A≠0 , C≠0;
③与x轴重合 A=0 , B≠0 ,C=0;
④与y轴重合 B=0 , A≠0, C=0;
⑤过原点 C=0，A、B不同时为0;
课后作业：
1、必做题；课本P100习题3.2 A组第4、10题
2、选做题：课本P101习题3.2 B组第2、
3、4题
板书设计：
8．2．3直线的一般式方程
1、直线的一般式方程
2、系数A,B和常数项C对直线的位置的影响: 例1
例2
作业
《直线的一般式方程》教案
曲沃县中等职业技术学校
吴瑞瑞
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