人教版初中数学二次函数知识点一、选择题1.抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示,下列判断中:①abc <0;②a +b +c >0;③5a -c =0;④当x <或x >6时,y 1>y 2,其中正确的个数有( )A .1B .2C .3D .4【答案】C【解析】【分析】【详解】 解:根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知:a >0,b <0,c >0,则abc <0,则①正确;根据图形可得:当x=1时函数值为零,则a+b+c=0,则②错误;根据函数对称轴可得:-2b a=3,则b=-6a ,根据a+b+c=0可知:a-6a+c=0,-5a+c=0,则5a-c=0,则③正确;根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.点睛:本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系,属于中等题目,如果函数开口向上,则a 大于零,如果函数开口向下,则a 小于零;如果函数的对称轴在y 轴左边,则b 的符号与a 相同,如果函数的对称轴在y 轴右边,则b 的符号与a 相反;如果函数与x 轴交于正半轴,则c 大于零,如果函数与x 轴交于负半轴,则c 小于零;对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时,我们需要找具体的值进行代入从而得出答案;对于两个函数值的大小比较,我们一般以函数的交点为分界线,然后进行分情况讨论.2.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,下列结论①24b ac >,②0abc <,③20a b c +->,④0a b c ++<.其中正确的是( )A .①④B .②④C .②③D .①②③④【答案】A【解析】【分析】 ①抛物线与x 轴由两个交点,则240b ac ->,即24b ac >,所以①正确;②由二次函数图象可知,0a <,0b <,0c >,所以0abc >,故②错误;③对称轴:直线12b x a=-=-,2b a =,所以24a b c a c +-=-,240a b c a c +-=-<,故③错误;④对称轴为直线1x =-,抛物线与x 轴一个交点132x -<<-,则抛物线与x 轴另一个交点201x <<,当1x =时,0y a b c =++<,故④正确.【详解】解:①∵抛物线与x 轴由两个交点,∴240b ac ->,即24b ac >,所以①正确;②由二次函数图象可知,0a <,0b <,0c >,∴0abc >,故②错误;③∵对称轴:直线12b x a=-=-, ∴2b a =,∴24a b c a c +-=-,∵0a <,40a <, 0c >,0a <,∴240a b c a c +-=-<,故③错误;④∵对称轴为直线1x =-,抛物线与x 轴一个交点132x -<<-,∴抛物线与x 轴另一个交点201x <<,当1x =时,0y a b c =++<,故④正确.故选:A .【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系,熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键.3.如图,抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0),对称轴为直线x =﹣1,当y >0时,x 的取值范围是( )A .﹣1<x <1B .﹣3<x <﹣1C .x <1D .﹣3<x <1【答案】D【解析】【分析】 根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标,即可得到答案.【详解】解:∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (1,0),对称轴为直线x =﹣1,∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是(﹣3,0),∴当y >0时,x 的取值范围是﹣3<x <1.所以答案为:D .【点睛】此题考查抛物线的性质,利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.4.如图,在四边形ABCD 中,//AD BC ,DC BC ⊥,4cm DC =,6cm BC =,3cm AD = ,动点P ,Q 同时从点B 出发,点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC --运动到点C ,点Q 以1cm/s 的速度沿BC 运动到点C ,设P ,Q 同时出发s t 时,BPQ ∆的面积为2cm y ,则y 与t 的函数图象大致是( )A .B .C .D .【答案】B【解析】【分析】分三种情况求出y 与t 的函数关系式. 当0≤t≤2.5时:P 点由B 到A ;当2.5≤t≤4时,即P 点在AD 上时;当4≤t≤6时,即P 点从D 到C 时.即可得出正确选项.【详解】解:作AE ⊥BC 于E ,根据已知可得,AB 2=42+(6-3)2,解得,AB=5cm .下面分三种情况讨论:当0≤t≤2.5时:P 点由B 到A ,21442255y t t t ==gg g ,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时,即P 点在AD 上时,1422y t t =⨯=, y 是t 的一次函数且最大值=21448cm 2⨯⨯=; 当4≤t≤6时,即P 点从D 到C 时,()21 1226,2y t t t t =⋅-=-+y 是t 的二次函数故符合y 与t 的函数图象是B .故选:B .【点睛】此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式,然后进行判断.5.将抛物线243y x x =-+平移,使它平移后图象的顶点为()2,4-,则需将该抛物线( )A .先向右平移4个单位,再向上平移5个单位B .先向右平移4个单位,再向下平移5个单位C .先向左平移4个单位,再向上平移5个单位D .先向左平移4个单位,再向下平移5个单位【答案】C【解析】【分析】先把抛物线243y x x =-+化为顶点式,再根据函数图象平移的法则进行解答即可. 【详解】∵抛物线243y x x =-+可化为()221y x =--∴其顶点坐标为:(2,−1),∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位,再向上平移5个单位. 故选C.【点睛】本题考查二次函数图像,熟练掌握平移是性质是解题关键.6.如图,正方形ABCD 中,AB =4cm ,点E 、F 同时从C 点出发,以1cm /s 的速度分别沿CB ﹣BA 、CD ﹣DA 运动,到点A 时停止运动.设运动时间为t (s ),△AEF 的面积为S (cm 2),则S (cm 2)与t (s )的函数关系可用图象表示为( )A .B .C .D .【答案】D【解析】试题分析:分类讨论:当0≤t≤4时,利用S=S 正方形ABCD ﹣S △ADF ﹣S △ABE ﹣S △CEF 可得S=﹣t 2+4t ,配成顶点式得S=﹣(t ﹣4)2+8,此时抛物线的开口向下,顶点坐标为(4,8);当4<t≤8时,直接根据三角形面积公式得到S=(8﹣t )2=(t ﹣8)2,此时抛物线开口向上,顶点坐标为(8,0),于是根据这些特征可对四个选项进行判断.解:当0≤t≤4时,S=S 正方形ABCD ﹣S △ADF ﹣S △ABE ﹣S △CEF=4•4﹣•4•(4﹣t )﹣•4•(4﹣t )﹣•t•t=﹣t 2+4t=﹣(t ﹣4)2+8;当4<t≤8时,S=•(8﹣t )2=(t ﹣8)2.故选D .考点:动点问题的函数图象.7.二次函数y =2ax bx c ++(a ≠0)图象如图所示,下列结论:①abc >0;②2a b+=0;③当m ≠1时,+a b >2am bm +;④a b c -+>0;⑤若211ax bx +=222ax bx +,且1x ≠2x ,则12x x +=2.其中正确的有( )A .①②③B .②④C .②⑤D .②③⑤【答案】D【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系,由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断【详解】解:抛物线的开口向下,则a <0;抛物线的对称轴为x=1,则-2b a=1,b=-2a ∴b>0,2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴,则c >0;由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标,是最大值,当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标,不是最大值∴+a b >2am bm +(故③正确):b >0,b+2a=0;(故②正确) 又由①②③得:abc <0 (故①错误)由图知:当x=-1时,y <0;即a-b+c <0,b >a+c ;(故④错误)⑤若211ax bx +=222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-x 2)=a(x 1+x 2)(x 1-x 2)+b(x 1-x 2)= (x 1-x 2)[a(x 1+x 2)+b]= 0∵1x ≠2x∴a(x 1+x 2)+b=0∴x 1+x 2=2b a a a-=-=2 (故⑤正确) 故选D .考点:二次函数图像与系数的关系.8.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,则下列结论:(1)4a +2b +c <0;(2)方程ax 2+bx +c =0两根都大于零;(3)y 随x 的增大而增大;(4)一次函数y =x +bc 的图象一定不过第二象限.其中正确的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C【解析】【分析】 由图可知,x=2时函数值小于0,故(1)正确,函数与x 轴的交点为x=1.x=3,都大于0,故(2)正确 ,由图像知(3)错误,由图象开口向上,a >0,与y 轴交于正半轴,c >0,对称轴x=﹣=1,故b <0,bc <0,即可判断一次函数y =x +bc 的图象.【详解】①由x =2时,y =4a +2b +c ,由图象知:y =4a +2b +c <0,故正确;②方程ax 2+bx +c =0两根分别为1,3,都大于0,故正确;③当x <2时,由图象知:y 随x 的增大而减小,故错误;④由图象开口向上,a >0,与y 轴交于正半轴,c >0,x=﹣=1>0,∴b <0, ∴bc <0,∴一次函数y =x +bc 的图象一定过第一、三、四象限,故正确;故正确的共有3个,故选:C .【点睛】此题主要考查二次函数的图像,解题的关键是熟知各系数所代表的含义.9.如图,抛物线2y ax bx c =++ 与x 轴交于点A (﹣1,0),顶点坐标(1,n ),与y 轴的交点在(0,3),(0,4)之间(包含端点),则下列结论:①abc >0;②3a +b <0;③﹣43≤a ≤﹣1;④a +b ≥am 2+bm (m 为任意实数);⑤一元二次方程2ax bx c n ++= 有两个不相等的实数根,其中正确的有( )A .2个B .3个C .4个D .5个【答案】B【解析】 解:∵抛物线开口向下,∴a <0,∵顶点坐标(1,n ),∴对称轴为直线x =1,∴2b a - =1,∴b =﹣2a >0,∵与y 轴的交点在(0,3),(0,4)之间(包含端点),∴3≤c ≤4,∴abc <0,故①错误;3a +b =3a +(﹣2a )=a <0,故②正确;∵与x 轴交于点A (﹣1,0),∴a ﹣b +c =0,∴a ﹣(﹣2a )+c =0,∴c =﹣3a ,∴3≤﹣3a ≤4,∴﹣43≤a ≤﹣1,故③正确; ∵顶点坐标为(1,n ),∴当x =1时,函数有最大值n ,∴a +b +c ≥am 2+bm +c ,∴a +b ≥am 2+bm ,故④正确;一元二次方程2ax bx c n ++=有两个相等的实数根x 1=x 2=1,故⑤错误.综上所述,结论正确的是②③④共3个.故选B .点睛:本题考查了抛物线与x 轴的交点,二次函数的性质,主要利用了二次函数的开口方向,对称轴,最值问题,以及二次函数图象上点的坐标特征,关键在于根据顶点横坐标表示出a 、b 的关系.10.某二次函数图象的顶点为()2,1-,与x 轴交于P 、Q 两点,且6PQ =.若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点,则a 、b 、c 、d 之值何者为正?( ) A .aB .bC .cD .d【答案】D【解析】【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴,开口方向和与x 轴的交点坐标,从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负,本题得以解决.【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为(2,-1),此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点,且PQ=6, ∴该函数图象开口向上,对称轴为直线x=2,∴图形与x 轴的交点为(2-3,0)=(-1,0),和(2+3,0)=(5,0),∵此函数图象通过(1,a )、(3,b )、(-1,c )、(-3,d )四点,∴a <0,b <0,c=0,d >0,故选:D .【点睛】此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.11.若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点(﹣1,0),则方程220ax ax c -+=的解为( )A .13x =-,21x =-B .11x =,23x =C .11x =-,23x =D .13x =-,21x =【答案】C【解析】【分析】【详解】∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点(﹣1,0),∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为:x=﹣1,∵抛物线的对称轴为:直线x=1,∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为:(3,0),∴方程220ax ax c -+=的解为:11x =-,23x =. 故选C .考点:抛物线与x 轴的交点.12.抛物线y=–x 2+bx+c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表所示:从上表可知,下列说法错误的是A .抛物线与x 轴的一个交点坐标为(–2,0)B .抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)C .抛物线的对称轴是直线x=0D .抛物线在对称轴左侧部分是上升的 【答案】C【解析】【分析】【详解】解:当x=-2时,y=0,∴抛物线过(-2,0),∴抛物线与x 轴的一个交点坐标为(-2,0),故A 正确;当x=0时,y=6,∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6),故B 正确;当x=0和x=1时,y=6,∴对称轴为x=12,故C 错误; 当x <12时,y 随x 的增大而增大, ∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的,故D 正确;故选C .13.二次函数y=﹣x 2+mx 的图象如图,对称轴为直线x=2,若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0(t 为实数)在1<x <5的范围内有解,则t 的取值范围是( )A .t >﹣5B .﹣5<t <3C .3<t≤4D .﹣5<t≤4【答案】D【解析】【分析】 先根据对称轴x=2求得m 的值,然后求得x=1和x=5时y 的值,最后根据图形的特点,得出直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4.【详解】∵抛物线的对称轴为x =2,∴22m -=-,m=4 如图,关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x 2+mx 与直线y=t 的交点的横坐标当x=1时,y=3,当x=5时,y=﹣5,由图象可知关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0(t 为实数)在1<x <5的范围内有解, 则直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4,∴﹣5<t≤4.故选:D .【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系,方程有解,反映在图象上即图象与x 轴(或某直线)有交点.14.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax 2+bx 与y=bx+a 的图象可能是( )A .B .C .D .【答案】C【解析】试题解析:A 、对于直线y=bx+a 来说,由图象可以判断,a >0,b >0;而对于抛物线y=ax 2+bx 来说,对称轴x=﹣2b a<0,应在y 轴的左侧,故不合题意,图形错误. B 、对于直线y=bx+a 来说,由图象可以判断,a <0,b <0;而对于抛物线y=ax 2+bx 来说,图象应开口向下,故不合题意,图形错误.C 、对于直线y=bx+a 来说,由图象可以判断,a <0,b >0;而对于抛物线y=ax 2+bx 来说,图象开口向下,对称轴x=﹣2b a位于y 轴的右侧,故符合题意, D 、对于直线y=bx+a 来说,由图象可以判断,a >0,b >0;而对于抛物线y=ax 2+bx 来说,图象开口向下,a <0,故不合题意,图形错误.故选C .考点:二次函数的图象;一次函数的图象.15.如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过点A (3,0),对称轴为直线x =1,给出以下结论:①abc <0;②3a +c =0;③ax 2+bx ≤a +b ;④若M (﹣0.5,y 1)、N (2.5,y 2)为函数图象上的两点,则y 1<y 2.其中正确的是( )A .①③④B .①②3④C .①②③D .②③④【答案】C【解析】【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【详解】解:①由图象可知:a <0,c >0,由对称轴可知:2b a ->0, ∴b >0,∴abc <0,故①正确;②由对称轴可知:2b a-=1, ∴b =﹣2a ,∵抛物线过点(3,0),∴0=9a+3b+c ,∴9a ﹣6a+c =0,∴3a+c =0,故②正确;③当x =1时,y 取最大值,y 的最大值为a+b+c ,当x 取全体实数时,ax 2+bx+c≤a+b+c ,即ax 2+bx≤a+b ,故③正确;④(﹣0.5,y 1)关于对称轴x =1的对称点为(2.5,y 1):∴y1=y2,故④错误;故选:C.【点睛】本题考查二次函数,解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质,本题属于中等题型.16.已知抛物线y=x2+2x上三点A(﹣5,y1),B(2.5,y2),C(12,y3),则y1,y2,y3满足的关系式为()A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y2<y1<y3 D.y3<y1<y2【答案】C【解析】【分析】首先求出抛物线y=x2+2x的对称轴,对称轴为直线x=-1;然后根据A、B、C的横坐标与对称轴的位置,接着利用抛物线的增减性质即可求解;由B离对称轴最近,A次之,C最远,则对应y的值大小可确定.【详解】∵抛物线y=x2+2x,∴x=-1,而A(-5,y1),B(2.5,y2),C(12,y3),∴B离对称轴最近,A次之,C最远,∴y2<y1<y3.故选:C.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,二次函数图象上点的坐标特征等知识点,能熟记二次函数的性质是解此题的关键.17.如图1,△ABC中,∠A=30°,点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A→C→B运动,点Q从点A出发以vcm/s的速度沿AB运动,P,Q两点同时出发,当某一点运动到点B 时,两点同时停止运动.设运动时间为x(s),△APQ的面积为y(cm2),y关于x的函数图象由C1,C2两段组成,如图2所示,有下列结论:①v=1;②sin B=13;③图象C2段的函数表达式为y=﹣13x2+103x;④△APQ面积的最大值为8,其中正确有()A.①②B.①②④C.①③④D.①②③④【答案】A 【解析】【分析】①根据题意列出y=12AP•AQ•sin A,即可解答②根据图像可知PQ同时到达B,则AB=5,AC+CB=10,再代入即可③把sin B=13,代入解析式即可④根据题意可知当x=﹣522ba=时,y最大=2512【详解】①当点P在AC上运动时,y=12AP•AQ•sin A=12×2x•vx=vx2,当x=1,y=12时,得v=1,故此选项正确;②由图象可知,PQ同时到达B,则AB=5,AC+CB=10,当P在BC上时y=12•x•(10﹣2x)•sin B,当x=4,y=43时,代入解得sin B=13,故此选项正确;③∵sin B=13,∴当P在BC上时y=12•x(10﹣2x)×13=﹣13x2+53x,∴图象C2段的函数表达式为y=﹣13x2+53x,故此选项不正确;④∵y=﹣13x2+53x,∴当x=﹣522ba=时,y最大=2512,故此选项不正确;故选A.【点睛】此题考查了二次函数的运用,解题关键在于看图理解18.下面所示各图是在同一直角坐标系内,二次函数y=2ax+(a+c)x+c与一次函数y=ax+c 的大致图象.正确的( )A .B .C .D .【答案】D【解析】【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点,可以判断哪个选项符合要求,从而得到结论.【详解】令ax 2+(a+c )x+c=ax+c ,解得,x 1=0,x 2=-c a, ∴二次函数y=ax 2+(a+c )x+c 与一次函数y=ax+c 的交点为(0,c ),(−c a ,0), 选项A 中二次函数y=ax 2+(a+c )x+c 中a >0,c <0,而一次函数y=ax+c 中a <0,c >0,故选项A 不符题意,选项B 中二次函数y=ax 2+(a+c )x+c 中a >0,c <0,而一次函数y=ax+c 中a >0,c <0,两个函数的交点不符合求得的交点的特点,故选项B 不符题意,选项C 中二次函数y=ax 2+(a+c )x+c 中a <0,c >0,而一次函数y=ax+c 中a <0,c >0,交点符合求得的交点的情况,故选项D 符合题意,选项D 中二次函数y=ax 2+(a+c )x+c 中a <0,c >0,而一次函数y=ax+c 中a >0,c <0,故选项C 不符题意,故选:D .【点睛】考查一次函数的图象、二次函数的图象,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.19.平移抛物线2:L y x =得到抛物线L ',使得抛物线L '的顶点关于原点对称的点仍在抛物线L '上,下列的平移中,不能得到满足条件的抛物线L '的是( )A .向右平移1个单位,再向下平移2个单位B .向左平移1个单位,再向下平移2个单位C .向左平移32个单位,再向下平移92个单位D .向左平移3个单位,再向下平移9个单位【答案】D【解析】【分析】通过各个选项的平移分别得到相应的函数关系式,再判断原点是否在该抛物线上即可.【详解】解:由A 选项可得L '为:2(1)2y x =--,则顶点为(1,-2),顶点(1,-2)关于原点的对称点为(-1,2),当x =-1时,y =2,则对称点在该函数图像上,故A 选项不符合题意;由B 选项可得L '为:2(1)2y x =+-,则顶点为(-1,-2),顶点(-1,-2)关于原点的对称点为(1,2),当x =1时,y =2,则对称点在该函数图像上,故B 选项不符合题意;由C 选项可得L '为:239()22y x =+-, 则顶点为(-32,-92),顶点(-32,-92)关于原点的对称点为(32,92), 当x =32时,y =92,则对称点在该函数图像上,故C 选项不符合题意; 由D 选项可得L '为:2(3)9y x =+-,则顶点为(-3,-9),顶点(-3,-9)关于原点的对称点为(3,9),当x =3时,y =27≠9,则对称点不在该函数图像上,故D 选项符合题意;故选:D .【点睛】本题考查了二次函数图像的平移,熟练掌握平移的规律“左加右减,上加下减”是解决本题的关键.20.已知二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所示,下列结i 论:①abc >0;②b 2﹣4ac >0;③2a+b =0;④a ﹣b+c <0.其中正确的结论有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C【解析】【分析】首先根据开口方向确定a 的取值范围,根据对称轴的位置确定b 的取值范围,根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围,根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围,根据x =﹣1函数值可以判断.【详解】解:Q 抛物线开口向下,0a ∴<,Q 对称轴12b x a=-=, 0b ∴>,Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方,0c ∴>,0abc ∴<,故①错误;Q 抛物线与x 轴有两个交点,240b ac ∴->,故②正确;Q 对称轴12b x a=-=, 2a b ∴=-, 20a b ∴+=,故③正确;根据图象可知,当1x =-时,0y a b c =-+<,故④正确;故选:C .【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用是解题关键.。