二次函数题 选择题:1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数,则m=( ) A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在2、下列函数关系中,可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是( ) A 在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B 我国人中自然增长率为1%,这样我国总人口数随年份变化的关系C 矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系D 圆的周长与半径之间的关系4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2,则抛物线的解析式是( ) A y=—( x-2)2+2 B y=—( x+2)2+2 C y=— ( x+2)2+2 D y=—( x-2)2—25、抛物线y=21 x 2-6x+24的顶点坐标是( ) A (—6,—6) B (—6,6) C (6,6) D (6,—6) 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示,则下列结论中正确的有( )个 ①abc 〈0 ②a +c 〈b ③ a+b+c 〉0 ④ 2c 〈3b A 1 B 2 C 3 D 4 7、函数y=ax 2-bx+c (a ≠0)的图象过点(-1,0),则c b a + =c a b + =ba c+ 的值是( ) A -1 B 1 C 21 D -218、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0),它们在同一坐标系内的大致图象是图中的( )A B C D二填空题:13、无论m 为任何实数,总在抛物线y=x 2+2mx +m 上的点的坐标是————————————。
16、若抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)的对称轴为直线x =2,最小值为-2,则关于方程ax 2+bx+c =-2的根为————————————。
17、抛物线y=(k+1)x 2+k 2-9开口向下,且经过原点,则k =—————————解答题:(二次函数与三角形)1、已知:二次函数y=x 2+bx+c ,其图象对称轴为直线x=1,且经过点(2,﹣).(1)求此二次函数的解析式.(2)设该图象与x 轴交于B 、C 两点(B 点在C 点的左侧),请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ,使△EBC 的面积最大,并求出最大面积.1 —1 0xyyx-1xyyxyxy2、如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧),与y 轴交于点C (0,4),顶点为(1,92).(1)求抛物线的函数表达式;(2)设抛物线的对称轴与轴交于点D ,试在对称轴上找出点P ,使△CDP 为等腰三角形,请直接写出满足条件的所有点P 的坐标.(3)若点E 是线段AB 上的一个动点(与A 、B 不重合),分别连接AC 、BC ,过点E作EF ∥AC 交线段BC 于点F ,连接CE ,记△CEF 的面积为S ,S 是否存在最大值?若存在,求出S 的最大值及此时E 点的坐标;若不存在,请说明理由.3、如图,一次函数y =-4x -4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点,抛物线y =43x 2+bx +c 的图象经过A 、C 两点,且与x 轴交于点B . (1)求抛物线的函数表达式;(2)设抛物线的顶点为D ,求四边形ABDC 的面积;(3)作直线MN 平行于x 轴,分别交线段AC 、BC 于点M 、N .问在x 轴上是否存在点P ,使得△PMN 是等腰直角三角形?如果存在,求出所有满足条件的P 点的坐标;如果不存在,请说明理由.(二次函数与四边形)4、已知抛物线217222y x mx m =-+-. (1)试说明:无论m 为何实数,该抛物线与x 轴总有两个不同的交点;(2)如图,当该抛物线的对称轴为直线x =3时,抛物线的顶点为点C ,直线y =x -1与抛物线交于A 、B 两点,并与它的对称轴交于点D .①抛物线上是否存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由;②平移直线CD ,交直线AB 于点M ,交抛物线于点N ,通过怎样的平移能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形.B xy O (第2题图)CA D Bxy O(第3题图)CACOAyxDB C OAyxDB MNl :x =n5、如图,抛物线y =mx 2-11mx +24m (m <0) 与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧),抛物线另有一点A 在第一象限内,且∠BAC =90°.(1)填空:OB =_ ▲ ,OC =_ ▲ ;(2)连接OA ,将△OAC 沿x 轴翻折后得△ODC ,当四边形OACD 是菱形时,求此时抛物线的解析式;(3)如图2,设垂直于x 轴的直线l :x =n 与(2)中所求的抛物线交于点M ,与CD 交于点N ,若直线l 沿x 轴方向左右平移,且交点M 始终位于抛物线上A 、C 两点之间时,试探究:当n 为何值时,四边形AMCN 的面积取得最大值,并求出这个最大值.6、如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 是直角梯形,BC ∥AD ,∠BAD=90°,BC 与y 轴相交于点M ,且M 是BC 的中点,A 、B 、D 三点的坐标分别是A ( 1 0-,),B ( 1 2-,),D (3,0).连接DM ,并把线段DM 沿DA 方向平移到ON .若抛物线2y ax bx c =++经过点D 、M 、N .(1)求抛物线的解析式.(2)抛物线上是否存在点P ,使得PA=PC ,若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)设抛物线与x 轴的另一个交点为E ,点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q 在什么位置时有|QE-QC|最大?并求出最大值.7、已知抛物线223 (0)y ax ax a a =--<与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,点D 为抛物线的顶点.(1)求A 、B 的坐标;(2)过点D 作DH 丄y 轴于点H ,若DH=HC ,求a 的值和直线CD 的解析式;(3)在第(2)小题的条件下,直线CD 与x 轴交于点E ,过线段OB 的中点N 作NF 丄x 轴,并交直线CD 于点F ,则直线NF 上是否存在点M ,使得点M 到直线CD 的距离等于点M 到原点O 的距离?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.(二次函数与圆)8、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象经过M (1,0)和N (3,0)两点,且与y 轴交于D (0,3),直线l 是抛物线的对称轴.1)求该抛物线的解析式.2)若过点A (﹣1,0)的直线AB 与抛物线的对称轴和x 轴围成的三角形面积为6,求此直线的解析式. 3)点P 在抛物线的对称轴上,⊙P 与直线AB 和x 轴都相切,求点P 的坐标.9、如图,y 关于x 的二次函数y=﹣(x+m )(x ﹣3m )图象的顶点为M ,图象交x轴于A 、B 两点,交y 轴正半轴于D 点.以AB 为直径作圆,圆心为C .定点E 的坐标为(﹣3,0),连接ED .(m >0) (1)写出A 、B 、D 三点的坐标;(2)当m 为何值时M 点在直线ED 上?判定此时直线与圆的位置关系;(3)当m 变化时,用m 表示△AED 的面积S ,并在给出的直角坐标系中画出S 关于m 的函数图象的示意图。
10、已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =,且与x 轴交于A 、B 两点.与y 轴交于点C .其中AI(1,0),C(0,3-).(1)(3分)求抛物线的解析式;(2)若点P 在抛物线上运动(点P 异于点A ).①(4分)如图l .当△PBC 面积与△ABC 面积相等时.求点P 的坐标;②(5分)如图2.当∠PCB=∠BCA 时,求直线CP 的解析式。
答案:1、解:(1)由已知条件得,(2分)解得b=﹣,c=﹣,∴此二次函数的解析式为y=x 2﹣x ﹣;(1分)(2)∵x 2﹣x ﹣=0,∴x 1=﹣1,x 2=3, ∴B (﹣1,0),C (3,0),∴BC=4,(1分)∵E 点在x 轴下方,且△EBC 面积最大,∴E 点是抛物线的顶点,其坐标为(1,﹣3),(1分)∴△EBC 的面积=×4×3=6.(1分)2、(1)∵抛物线的顶点为(1,92) ∴设抛物线的函数关系式为y =a ( x -1) 2+92∵抛物线与y 轴交于点C (0,4), ∴a (0-1) 2+92=4 解得a =-12∴所求抛物线的函数关系式为y =-12( x -1) 2+92(2)解:P 1 (1,17),P 2 (1,-17), P 3 (1,8),P 4 (1,178),(3)解:令-12( x -1) 2+92=0,解得x 1=-2,x 1=4∴抛物线y =-12( x -1) 2+92与x 轴的交点为A (-2,0) C (4,0)过点F 作FM ⊥OB 于点M ,∵EF ∥AC ,∴△BEF ∽△BAC ,∴MF OC =EB AB 又 ∵OC =4,AB =6,∴MF =EB AB ×OC =23EB设E 点坐标为 (x ,0),则EB =4-x ,MF =23 (4-x ) ∴S =S △BCE -S △BEF =12 EB ·OC -12 EB ·MF =12 EB (OC -MF )=12(4-x )[4-23 (4-x )]=-13x 2+23x +83=-13( x -1) 2+3∵a =-13<0,∴S 有最大值 当x =1时,S 最大值=3 此时点E 的坐标为 (1,0)3、(1)∵一次函数y =-4x -4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点,∴A (-1,0) C (0,-4) 把A (-1,0) C (0,-4)代入y =43x 2+bx +c 得∴⎩⎨⎧43-b +c =0c =-4 解得⎩⎨⎧b =-83c =-4∴y =43x 2-83x -4 (2)∵y =43x 2-83x -4=43( x -1) 2-163 ∴顶点为D (1,-163) 设直线DC 交x 轴于点E 由D (1,-163)C (0,-4) 易求直线CD 的解析式为y =-43x -4易求E (-3,0),B (3,0) S △EDB =12×6×163=16S △ECA =12×2×4=4 S 四边形ABDC =S △EDB -S △ECA =12(3)抛物线的对称轴为x =-1做BC 的垂直平分线交抛物线于E ,交对称轴于点D 3 易求AB 的解析式为y =-3x + 3∵D 3E 是BC 的垂直平分线 ∴D 3E ∥AB 设D 3E 的解析式为y =-3x +b∵D 3E 交x 轴于(-1,0)代入解析式得b =-3, ∴y =-3x - 3把x =-1代入得y =0 ∴D 3 (-1,0), 过B 做BH ∥x 轴,则BH =111B x y O (第3题图)C ADE Bx y O (第3题图)C A P M N在Rt △D 1HB 中,由勾股定理得D 1H =11 ∴D 1(-1,11+3)同理可求其它点的坐标。