合情推理演绎推理（带答案）作者: 日期:1:与代数式有关的推理问题2a b a b a b ,例1、观察a 3b 3a b 2 a ab b 2进而猜想a n b n4a b 4 a b3a a 2b ab 2 b 3练习：观察下列等式：13 23 以 3 3 , 123 33 6, 13 2"33 43 10,…，根据上述规律，第五个等式为o解析：第i 个等式左边为 1 到i+1的立方和，右边为 1+2+.. .+ (i+1 )的平方所以第五个等式为13空 33 43 5"21 o2:与三角函数有关的推理问题例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论。

练习：观察下列等式:① COS2 a =2 cos 2 a — 1 ；42② cos 4 a =8 cos a — 8 COs a +1 ；③ cos 6 a =32 cos 6 a — 48 cos 4 a+ 18 cos 2 a — 1；④ cos 8 a = 128 cos a — 256cos a+ 160 cos a — 32 cos a + 1 ；108642⑤ cos 10 a =mcos a — 1280 cos a+ 1120cos a+ nC0S a+ p cos a — 1 ；可以推测，m — n+p= .答案：9623:与不等式有关的推理例1、观察下列式子：1 3 1 1 5 4 1 1 1 7 1尹2「豕孑护豕孕了？由上可得出一般的结论为： ____________________________________________________ 。

.1 1 1 2n 1答案：12232……(n 1)2n 1，练习、由35口 oooooo 可猜想到一个一般性的结论是： _________________________ 。

2 2 1 33 14 4 1合情推理sin 2 30 0 sin 2 60 0 • 2 Ar 0sin45sin 15• 2 “ 0sin90sin 2120 sin 2105 sin 275 0. 2 * LC 0sin 150sin 2180 sin 2165 2 X CL 0sin 1354:与数列有关的推理例1、已知数列｛a n ｝中，a i =1，当n >2时，a . 2am 1，依次计算数列的后几项，猜想数列的一个通 项表达式为：。

例2、（ 2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 34 5 6按照以上排列的规律，第7 n 行8 n 例3、（ 2010深圳模拟）图（1 ）、（ 2）、（ 3）、（ 4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含f （n ）个“福娃迎迎”，则f （5） ______ ； f （n ） f （n 1） ______ .练习：设等差数列 a 前n 项和为s n ，则S 3 , s 6 S 3 , S 9 s 6 , S 12S 9成等差数列。

类比以上结论：设等比数列b n 前n 项积为T n ，则T3, _____ , ______ ， T12,成等比数列。

T 96:与立体几何有关的推理例1、在平面几何中有命题“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值” ，那么在正四面体中类似的命题是什么？9）从左0右的第 3个数为5«空蟲SS!豊ft ss鑼SS幕掘宀鑽&例4、等差数列｛a n ｝中，若ai0= 0则等式Q a? .. Qi a 1 a 2a 9n (n 19,n N )成立，类比上述性质，相应的，在等比数列中，若b|0 〔，则有等式 ______________ 。

合情推理练习题一、选择题1下列表述正确的是 （ ）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理 A •①②③ B •②③④ C .②④⑤ D •①③⑤ 2. 数列2,5,11,20, x,47,…中的x 等于（）A. 28B . 32C . 33D . 273.下面使用类比推理恰当的是 （ ）A. 若 a 3= b 3,则 a = b”类推出 若 a 0= b 0,贝U a = b ”B. “ （击 b ）c = ac + bc ”类推出 |+ 三”C.“（+ b ）c = ac + bc ”类推出 g + b （c 工0） ”D. “ ab n a n b n ”类推出 “a b n a n b n ”4. 由盘>8,鲁〉W 25>21,…若*> b >。

且m >0,则詈与三之间大小关系为（）A .相等B .前者大C .后者大D .不确定5. 将正奇数按如图所示的规律排列，则第 21行从左向右的第5个数为（）13 5 79 11 13 15 17 19 2123 25 27 29 31A . 809B . 852C . 786D . 893n 2a n n N *，试归纳猜想出S n 的表达式为（A 、2nn 1二、填空题 2n 12n 1D 、n 1C 、n 11.已知：sin 230si n 290 si n 2150 3 2，sin 25sin 265sin 21253 2sin 218o.2 - 2 —cosin 78 sin 1382n n 26.数列a n 的前n 项和为S n ，且a 11, S n通过观察上述等式的规律，写出一般性的命题:2. （2012陕西高考）观察下列不等式1 3 ,115 . 11171 + 2^<2，1+22+ 孑<3，1+ 于+32+42<4 .....照此规律，第五个不等式为________________________________________ .3. （2011陕西高考）观察下列等式1 = 12+3+4=93+ 4+ 5+ 6+ 7= 254+ 5 + 6+ 7+ 8+ 9+ 10 = 49照此规律，第n个等式为_____________________ .4.一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍):则第9行第4个数是 __________三、解答题1. (2012福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1) sin213°+ COS217°— sin 13 cos 17 ；(2) sin2150+ COS215°— sin 15 cos 15 ；(3) sin218°+ COS212°— sin 18 cos 12 °(4) sin2(—18°) + COS248°— sin(—18°)cos 48 ;°(5) sin2(—25°) + cos255°—sin(—25°)cos 55 . °(1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2) 根据(1)计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式.2•定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和•已知数列{a n}是等和数列，且a1 = 2, 公和为5.(1) 求a18的值；(2) 求该数列的前n项和S.演绎推理1.定义根据一般性的真命题或逻辑规则，导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理•即从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理形式.它的特征是：当前提为真时，结论必然为真.2•三段论：“三段论”是演绎推理的一般模式(1) 三段论的结构：①大前提一已知的一般原理；②小前提一所研究的特殊情况；③结论—根据一般原理，对特殊情况做出的判断.(2) “三段论”的表示：①大前提一M是P;②小前提一S是M;③结论一S是P.(3) 三段论的依据：用集合观点来看就是：①若集合M的所有元素都具有性质P，②S是M的一个子集；③那么S中所有元素也都具有性质P.想一想：(1) “三段论”就是演绎推理吗？(2) 在演绎推理中，如果大前提正确，那么结论一定正确吗？为什么？(3) 正弦函数是奇函数，f(x) = sin (x2+ 1)是正弦函数，因此f(x) = sin (x2+ 1)是奇函数.以上推理中，“三段论”中的_______ 错误的.(1) 解析：不是•三段论是演绎推理的一般模式.(2) 解析：不一定正确•只有大前提和小前提及推理形式都正确，其结论才是正确的.⑶解析：小前提错误，因为f(x)二sin(x2+ 1)不是正弦函数.1•有一段演绎推理是这样的“任何实数的平方都大于0,因为a€ R,所以a2>0”，结论显然是错误的，是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误大前提：任何实数的平方大于0是不正确的•2.在“△ ABC中，E, F分别是边AB AC的中点，贝U EF// BC的推理过程中，大前提是()A. 三角形的中位线平行于第三边B. 三角形的中位线等于第三边长的一半C. E，F为AB AC的中点D. EF// BC【解析】选A.本题的推理形式是三段论，其大前提是一个一般的结论，即三角形中位线定理•3.下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a , b)内可导且单调递增，则在(a , b)内，f' (x)>0恒成立•因为f(x)=x 3在(-1,1)内可导且单调递增，所以在(-1,1)内，f' (x)=3x 2>0 恒成立.以上推理中()[来源:]A.大前提错误B.小前提错误C.结论正确D.推理形式错误【解析】选A.因为对于可导函数f(x) ，f(x)在区间(a，b)上是增函数，f'(x)>0对x€ (a，b)恒成立，应该是f'(x) X)对x € (a，b)恒成立，所以大前提错误.4.以下推理过程省略的大前提为：_______________ .因为a2+b2> 2ab,所以2(a2+b2) X a2+b2+2ab.【解析】由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2+b2,故大前提为：若a X b，贝U a+c>b+c.答案：若a X b，贝U a+c>b+c5.“n是无限不循环小数，所以n是无理数”以上推理的大前提是()A.实数分为有理数和无理数B. n不是有理数C.无理数都是无限不循环小数D. 有理数都是有限循环小数【解析】选C.用三段论推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据•因为无理数都是无限不循环小数，n是无限不循环小数，所以n是无理数，故大前提是无理数都是无限不循环小数.6.因为中国的大学分布在全国各地，…大前提北京大学是中国的大学…小前提所以北京大学分布在全国各地.…结论(1) 上面的推理形式正确吗？为什么？(2) 推理的结论正确吗？为什么？【解析】(1)推理形式错误.大前提中的M是“中国的大学”它表示中国的所有大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误.(2)由于推理形式错误，故推理的结论错误.7.设数列｛a n｝的前n项和为S,且满足a n=3-2S n(n € N).(1) 求a i, a2, a s, a4的值并猜想a n的表达式.(2) 若猜想的结论正确，用三段论证明数列｛a n｝是等比数列.【解析】⑴因为a n=3-2S n,所以a i=3-2S i =3-2a i,解得a i=1 ,1 同理a2= *, a3 =⑵大前提：数列｛a n｝，若=q , q是非零常数，则数列｛a n｝是等比数列.小前提：由a n=(动，又= 3，结论：数列｛a n｝是等比数列.3、填空题 1. sin 2( 60o ) sin 2sin 2( 60o )- 1 11解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的 1111的差除以项数，即1 +护+ 32+了 +孑+…+1 1 1 1 1 11所以第五个不等式为 1+22+孕+护+ 52+ 62<"6".3. n +(n + 1)+ (n + 2) + …+ (3n — 2) = (2n — 1)2解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ； 每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n - 1.—2) = (2n — 1)2.4.259三、解答题1.解：⑴选择⑵式，计算如下:2 2 1 sin 2150 + cos 2150— sin 15 cOs 15 = 1 — qsin 30 3⑵三角恒等式为 sin 2a+ cos 2(30 ° a — sin a cos(30 — a =4.2. 解：(1)由等和数列的定义，数列｛a n ｝是等和数列，且a 1 = 2,公和为5, 2, a 2n = 3(n = 1,2…)，故 a 18 =3.(2)当 n 为偶数时，S n = a 1 + a 2 + …+ a n = (a 1 + a 3 + …+ a n —1)+ (a 2 + a 4 + …+ a n )=：n ；5 5 1当 n 为奇数时，Si = S n — 1 + a n = 2(n —1)+ 2=歹—^.2门，n 为偶数，综上所述：S = 5 1尹―2，n 为奇数. 合情推理 随堂练习答案选择题 1— 5: DBCBA 6: A 2倍减12n 1 * T7(n ° N ，n >2)， 所以第n 行数依次是n 、n + 1、n + 2、・3n — 2.其和为 n +(n + 1)+ (n + 2) +…+ (3no 1 3 =1—4=4.易知a 2n — 1 =。