徐杰伊1110100420 电气学院有价证券的投资一、问题重述与分析某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。
按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有如下限制：1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；3）所购证券的平均到期年限不超过5年。
证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益（%）A 市政 2 9 4.3B 代办机构 2 15 5.4C 政府 1 4 5.0D 政府 1 3 4.4E 市政 5 2 4.5（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在100万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？问题的目标函数为求所有投资的收益最大，限制约束为：市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税，政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；所购证券的平均到期年限不超过5年，1000万元资金，等条件，用LINDO求目标函数的最大值。
二、模型的假设和符号说明(一)模型假设(1)假设所有证券的信用等级在15年内不发生任何变化。
(2)假设所有证券的到期税前收益在15年内不发生任何变化。
(3)假设所有证券的到期税前税率在15年内不发生任何变化。
设:投资证券A的金额: x1投资证券B的金额: x2投资证券C的金额: x3投资证券D的金额: x4投资证券E的金额: x5三、模型的建立和求解(一)模型的建立按照目标条件，求出最大收益，目标函数为Max 0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5按照限制条件，列出在经理有1000万元资金条件下的约束条件：、x2+x3+x4>=4x1+x2+x3+x4+x5<=10(2x1+2x2+x3+x4+5x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<=1.4即6x1+6x2-4x3-4x4+36x5<=0 (9x1+15x2+4x3+3x4+2x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<=5即4x1+10x2-x3-2x4-3x5<=0 x1,x2,x3,x4,x5>=0列出模型：Max 0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5S．t．x2+x3+x4>=4x1+x2+x3+x4+x5<=10(2x1+2x2+x3+x4+5x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<=1.4即6x1+6x2-4x3-4x4+36x5<=0 (9x1+15x2+4x3+3x4+2x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<=5即4x1+10x2-x3-2x4-3x5<=0 x1,x2,x3,x4,x5>=0（二）模型的求解用LINDO求解并要求灵敏性分析，程序：max 0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5stx2+x3+x4>=4x1+x2+x3+x4+x5<=106x1+6x2-4x3-4x4+36x5<=04x1+10x2-x3-2x4-3x5<=0End得到：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 0.2983637V ARIABLE V ALUE REDUCED COSTX1 2.181818 0.000000X2 0.000000 0.030182X3 7.363636 0.000000X4 0.000000 0.000636X5 0.454545 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 3.363636 0.0000003) 0.000000 0.0298364) 0.000000 0.0006185) 0.000000 0.002364NO. ITERATIONS= 5RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESV ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASE X1 0.043000 0.003500 0.013000X2 0.027000 0.030182 INFINITYX3 0.025000 0.017333 0.000560X4 0.022000 0.000636 INFINITYX5 0.045000 0.052000 0.014000RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 4.000000 3.363636 INFINITY3 10.000000 INFINITY 4.5679014 0.000000 105.714287 20.0000005 0.000000 10.000000 12.000000即证券A，C，E分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。
有结果中影子价格可知，若资金增加100万元，收益可增加0.0298百万元。
大于以2.75%的利率借到100万元资金的利息，所以应借贷。
投资方案需将上面模型第二个约束右端改为11，求解程序：max 0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5stx2+x3+x4>=4x1+x2+x3+x4+x5<=116x1+6x2-4x3-4x4+36x5<=04x1+10x2-x3-2x4-3x5<=0End得到：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 0.3282000V ARIABLE V ALUE REDUCED COSTX1 2.400000 0.000000X2 0.000000 0.030182X3 8.100000 0.000000X4 0.000000 0.000636X5 0.500000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 4.100000 0.0000003) 0.000000 0.0298364) 0.000000 0.0006185) 0.000000 0.002364NO. ITERATIONS= 0RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESV ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASE X1 0.043000 0.003500 0.013000X2 0.027000 0.030182 INFINITYX3 0.025000 0.017333 0.000560X4 0.022000 0.000636 INFINITYX5 0.045000 0.052000 0.014000RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 4.000000 4.100000 INFINITY3 11.000000 INFINITY 5.5679014 0.000000 128.857147 22.0000005 0.000000 11.000000 13.200000证券A，C，E分别投资2.40百万元，8.10百万元，0.50百万元，最大税后收益为0.3282百万元。
由结果中目标函数系数的允许范围（最优解不变）可知，证券A的税前收益可增0.35%，故若证券A的税前收益增加为4.5%，投资不应改变；证券C的税前收益可减0.112%（注意按50%的税率纳税），故若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。
程序：max 0.043x1+0.027x2+0.024x3+0.022x4+0.045x5stx2+x3+x4>=4x1+x2+x3+x4+x5<=106x1+6x2-4x3-4x4+36x5<=04x1+10x2-x3-2x4-3x5<=0End结果：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 0.2942400V ARIABLE V ALUE REDUCED COSTX1 3.360000 0.000000X2 0.000000 0.030640X3 0.000000 0.000440X4 6.480000 0.000000X5 0.160000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 2.480000 0.0000003) 0.000000 0.0294244) 0.000000 0.0006365) 0.000000 0.002440NO. ITERATIONS= 1RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESV ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASE X1 0.043000 INFINITY 0.002750X2 0.027000 0.030640 INFINITYX3 0.024000 0.000440 INFINITYX4 0.022000 0.020333 0.000500X5 0.045000 0.011000 0.026500RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 4.000000 2.480000 INFINITY3 10.000000 INFINITY 3.8271614 0.000000 88.571426 6.6666675 0.000000 4.000000 21.000000证券A，D，E分别投资3.36百万元，6.48百万元，0.16百万元，最大税后收益为0.2942百万元。