即
∴
综上所述， 点坐标为
故存在点Q，且这样的点有两个点.
【点睛】
(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便；
(2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.
则直线 的函数解析式为
则
(舍去)，
点 的坐标为
综上可得，点 的坐标为 或
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合数形结合的思想和分类讨论的思想解题是解本题的关键．
2．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点坐标为 ，并与 轴交于点 ，点 是对称轴与 轴的交点．
【答案】（1）（1，0）；（2）① ；②存在，点 的坐标为 或 ．
【解析】
【分析】
（1）直接令 ，即可求出点B的坐标；
（2）①令x=0，求出点C坐标为（0，a），再由△ABC的面积得到 (1−a)•(−a)＝6即可求a的值，即可得到解析式；
②当点P在x轴上方时，直线OP的函数表达式为y=3x，则直线与抛物线的交点为P；当点P在x轴下方时，直线OP的函数表达式为y=-3x，则直线与抛物线的交点为P；分别求出点P的坐标即可．
【详解】
解： 抛物线顶点为
可设抛物线解析式为
将 代入 得
抛物线 ，即
连接 ，
设 点坐标为
当 时， 最大值为
存在，设点D的坐标为
过 作对称轴的垂线，垂足为 ,
则
在 中有
化简得
（舍去），
∴点D( ,-3)
连接 ，在 中
在以 为圆心， 为半径的圆与 轴的交点上
此时
设 点为(0,m), AQ为 的半径
则AQ²=OQ²+OA², 6²=m²+3²
（3）由（1）的结论可得出点 的坐标为 ， 、点 的坐标为 ， ，由 、 、 三点共线可得出 ，进而可得出点 及点 的坐标，由点 、 的坐标利用待定系数法可求出直线 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点 在直线 上，进而即可证出 平分 ．
【详解】
解：（1）把点 、 分别代入，得
．
所以 ．
【详解】
解： 当 时，
解得
点 位于点 的左侧，与 轴的负半轴交于点
点 坐标为 ．
由 可得，点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为
则
．
当点 在 轴上方时，直线 直线
直线 的函数解析式 为
则
(舍去)，
点的 坐标为 ；
当点 在 轴下方时，直线 与直线 关于 轴对称，
九年级数学 二次函数易错题（Word版 含答案）
一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．如图，抛物线 与 轴交于 两点(点 位于点 的左侧)，与 轴的负半轴交于点 ．
求点 的坐标．
若 的面积为 ．
①求这条抛物线相应的函数解析式．
②在拋物线上是否存在一点 使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（2），如图1，
当 时， ，
， ，
当 时， 随 的增大而减小；
同理：当 时， 随 的增大而增大，
抛物线的对称轴为 轴，开口向上，
．
为半径的圆与拋物线的另两个交点为 、 ，
为等腰三角形，
又 有一个内角为 ，
为等边三角形．
设线段 与 轴交于点 ，则 ，且 ，
又 ，
， ．
不妨设点 在 轴右侧，则点 的坐标为 ， ．
（3）在（2）的条件下，若点 与点 关于点 对称，且 、 、 三点共线，求证： 平分 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）把点 、 代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到答案．
（2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为 轴、开口向上，进而可得出 ，由抛物线的对称性可得出 为等腰三角形，结合其有一个 的内角可得出 为等边三角形，设线段 与 轴交于点 ，根据等边三角形的性质可得出点 的坐标，再利用待定系数法可求出 值，此题得解；
点 在抛物线上，且 ， ，
，
，
抛物线的解析式为 ．
（3）证明：由（1）可知，点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， ．
如图2，直线 的解析式为 ．
、 、 三点共线，
， ，且 ，
，
，
，即 ，
点 的坐标为 ， ．
设点 关于 轴的对称点为点 ，则点 的坐标为 ， ．
点 是点 关于点 的对称点，
，
点 的坐标为 ．
(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.
3．已知抛物线 过点 ．
（1）若点 也在该抛物线上，请用含 的关系式表示 ；
（2）若该抛物线上任意不同两点 、 都满足：当 时， ；当 时， ；若以原点 为圆心， 为半径的圆与抛物线的另两个交点为 、 （点 在点 左侧），且 有一个内角为 ，求抛物线的解析式；
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；
(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S△PAB=S△BPO+S△APO-S△AOB,设P 求出关于n的函数式，从而求S△PAB的最大值.
(3)求点D的坐标，设D ,过D做DG垂直于AC于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t的值即得D的坐标;探究在y轴上是否存在点 ,使 ?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD的2倍，联想到同弧所对的圆周角和圆心角，所以以A为圆心，AO长为半径做圆交y轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①所示, 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP、AP,求 的面积的最大值;
(3)如图②所示，在对称轴 的右侧作 交抛物线于点 ,求出 点的坐标;并探究:在 轴上是否存在点 ,使 ?若存在，求点 的坐标;若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）当 时， 最大值为 ；（3）存在， 点坐标为 ，理由见解析
设直线 的解析式为 ，
点 的坐标为 ， ，
，
，
直线 的解析式为 ．
，
点 在直线 上，
平分 ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出 、 满足的关系式；（2）①利用等边三角形的性质找出点 的坐标；②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点 在直线 上．