答案： 一.选择题1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为⎰+=x C dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即)()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰x dt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=x C dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A).【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系?2. D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.且 ∞=→)(lim 0x f x ，所以x=0为第二类间断点；0)(lim 1=+→x f x ，1)(lim 1-=-→x f x ，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).【评注】 应特别注意：+∞=-+→1lim1x x x ，.1lim 1-∞=--→x x x 从而+∞=-→+11lim x xx e，.0lim 11=-→-x x x e3 C4 A5 C6 C7 A8 C∵x →∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。

先恒等变形，将函数“有理化”： 原式 = 21111lim )11()11)(11(lim 0=++=++++-+→→x x x x x x x . （有理化法）9 D 10 C 解 原式161821lim )2()cos 1(tan lim 32030=⋅=-=→→x x x x x x x x .▌注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极的每项作等价替换，则原式0)2(lim 3=-=→x xx x .二.填空题 11. 2 12. 1 13. 0 14 . 5 15 . 2-e 16. 2,1=x17 .),(+∞-∞ ),0[+∞18.),(+∞-∞}1,0,1{-19 . 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量 20 . ① 函数yf (x) 在点x0有定义；② x →x0 时极限)(lim 0x f x x →存在；③ 极限值与函数值相等，即)()(lim 00x f x f x x =→三. 计算题 21 . 【分析】 ""∞-∞型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解】)1(1lim )111(lim 200x xx x x e x e x x x e x --→-→-+-+=--+=2201lim x e x x xx -→+-+=xe x x x 221lim 0-→-+=.2322lim0=+-→x x e 22. f (x)=3lnx+1 x ＞0 23.e 324.e 225.6126. 3ln ;27. 328. 解：由x ＋2≥０解得x ≥-2由x －１≠０解得x ≠１ 由5－２x ＞０解得x ＜2.5 函数的定义域为｛x ｜2.5＞x ≥-2且x ≠1｝或表示为（2.5,1）∪（1,-2）29. ⑴、⑸是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。

⑵⑶不是同一函数，因为它们的定义域不相同。

⑷不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。

30. 解：f(x+1)＝(x+1)2-1＝x 2+2x ，f(f(x))＝f(x 2-1)＝(x 2-1)2-1＝x 4-2x 2 f(f(3)+2)＝f(32-1+2)＝f(10)＝99 31 . 解：222222n 22746153lim746153lim 746153lim n n n n nn n n n n n n n n n n --+-=--+-=--+-+∞→+∞→+∞→210060031lim 71lim 46lim 1lim 1lim53lim 22=--+-=--+-=+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→n n nn n n n n n n32.解：212lim 2)1(lim 21lim 2222=+=+=++++∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n n Λ 33 . 解： nn n n n n n n n n ++++-+=-++∞→+∞→1)1)(1(lim)1(lim01lim 1lim 1lim111lim11lim=++=++=++=+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→n n n n n n n nnn n n n34 . 解：110101lim )32(lim 1lim )32(lim 1)32(1)32(lim 3232lim -=+-=+-=+-=+-+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→n nn n n n n n n n n nnn 35 . 解：⑴因为 3lim ,2lim 22==+-→→y y x x ，y y x x +-→→≠22lim lim 所以 函数在指定点的极限不存在。

⑵ 因为0031lim ,00sin lim 00=⨯===+-→→y y x x ，y y x x +-→→=00lim lim所以 函数在指定点的极限0lim 0=→y x 36 . 613313lim lim 1lim 31lim 3333=+=+=+→→→→x x x x x x37 . ()()6131lim 333lim 93lim3323=+=+--=--→→→x x x x x x x x x38 . 21111lim )11(lim )11()11)(11(lim 11lim0000-=+--=+--=+-+---=--→→→→x x x x x x x x x x x x x x 39 . 323323111112lim 112lim xx x x x x x x x x +-+-=+-+-∞→∞→ 20010021lim 1lim 1lim 1lim 1lim 2lim 323=+-+-=+-+-=∞→∞→∞→∞→∞→∞→xx x x x x x x x x 40. 323232111112lim 112lim xx x x x x x x x x x +-+-=+-+-∞→∞→ 00010001lim 1lim 1lim 1lim 1lim 1lim 23232=+-+-=+-+-=∞→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x41. 3333sin lim 3sin lim 00=⋅=→→xxx x x x 42.2122sin lim 21)2(42sin 2lim cos 1lim 2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-→→→x x x x x x x x x 43. =e enn n nn ==++∞→∞→1)11(lim )11(lim 3 44. 22211lim 11lim e n n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→∞→ 45. k kkxx kkxx e kx kx 11111lim 11lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→∞→ 46. 11111lim 11lim ---∞→--∞→=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=e x x xx xx47.()kkkx x e kx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→101lim处连续。

在函数而解0)0()(lim 1)0()(1sin lim)(lim .480000==∴====→→→x f x f f x f x xx f x x x x Θ49. 间断，函数在x ＝1处无定义且左右极限不存在，第二类间断点50. 间断，函数在x ＝0处左右极限不存在，第二类间断点51. 间断，0)(lim 0=→x f x 但f(0)＝1，两者不相等，第一类间断点52. 证明：∀x 0∈(－∞,＋∞)因为 222)lim (lim )(lim 0x x x x f x x x x x x ===→→→，f(x 0)=x 02所以 )()(lim 00x f x f xx =→因此，函数f(x)＝x 2是连续函数。

53. 1ln )1(lim ln )1ln(lim )1ln(lim :10100==+=+=+→→→e x x x x x x x x x 解 54.()[]002ln 1lim ln 11lim :121=⨯=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅--→→x x x x x x x 解 55 . 证明：设f(x)＝2x 3－3x 2＋2x －3，则f(x)在[1,2]上连续，f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0 根据零点定理，必存在一点ξ∈(1,2)使f(ξ)＝0，则x ＝ξ就是方程的根。

56. 原式161821lim )2()cos 1(tan lim 32030=⋅=-=→→x x x x x x x x57. 证 ∀x ∈ (-∞, +∞)，任给x 一个增量Δx ，对应的有函数y 的增量Δy = sin(x +Δx )-sin x =)2cos(2sin 2x x x ∆+⋅∆.∵ x x x y ∆=∆⋅≤∆≤∆≤22sin 20，由夹逼准则知，△y → 0（Δx →0），再由x 的任意性知正弦函数y = sin x 在其定义域 (-∞, +∞)上处处连续，即它是连续函数。

58. 解 注意f (x )是分段函数，且点0=x 两侧f 表达式不一致。

解法1 ∵f (0 - 0) =0)(lim 0=--→x x ，f (0 + 0) =0lim 0=+→x x ， ∴ 0)(lim 0=→x f x .又f (0 ) = 0， ∴ 函数f (x ) = x 在点x = 0处连续（图1—19）。

解法2 ∵)0(0)(lim )(lim0f x x f x x ==-=--→→， ∴ 函数在点0=x 左连续；又∵ )0(0lim )(lim0f x x f x x ===++→→， ∴ 函数在点0=x 右连续，所以函数在点0=x 连续。

59. 证 虽然f 是分段函数，但点x = 0两侧函数表达式一致。

∵ )0(01sin lim )(lim 00f x x x f M x x =====⨯→→， ∴ )(x f 在点x = 0处连续60. 解 令a x –1 = t ，则x = log a (1+t ) ，当x →0时，t →0,∴ 原式a ett ta ta t a t ln log 1)1(log 1lim )1(log lim 10==+=+=→→.特别地，11lim 0=-→x e xx ，这表明x →0时，x → e x - 1.。