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1, 例4、 设 f ( x ) x ,
x 0, x 0,
g( x ) e 2,
x
求 f [ g ( x)] 和 g[ f ( x)]
x ln 2, g( x ) 0, 1, 1, 解：f [ g( x )] g( x ), g( x ) 0, 2 e x , x ln 2, e 2, x 0, g[ f ( x )] e 2 x e 2, x 0, x ,求 f [ f ( x)] . 练习1、 设函数 f ( x ) 2 1 x
k Z
x x k k 时 , cot 0 2 2 2
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1 , g( x ) x 2 例3、 设函数 f ( x ) x 1
求 f [ g( x )] 和g[ f ( x )]
1 1 解：f [ g ( x)] , g ( x) 1 x 2 1 1 g[ f ( x)] f ( x) 2 2 x 1
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1 例如当 x 时, f ( x ) 无限接近于 0. x 1 当 n 时, f ( n) 无限接近于 0, n 1 当 x + 时, f ( x ) x 无限接近于 0, e 当 x - 时, f ( x ) e x 无限接近于 0.
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f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) y
y x 偶函数
称f ( x )为偶函数; 称f ( x )为奇函数;
y
y x3 奇函数
o x
o
x
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(2) 函数的单调性:
设函数f (x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上 任意两点 x1及 x2，当 x1 x2时，恒有： (1) f ( x1 ) f ( x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的； 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
例：
定理2. 有限个无穷小的和还是无穷小 .
2 n 1 lim 2 2 反例： 2 n n n n n n n
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2 x3 3 x 2 5 例3、 求 lim . ( 型 ) “ 抓大头” x 7 x 3 4 x 2 1
数集 D 叫做这个函数的定义域， 叫做自变量， x y 叫做因变量．
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域.
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函数两要素：定义域和对应法则 例1、 下列各组函数是否相同 ? 为什么?
x 1 (1) f ( x) x 1 与 ( x) x 1
初等函数 . 否则称为非初等函数 .
x , x 0 可表为 y 例如 , y x , x 0
x , 故为初等函数.
2
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例7、 判断下列函数是否为初等函数
(1) ( 2)
y ln( x 3)
2
y sin[sin(sin x )]
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x
1
左右极限存在但不相等, x lim 不存在. x 0 x
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2 x , x, 练习1、设 f ( x ) 4, 3 2 x ,
x 1 x 1 x 1
x 1, 1 x 1, x 1, x 1.
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二、 函数的极限
自变量变化过程的六种形式:
本节内容 :
1、自变量趋于无穷大时函数的极限 2、自变量趋于有限值时函数的极限 3、无穷小与无穷大 4、两个重要极限 5、无穷小阶的比较
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1、自变量趋于无穷大时函数的极限
1） 直观定义: 函数 y f ( x ) 在自变量 x （或 n ） 的过程中, 对应函数值 f ( x ) 无限 趋近于一个确定常数 A.
解： x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大.
先用x 去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.
3 22 4 x 7 x 4 x 1 x 7 x 5 x3 2 . 1 7 x3
3
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y x2 1
当 x 从0左右两侧趋近于0时， f ( x ) 的表达式不一样,
须考察左右极限.
x 0 x 0 x 0
1
o
2
x
lim f ( x ) lim ( x 1) 1,
x 0 x 0
lim f ( x ) lim (1 x ) 1,
x 0 x 0
练习3、 将 f ( x ) x x 分解成几个简单
2
函数的复合.
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5. 初等函数
(1) 基本初等函数
幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数
由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合运
算所构成 , 在定义域上可用一个式子表示的函数 ,称为
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2） 单侧极限: 左极限: x从x0左侧无限趋近x0时f ( x )的极限.
x x0
lim f ( x ) A 或 f ( x0 0) A
右极限：x从x0右侧无限趋近x0时f ( x )的极限.
x x0
x x0
lim f ( x ) A 或 f ( x0 0) A
y
y x2
当 x 0 时为减函数; 当 x 0 时为增函数;
o
x x
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(3) 函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立, 则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y
1 y x
在( ,0)及(0,)上无界; 在( ,1]及[1,)上有界.
y x2 1
x 0, x 0.
y 2x 1
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1 0 x 1 例2、 f ( x ) 设 , 求函数 f ( x 3)及定义域. 2 1 x 2
1, 0 x 1, 解: f ( x ) 2, 1 x 2.
函数、极限与连续
一、 函数
二、 函数的极限 三、 函数的连续与间断
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一 函数
1、函数的定义
定义 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数 集．如果对于每个数 x D，变量 y 按照一定法 则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作 y f ( x )．
f ( x)
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例5、 设函数 f ( x ) 1 ln x，
求 f ( x )及 f ( x 3)的定义域.
x 0 解：由 1 ln x 0
1 f ( x)的定义域为 x e
1 1 故 f ( x 3)的定义域为 x 3 , x 3 e e
2
可定义复合函数
但函数链 y arcsin u , u 2 x 不能构成复合函数 .
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y
u , u0
u cot v , v k (k 0, 1, 2 ,)
可定义复合函数:
x v , x (, ) 2
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x2 1 . 例4、 求 lim 2 x 1 x 2 x 3
0 ( 型) 0
解： x 1时, 分子, 分母的极限都是零.
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
x2 1 ( x 1)( x 1) lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
定理 : lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.
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1 x, 例1、 f ( x ) 2 x 1,
x 0, x 0.
求 lim f ( x ).
x 0
解： x 0是函数的分段点,
y y 1 x
n
x
lim an A
x
lim f ( x ) A
lim f ( x ) A
x
x
lim f ( x ) A
定理 : lim f ( x ) A lim f ( x ) A且 lim f ( x ) A.
x
x
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1 -1
o
1 1
x x
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4. 复合函数 设有函数链
y f (u ), u D1
则
① 且 g ( D) D1 ②
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 g ( D) D1 不可少.
例如 函数链 : y arcsinu ,