统计学复习笔记第七章 参数估计一、 思考题1． 解释估计量和估计值在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。
估计量也是随机变量。
如样本均值，样本比例、样本方差等。
根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。
2． 简述评价估计量好坏的标准（1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。
（2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。
对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。
（3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。
3． 怎样理解置信区间在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。
置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。
有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。
因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。
在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。
这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。
4． 解释95%的置信区间的含义是什么置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。
也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。
不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以的概率覆盖总体参数。
5． 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。
1. 估计总体均值时样本量n 为2. 样本量n 与置信水平1-α、总体方差、估计误差E 之间的关系为其中： 2222α2222)(E z n σα=n z E σα2=与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需要的样本量越大；与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大；与与总体方差成正比，样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。
二、 练习题1． 从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。
1) 样本均值的抽样标准差x xσ等于多少 2) 在95%的置信水平下，估计误差是多少解： 1） 已知σ = 5，n = 40， = 25∵ ∴ x σx σ= 5 ／√40 ≈ 2） 已知∵ ∴ 估计误差 E = ×5÷√40 ≈2． 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。
1) 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。
2) 在95%的置信水平下，求估计误差。
3) 如果样本均值为120元，求总体均值μ的95%的置信区间。
解：1）已知σ = 15，n = 49∵ x nx n x σσ=α2n z E σα2=n x n x σσ=nx n x σσ=∴ x σx σ= 15÷√49 = 2）已知∵ ∴ 估计误差 E = ×15÷√49 ≈3）已知 = 120 ∵ 置信区间为 ±E∴ 其置信区间 = 120±3． 从一个总体中随机抽取n =100的随机样本，得到=104560，假定总体标准差σ = 85414，试构建总体均值μ的95%的置信区间。
解： 已知n =100， =104560，σ = 85414，1-＝95% ，由于是正态总体，且总体标准差已知。
总体均值在1-置信水平下的置信区间为104560 ± ×85414÷√100= 104560 ±4． 从总体中抽取一个n =100的简单随机样本，得到 =81，s=12。
要求：1） 构建μ的90%的置信区间。
2） 构建μ的95%的置信区间。
3） 构建μ的99%的置信区间。
解：由于是正态总体，但总体标准差未知。
总体均值在1-置信水平下α2n z E σα2=x x x x 2α()28.109,44.10192.336.105251096.136.1052=±=⨯±=±n z x σαx的置信区间公式为81±×12÷√100 = 81±×1）1-＝90%， 其置信区间为 81 ±2）1-＝95% ，其置信区间为 81 ±3) 1-＝99%， 其置信区间为 81 ±5． 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。
1） = 25，σ = ，n =60，置信水平为95%2） =119，s =，n =75，置信水平为98%3） =，s =，n =32，置信水平为90%解：∵ ∴ 1） 1-＝95% ，其置信区间为：25±×÷√60= 25±2） 1-＝98% ，则=, /2=, 1-/2=,查标准正态分布表,可知:其置信区间为: 119±×÷√75= 119±3) 1-＝90%， 其置信区间为: ±×÷√32x x x 22未知αα)(22未知或σσααns z x n z x ±±= ±6． 利用下面的信息，构建总体均值μ的置信区间：1） 总体服从正态分布，且已知σ = 500，n = 15， =8900，置信水平为95%。
解： N=15，为小样本正态分布，但σ已知。
则1-＝95%，。
其置信区间公式为 ∴置信区间为：8900±×500÷√15=（ , ） 2） 总体不服从正态分布，且已知σ = 500，n = 35， =8900，置信水平为95%。
解：为大样本总体非正态分布，但σ已知。
则1-＝95%，。
其置信区间公式为 ∴置信区间为：8900±×500÷√35=（ ） 3） 总体不服从正态分布，σ未知，n = 35， =8900，s =500，置信水平为90%。
解：为大样本总体非正态分布，且σ未知，1-＝90%，。
其置信区间为：8900±×500÷√35=（8761 9039）4） 总体不服从正态分布，σ未知，n = 35， =8900，s =500，置信水平为99%。
解：为大样本总体非正态分布，且σ未知，1-＝99%，。
2α()28.109,44.10192.336.105251096.136.1052=±=⨯±=±n z x σαx x 2α()28.109,44.10192.336.105251096.136.1052=±=⨯±=±n z x σαx x其置信区间为：8900±×500÷√35=（）7．某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）（略）。
求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%解：先求样本均值：=再求样本标准差：置信区间公式：8．从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本，各样本值分别为：10，8，12，15，6，13，5，11。
求总体均值μ的95%置信区间。
解：本题为一个小样本正态分布，σ未知。
先求样本均值：= 80÷8=10再求样本标准差：= √84/7 =于是, 的置信水平为的置信区间是,已知，n = 8，则,α/2=，查自由度为n-1 = 7的分布表得临界值所以，置信区间为：10±×÷√79．某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离分别是：10，3，14，8，6，9，12，11，7，5，10，15，9，16，13，2。
假设总体服从正态分布，求职工上班从家里到单位平均距离的95%的置信区间。
解：小样本正态分布，σ未知。
已知，n = 16，，则, α/2=，查自由度为n-1 = 15的分布表得临界值样本均值=150/16=再求样本标准差：= √15 ≈于是, 的置信水平为的置信区间是,±×÷√1610．从一批零件是随机抽取36个，测得其平均长度是，标准差是。
1)求确定该种零件平均长度的95%的置信区间。
2)在上面估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理请解释。
解：1）这是一个大样本分布。
已知N=36，= ，S =，1-α=，x。
其置信区间为：±×÷√362）中心极限定理论证：如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这个总体的分布如何，随着样本容量的增加，样本均值的分布便趋近正态分布。
在现实生活中，一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随机变量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的。
样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分大的条件下，样本均值也趋近于正态分布，这为抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。
11．某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100克，现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量如下：（略）已知食品包重服从正态分布，要求：1）确定该种食品平均重量的95%的置信区间。
2）如果规定食品重量低于100克属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区间。
解：1）本题为一个大样本正态分布，σ未知。
已知N=50，μ=100，1-α=，。
①每组组中值分别为97、99、101、103、105，即此50包样本平均值= （97+99+101+103+105）/5 = 101②样本标准差为：=√｛（97-101）2×2＋（99-101）2×3＋（101-101）2×34＋（103-101）2×7＋（105-101）2×4｝÷（50-1）≈③其置信区间为：101±×÷√502）∵不合格包数（＜100克）为2+3=5包，5/50 = 10%（不合格率），即P = 90%。
∴该批食品合格率的95%置信区间为：= ±×√×÷50= ±×12．假设总体服从正态分布，利用下面的数据构建总体均值μ的99%的置信区间。
（略）解：样本均值样本标准差：尽管总体服从正态分布，但是样本n=25是小样本，且总体标准差未知，应该用T统计量估计。
1-α=，则α=, α/2=，查自由度为n-1 = 24的分布表得临界值的置信水平为的置信区间是,13．一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了18个员工，得到他们每周加班的时间数据如下（单位：小时）：（略）假定员工每周加班的时间服从正态分布，估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信区间。