(c) 由几何关系不难得
于摩擦角jf 如图(c) 所示。
q jf jf , q 2jf tgjf 0.1 f s , jf tg 1 0.1 5.71
q 2jf 11.42
以上是考虑临界状态所得结果，稍作分析即可得
当 0 q 2jf 11.42 时能自锁
(a)
(b)
5
理论力学
力学竞赛知识点介绍
由此可见，支承面对物体的约束力除了法向约束力FN外还 有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向约束力Fs，此力
即静滑动摩擦力，简称静摩擦力。显然有Fs=F，因此静
摩擦力也是约束力，随着F的增大而增大。然而，它并不 能随F的增大而无限地增大。而有一个最大值Fmax，称为 最大静摩擦力，此时物体 处于平衡的临界状态。当主动力 F大于Fmax时，物体将失去平衡而滑动。即
A
Fs
x
同时满足物理条件 联立解之得
Fs f s FNA
a tan q f s l 因 0≤a≤l， 当 a = l 时，上式左边达到最大值。
FNA
所以
tan q f s tan jf
或
q jf 即为所求
21
理论力学
例题5-6
力学竞赛知识点介绍
重为 P =100 N 的匀质滚轮 夹在无重杆 AB 和水平面之间， 在杆端 B 作用一垂直于 AB 的力 FB ，其大小为FB = 50 N。A为 光滑铰链，轮与杆间的摩擦因 数为 fs1=0.4。轮半径为 r，杆长 为 l，当 q = 60° 时，AC = CB = 0.5l ，如图所示。如要维持系 统平衡，（1） 若D处静摩擦因 数 fs2 = 0.3，求此时作用于轮心 O处水平推力 F 的最小值;（2） 若fs2=0.15 ,此时F 的最小值又为 多少？
F
0,
F cos q Fs 0 FN P F sin q 0
F
q
Fs
P
Fs 4 cos 30 3.46 N
最大静摩擦力 x 因为
A
FN
Fmax fs FN fs P F sin q 3.6 N
Fs Fmax
Fs 3.46 N
12
所以作用在物体上的摩擦力为
Fmax tan jf fs FN
8
理论力学
力学竞赛知识点介绍
2. 自锁现象 由于全约束力的作用线与接触处公法线的夹角j不能大 于摩擦角，即变化范围为0 j jf ，因此可得： 如果作用于物体的全部主动力的合力的作用线与公 法线的夹角q jf，则无论这个力多么大，物体必保持静 止，这种现象称为自锁现象。 反之如果q jf ，则 无论这个力多么小，物 体必不能保持平衡。 利用摩擦角的概念，
min(Fmin1 , Fmin2 )
19
理论力学
例题5-5
力学竞赛知识点介绍
长为 l 的梯子 AB 一端靠在墙壁上，
另一端搁在地板上，如图所示。假设
B
梯子与墙壁的接触是完全光滑的，梯 子与地板之间有摩擦，其静摩擦因数
P
l
q
为 fs 。梯子的重量略去不计。今有一 重为 P 的人沿梯子向上爬，如果保证 人爬到顶端而梯子不致下滑，求梯子 与墙壁的夹角q 。
FB f s FNB
x 40 cm
联立求解 得 （2）几何法
FNA FNB 2F ,
由几何关系得
支架受力分析如图所示。
h h1 h2
d d ( x ) tan j f ( x ) tan j f 2 2 h 解得 x 40 cm
2 tan j f
由以上二个例子可以看出，当有摩擦处的约束力以全 约束力形式给出，如能利用二力平衡条件和三力平衡汇交 定理且几何关系又较简单，用几何法往往较方便。
y
再考虑补充方程
Fs1 f s FN1, Fs2 f s FN2
联立解之得 2 fs tan q tan 2 j , q 11.42 f 1 f s2
(b)
13
理论力学
例题5-2
力学竞赛知识点介绍
(2) 几何法
仍考虑临界平衡状态,在此情况 下,楔块C 两端所受的全约束力必大 小相等,方向相反且作用线在一条直 线上;与作用点处的法线的夹角均等
22
B
C r O A
FB F
q
P
D
理论力学
例题5-6
力学竞赛知识点介绍
解：
此题在C， D两处都有摩擦，两个摩 擦力之中只要有一个达到最大值，系统 即处于临界状态。
假设C处的摩擦先达到最大值，轮有水平向右滚动的趋势。
B
1.以杆AB为研究对象，受力分析如图。
FNC FAy
C
FC
FB
列平衡方程
M F 0,
Fd f d FN
式中 fd 是动摩擦因数，通常情况下，
fd fs
7
理论力学
1. 摩擦角
力学竞赛知识点介绍 摩擦角和自锁现象
当有摩擦时，支承面对物体的约束力有法向约束力FN和 切向约束力Fs，这两个力的合力称为全约束力FR。
FR FN FS
它的作用线与接触处的 公法线成一偏角j 如图 所示，当静摩擦力达最 大时， j 也达到最大值 jf ,称jf 为摩擦角。
4
理论力学
力学竞赛知识点介绍 滑动摩擦
定义：两个相接触物体，当其接触处产生相对滑动或相对滑 动趋势时，其接触处产生的阻碍物体相对滑动的力叫滑动摩 擦力。 1. 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力 如图(a)所示，在粗糙的水平面上放置一重为P的物 体，当水平方向无拉力时，显然有P=FN。现在该物体 上作用一大小可变化的水平拉力F，如图(b)所示，当拉 力F由零逐渐增加但又不很大时，物体仍能维持平衡。
理论力学
例题5-2
力学竞赛知识点介绍
构件A及B用楔块C联结，如图(a)所示，楔块自重不 F1 F2 。已知楔块与构件间的摩擦系数 fs= 0.1, 求能 计， 自锁的倾斜角q 。 解：(1) 解析法 研究楔块C，受力如 图(b)，考虑临界平衡
(a)
F F
x
0, FN1 cosq Fs1 sin q FN2 0 0, FN1 sin q Fs1 cosq Fs2 0
理论力学
力学竞赛知识点介绍
1
理论力学
力学竞赛知识点介绍
主要内容
静力学
运动学
动力学 专题
2
理论力学
力学竞赛知识点介绍
静力学部分
力、力矩、力系
力偶、力偶矩、力偶系
主矢、主矩、力系简化
约束与约束力
力系平衡
考虑摩擦的平衡问题
3
理论力学
力学竞赛知识点介绍
考虑摩擦的平衡问题
受力图不变，补充方程应改为 解方程得
FD fs 2 FND FC
FD FD max f s 2 FND
最小水平推力为 F FN C sin 60 FD 1 cos 60 47.81 N 此时C处最大摩擦力为
FC max fs1FNC 40 N
C cos 60 G f s 2 FN FD FC 25.86 N 1 f s 2 sin 60
16
理论力学
例题5-4
力学竞赛知识点介绍
宽a，高b的矩形柜放 a 置在水平面上，柜重P， 重心C 在其几何中心，柜 F h P C
与地面间的静摩擦因数是
b fs，在柜的侧面施加水平 向右的力F，求柜发生运 动时所需推力F 的最小值。
17
理论力学
例题5-4
力学竞赛知识点介绍 解:
取矩形柜为研究对象,受力分析如图。 1 .假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。
y
列平衡方程
F
F P
A C
F
x
y
0,
0,
F FA FB 0
FNA FNB P 0
FB f s FNB
FB
FA
B
补充方程
x
FA f s FNA ,
FNA
FNB
联立求解得柜子开始滑动所需的最小推力
F Fmin 1 Pfs
18
理论力学
例题5-4
20
a
A
理论力学
例题5-5
FNB B
y
力学竞赛知识点介绍 解：
以梯子AB为研究对象，人的位置用距离 a 表示，梯子的受力如图。
使梯子保持静止，必须满足下列平衡方程：
q
P
l
F
F
x
0,
0,
FNB Fs 0
y
FNA P 0
a A
M F 0, Pa sin q FNBl cos q 0


可用简单的试验方法测 定摩擦因数。
9
理论力学
力学竞赛知识点介绍
摩擦角就是物块处于临界状态时斜面的倾角q ,即
fs tanjf tanq
下面的螺旋千斤顶就利用了自锁的概念。
10
理论力学
力学竞赛知识点介绍 考虑摩擦时物体的平衡问题
考虑有摩擦的平衡问题时，其解法与普通静力学问题基
本一样。但需指出的是，在受力分析和列平衡方程时要将摩
0 Fs Fmax
(a)
(b)
6
理论力学
实验表明
力学竞赛知识点介绍
Fmax f s FN
上式称为库仑摩擦定律，是计算最大静摩擦力的近似公式。 式中 fs 称为静摩擦因数，它是一个无量纲的量。一般由实验 来确定。
2. 动滑动摩擦力 当接触处出现相对滑动时，接触物体之间仍有阻碍相对 滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力， 以Fd 表示，大小可用下式计算。