2v v e =1v v =ABr v v =045045v r =N竞赛资料 点的合成运动习题解[习题7-1] 汽车A 以h km v /401=沿直线道路行驶，汽车B 以h km v /2402=沿另一叉道行驶。

求在B 车上观察到的Ａ车的速度。

解： 动点：A 车。

动系：固连于B 车的坐标系。

静系：固连地面的坐标系。

绝对运动：动点A 相对于地面的运动。

相对运动：动点A 相对于B 车的运动。

牵连运动：在动系中，动点与动系的重合点， 即牵连点相对于静系（地面）的运动。

当Ａ、 Ｂ两车相遇时，即它们之间的距离趋近于０时， Ａ、Ｂ相重合，Ｂ车相对于地面的速度就是牵连速度。

2v v e =。

由速度合成定理得：→→→+=r e v v v 。

用作图法求得：h km v v AB r /40== （↑）故，Ｂ车上的人观察到Ａ车的速度为h km v v AB r /40==，方向如图所示。

[习题7-2] 由西向东流的河，宽1000m ，流速为s ，小船自南岸某点出发渡至北岸，设小船相对于水流的划速为1m/s 。

问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间需多久？（2）若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸，划船时应取什么方向？渡河时间需多久？ 解：（１） 动点：船。

动系：固连在流水上。

静系：固连在岸上。

绝对运动：岸上的人看到的船的运动。

相对运动：船上的有看到的船的运动。

牵连运动：与船相重合的水体的运动。

v r 1=Nsm /2sm v e /1=v绝对速度：未知待求，如图所示的v 。

相对速度：s m v r /1=，方向如图所示。

牵连速度：s m v e /5.0=，方向如图所示。

由速度合成定理得：)(50021000tan 1000m AC ===θ，即，船将在北岸下流５００m 处靠岸。

如图所示，Ａ为出发点，Ｂ为靠岸点。

渡河所花的时间：秒分4016)(1000/110001===s sm mt（２）即船头对准方向为北偏西030 渡河所花的时间：[习题7-3] 播种机以匀速率s m v /11=子脱离输种管时具有相对于输种管的速度s m v /22=。

求此时种子相对于地面的速度，地面上的位置与离开输种管时的位置之间水平距离。

解：动点：种子。

动系：固连于输种管的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：种子相对于地面的速度，未知待求。

相对速度：s m v v r /22== 牵连速度：s m v v e /11==即→v 与→1v 之间的夹角为093.40=θ。

种子走过的水平距离为：[习题7-4] 砂石料从传送带Ａ落到另一传送带Ｂ的速度为s m v /41=，其方向与铅直线成030角。

设传送带Ｂ与水平面成015角，其速度αvv e =Aa v v =v 为s m v /22=，求此时砂石料对于传送带Ｂ的相对速度。

又当传送带Ｂ的速度多大时，砂石料的相对速度才能与B 带垂直。

解：动点：砂石料。

动系：固连于传送带Ｂ的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：砂石料相对于地面的速度，s m v v /41==。

相对速度：砂石料相对于传送带Ｂ的速度，待求。

牵连速度：传送带Ｂ相对于地面的速度：s m v v e /22== 当B r v v ⊥时，传送带Ｂ的速度为：[习题7-5] 三角形凸轮沿水平方向运动，其斜边与水平线成α角。

杆ＡＢ的Ａ端搁置在斜面上，另一端Ｂ在气缸内滑动，如某瞬时凸轮以速度v 向右运动，求活塞Ｂ的速度。

解： 动点：Ａ。

动系：固连于凸轮上的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：Ａ相对于地面的速度，待求。

相对速度：Ａ相对于凸轮的速度。

牵连速度：凸轮相对于地面的速度。

因为杆ＡＢ作上下平动，故活塞Ｂ的速度为： [习题7-6] 图示一曲柄滑道机构，长r OA =的曲柄，以匀角速度ω绕Ｏ轴转动。

装在水平杆ＣＢ上的滑槽ＤＥ与水平线成060角。

求当曲柄a90BCOaevC与水平线的夹角ϕ分别为00、030、060时，杆ＢＣ的速度。

解：动点：Ａ。

动系：固连于ＣＢＤＥ上的坐标系。

动系平动，BCCBDEAvvv==静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：Ａ相对于地面的速度。

相对速度：Ａ相对于ＤＥ的速度。

牵连速度：ＣＢＤＥ相对于地面的速度。

负号表示此时速度方向与图示方向相反，即向左。

120sin)3030sin(|300=-==ϕBCv，此时往复运动改变方向。

ωωωϕrrrvBC332321120sin)3060sin(|600==⋅-==，向右。

[习题7-7] 摇杆ＯＣ带动齿条ＡＢ上下移动，齿条又带动直径为１００ｍｍ的齿轮绕Ｏ１轴摆动。

在图所示瞬时，ＯＣ之角速度ω０＝０.５ｒａｄ／ｓ，求这时齿轮的角速度。

解：动点：C。

动系：固连于ＯＣ杆上的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：Ｃ相对于地面的速度。

相对速度：Ｃ相对于ＯＣ杆的速度。

牵连速度：ＯＣ杆相对于地面的速度。

avrBeav rv 即齿轮的角速度为s rad /33.51=ω[习题7-８] 摇杆滑道机构的曲柄ＯＡ长l ，以匀角速度ω０绕Ｏ轴转动。

已知在图所示位置 ＯＡ⊥ＯＯ１，l AB 2=，求该瞬时ＢＣ杆的速度。

解： 动点：Ａ。

动系：固连于D O 1杆上的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：Ａ相对于地面的速度，0ωl v a =。

相对速度：Ａ相对于D O 1杆的速度。

牵连速度：D O 1杆相对于地面的速度。

动点：Ｂ。

动系：固连于D O 1杆上的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。

相对速度：Ｂ相对于D O 1杆的速度。

牵连速度：D O 1杆相对于地面的速度。

BC 作平动，故[习题7-9] 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ，沿水平方向向右作匀加速运动，其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ２。

凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。

设在图所示瞬时，ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。

解：动点：Ｂ。

动系：固连于凸轮Ａ上的坐系。

静系：固连于地面的坐标绝对速度：Ｂ相对于地面的a r 相对速度：Ｂ相对于凸轮的速度。

牵连速度：Ｂ相对于凸轮的速度。

凸轮在水平面上作平动，ＢＣ在铅垂方向上作平动。

上式在x 轴上的投影为：)/(4.8214300)1200(2800732.122s mm a a -=⨯-⨯=，负号表示方向向下。

[习题7-10] 铰接四边形机构中的Ｏ１Ａ＝Ｏ２Ｂ＝１００ｍｍ，Ｏ１Ｏ２＝ＡＢ，杆Ｏ１Ａ以等角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ绕Ｏ１轴转动。

ＡＢ杆上有一套筒Ｃ，此筒与ＣＤ杆相铰接，机构各部件都在同一铅直面内。

求当φ＝６０°时ＣＤ杆的速度和加速度。

解：动点：Ｃ。

动系：固连于ＡＢ杆上的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：Ｃ相对于地面的速度。

相对速度：Ｃ相对于ＡＢ杆的速度。

牵连速度：ＡＢ杆相对于地面的速度。

[习题7-11] 具有圆弧形滑道的曲柄滑道机构，用来使滑道ＣＤ获得间歇往复运动。

若已知曲柄ＯＡ作匀速转动，其转速为ω＝４πｒａｄ／ｓ，又Ｒ＝ＯＡ＝１００ｍｍ，求当曲柄与水平轴成角φ＝３０°时滑道ＣＤ的速度及加速度。

解：动点：Ａ。

动系：固连于滑道ＣＤ上的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：Ａ相对于地面的速度。

相对速度：Ａ相对于滑道ＣＤ的速度。

牵连速度：滑道ＣＤ相对于地面的速度。

加速度在ξ方向的投影：[习题7-12] 时杆ＡＢ沿水平方向移动的速度ｖ１＝８０ｍｍ／ｓ，加速度ａ１＝１０ｍｍ／ｓ２；杆ＣＤ沿铅直方向移动的速度ｖ２＝６０ｍｍ／ｓ，加速度ａ２＝２０ｍｍ／ｓ２。

求该瞬时销钉Ｍ的速度及加速度。

解：动点：Ｍ。

动系：固连于ＡＢ上的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：Ｍ相对于地面的速度。

相对速度：Ｍ相对于ＡＢ的速度。

牵连速度：ＡＢ相对于地面的速度。

[习题7-13] 水力采煤用的水枪可绕铅直轴转动。

在某瞬时角速度为ω，角加速度为零。

设与转动轴相距ｒ处的水点该瞬时具有相对于水枪的速度ｖ１及加速度ａ１，求该水点的绝对速度及绝对加速度。

解：动点：水点。

动系：固连于水枪上的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：水点相对于地面的速度。

相对速度：水点相对于水枪的速度。

牵连速度：水枪上与水点相重点相对于地面的速度。

[习题7-14] 半径为ｒ的圆盘可绕垂直于盘面且通过盘心Ｏ的铅直轴ｚ转动。

一小球Ｍ悬挂于盘边缘的上方。

设在图示瞬时圆盘的角速度及角加速度分别为ω及α，若以圆盘为动参考系，试求该瞬时小球的科氏加速度及相对加速度。

解：动点：小球Ｍ。

动系：固连于圆盘上的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

e aAτaea r绝对速度：小球Ｍ相对于地面的速度。

相对速度：小球Ｍ相对于圆盘的速度。

牵连速度：圆盘上与小球Ｍ相重点相对于地面的速度。

20290sin 2sin 2ωωωθωr r v a r C =⋅⋅==，方向如图所示。

[习题7-15] 一半径ｒ＝２００ｍｍ的圆盘，绕通过Ａ点垂直于图平面的轴转动。

物块Ｍ以匀速率ｖｒ＝４００ｍｍ／ｓ沿圆盘边缘运动。

在图示位置，圆盘的角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ，角加速度α＝４ｒａｄ／ｓ２，求物块Ｍ的绝对速度和绝对加速度。

解：动点：物块Ｍ。

动系：固连于圆盘上的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：物块Ｍ相对于地面的速度。

相对速度：物块Ｍ相对于圆盘的速度。

牵连速度：圆盘上与物块Ｍ相重点相对于地面的速度。

[习题7-16] 大圆环固定不动，其半径Ｒ＝０.５ｍ，小圆环Ｍ套在大圆环上，如图所示。

当θ＝３０°时，ＡＢ杆转动的角速度ω＝２ｄ／ｓ，角加速度α＝２ｒａｄ／ｓ２动的速度；（２）Ｍ沿ＡＢ杆滑动的速度；（３）Ｍ的绝对加速度。

解：动点：小圆环Ｍ。

动系：固连于ＡＢ杆上的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：小圆环Ｍ相对于地面的速度。

相对速度：小圆环Ｍ相对于ＡＢ杆的速度。

牵连速度：ＡＢ杆上与小圆环Ｍ相重点相对于地面的速度。

)/(2866.0732,130cos 0s m v v e a ===（Ｍ沿大圆环滑动的速度）)/(15.0230sin 0s m v v a r =⨯==（Ｍ沿ＡＢ杆滑动的速度）ev 如图所示，→→→→++=C r e a a a a a 在→C a 方向上的投影为：)/(25.828)()(22222s m a a a an a a =+=+=τ （Ｍ的绝对加速度）。

004.1482arctan arctan ===naa a a τβ ，如图所示。

[习题1-17] 曲柄ＯＡ，长为２ｒ,绕固定轴Ｏ转动；圆盘半径为r,绕Ａ轴转动。

已知mm r 100=，在图示位置，曲柄ＯＡ的角速度s rad /41=ω,角加速度21/3s rad =α，圆盘相对于ＯＡ的角速度s rad /62=ω，角加速度22/4s rad =α。