高等量子力学习题和解答† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。

这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。

进一步证明，若Qˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。

解：设有线性变换Qˆ，与时间无关；存在逆变换1ˆ-Q 。

在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程ˆ''ˆt ti H i H ∂ψ=ψ∂ψ=ψh h 进而有2、 令坐标系xyz O -绕z轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R zeρ的矩阵表示。

解：'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z zθθθθθ-=+=-+=考虑坐标系绕轴转角用矩阵表示 '10'10'001x d x y d y z z θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭还可表示为 '()ze r R d r θ=r3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ=。

试导出转动算符),(θd n U ρ的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。

解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符()ze U d θr 利用 (')()()ze r U d r θψ=ψ及 (')()r Rr ψ=ψr r可得 ()1ze z iU d d L θθ=-r h通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为1U U U -+=⇒ 为幺正算符若 (')()()ze r U d r θψ=ψr r r则必有1(')()()()()[,]z ze ez H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r rh若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。

解：矢量函数在旋转变换下后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr rr r r r r r r r又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r比较得'(')(')(')ˆ[1]()[1]()[1]()()x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθθθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r rh 类似可得 ˆ'(')()[1]()ˆ'(')[1]()y x z yz z zi r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r rhr rh写成矩阵形式 '(')()'(')()()'(')()z x x y e y z z r r r U d r r r θψψ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ψ=ψ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ψψ⎝⎭⎝⎭r r r r r r r 其中 ˆ10ˆ()10ˆ00100ˆ(1)00000z z e z z z i d L d i U d d d L i d L d i d L I d θθθθθθθθθ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪-⎪⎝⎭-⎛⎫⎪=-+ ⎪ ⎪⎝⎭r h hh h 改写为 00ˆ()[00]000z e z i i U d I d L I i θθ-⎛⎫⎪=-+ ⎪ ⎪⎝⎭r h h 再令 0000000z i S i -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭h 则 ()()ze z z z ii U d I d L S I d J θθθ=-+=-r h h若哈密顿量具有转动对称性，必有总角动量守恒由 2222222000202002x yz S S S S I ⎛⎫ ⎪=++== ⎪ ⎪⎝⎭h h 知1S = →当某微观粒子的状态需要用矢量函数来描述的话，则该粒子自旋为１。

例：光子5、 证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。

解：定义宇称算符ˆ()()Pr r ψ=ψ-r r本征问题 ˆ()()Pr P r ϕϕ=rr厄米性幺正性† 角动量理论1、 试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。

解： 轨道角动量 ˆ[,]x y z Lr p L L i L =⨯=rr rh ； 自旋角动量 ˆ[,]x y z SS S i S =r h ； [,]0L S =rr → J L S =+r r r 仍为角动量证：[,][,][,][,]x y x x y y x y x y z z zJ J L S L S L L S S i L i S i J =++=+=+=h h h一般地若两角动量满足 12[,]0J J =r r则12J J J =+r r r也是角动量进一步：任意个两两对易的角动量算符之和仍为角动量算符 证明：设n m n nm J J i J δ⨯=r r rh 即[,]nx my nz nm J J i J δ=h则对于 11ˆ;,,k k n n n n J J J J x y z μμμ===⇒==∑∑rr2、 定义角动量升降算符yx J i J J ˆˆˆ±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。

解： 利用升降算符可得到给定λ下，2j z 和j 的全部本征函数１）从jm ψ出发 ２）从j m ψ出发m m 与—指标方程及取值情况 利用0j m J J ψ+-=和0jm J J ψ-+=3、 给出角量子数1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。

解：利用yx J i J J ˆˆˆ±=± 4、 设总角动量算符21J J J ρρρ+=，1J ρ、2J ρ相应的角量子数分别为1j 和2j ，试讨论总角动量量子数j 的取值情况。

解： 设12J J r r、分别是粒子1、2的角动量 有1122j m j m ψψ、是相应的本征函数对两粒子体系（只考虑角动量涉及的自由度），其总角动量 12J J J =+r r r的本征方程为问题：１）12j j j 与、的关系２）1122(12)(1)(2)jm j m j m ψψψ与、的关系已知1122{(1)(2)}j m j m ψψ是221122{,,,}z z J J J J 共同的正交归一完备本征函数系→可将(12)jm ψ作展开5、 已知在3ˆs 表象中，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ˆ1ηs ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=002ˆ2i i s η，问在1ˆs 表象中2ˆs 的矩阵表示是怎样的？ † 二次量子化方法1、 给定算符a a n a a ++=ˆ，，，且满足1},{=+a a ，022==+a a ，试证：1）n n ˆˆ2=；nˆ的本征值只能取1和0。

2）在n ˆ对角化表象中，给出a a ，+和n ˆ的矩阵表示。

解：（1）2ˆ(1)n a aa a a a a a a a n+++++==-== （2）ˆnn a a n += 当为真空时0，ˆ0000na a +==，本征值为0ˆ11011na a a ++===，本征值为1 因为n nˆˆ2=，有22垐垐ˆn n nn n nn n n nnn n n ====所以有 2n n = 本征值只能取0，12、 设0}ˆ,{}ˆ,ˆ{1}ˆ,ˆ{===+++a a a a a a，，令a a n ˆˆˆ+=，证明 解：验证3、 令αααa a nˆˆˆ+=，证明无论对玻色子还是费米子，均有 其中α为量子态标记。

解：玻色子，对易关系为费米子，对易关系为4、 均匀外场ε中质量为m ，所带电荷为e -，频率为ω的一维谐振子体系。

引入玻色子 算符试证明可将哈密顿量表成 并将其对角化。

式中ωελm e 2η=。

解：有外电场的哈密顿量为带入 ,2/)ˆˆ(ˆωωηm p i x m a+= 得到 )ˆˆ()21ˆˆ(ˆa a a a H+++=++λωη 式中 ωελm e 2η= 引入 a λω=+A a λω++=+A ， 可以证明其对易关系为 [,]1+=A A ，[,]0=A A ，[,]0++=A A可将哈密顿量表成122H λλλωλωωω++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒=--+++- ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦A A A A h 设新的Fock 态为||0nn +〉=〉， 则 21||2H n n n λωω⎡⎤⎛⎫〉=+-〉 ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦h† 相对论量子力学1、 已知μμαα=+，μνμννμδαααα2=+，试在βα=4为对角的表象中建立μα的矩阵表示。

解：狄拉克表象中的γ-矩阵 设1a b b c α*⎛⎫=⎪⎝⎭其中,,22a b c ⨯都是的矩阵 则2212()()a b a b a bb a c b b c b c a c b bb c α*****⎛⎫++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭有 c a =- 和 2a bb I *+=利用μνμννμδαααα2=+ 得14410000ab I I a b ba I Ib a αααα**⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得到 0,x a b i σ==-，那么100x x i i σασ-⎛⎫=⎪⎝⎭ 或0,y a b i σ==-， 那么200y yi i σασ-⎛⎫=⎪⎝⎭ 或0,z a b i σ==-， 那么300z zi i σασ-⎛⎫=⎪⎝⎭2、 对于自由电子，证明|)|/(p p e e ρρρρρ=⋅σ是守恒量，并求出其本征值。

3、 中微子是自旋为1/2，静质量为0的基本粒子。

试仿照建立自由电子Dirac 方程的方法，建立中微子的相对论性波动方程。

［参见曾谨言《量子力学》（卷II ）］† 路径积分方法1、证明传播子("",'')F D r t r t r r所满足的组合规则。