第十五章 傅里叶级数 3收敛定理的证明预备定理1：(贝塞尔不等式)若函数f 在[-π,π]上可积，则2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a ≤⎰ππ-2(x)f π1dx ，其中a n , b n 为f 的傅里叶系数.证：令S m (x)=2a 0+∑=+m1n n n sinnx )b cosnx (a ，则⎰ππ-2m (x )]S -[f(x )dx=⎰ππ-2(x )f dx-2⎰ππ-m (x )f(x )S dx+⎰ππ-2m (x)S dx. 其中 ⎰ππ-m (x )f(x )S dx=⎰ππ-0f(x)2a dx+dx cosnx f(x )a m1n ππ-n ∑⎰= ⎝⎛+⎪⎭⎫⎰sinnxdx f(x)b ππ-n =20a 2π+π∑=m1n 2n 2n )b +(a . 由三角函数的正交性，有 ⎰ππ-2m (x )S dx=⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=ππ-2m 1n n n 0sinnx)b cosnx (a 2a dx =⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ-202a dx+⎰∑⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ππ-m 1n ππ-22n ππ-22n nx dx sin b nx dx cos a dx=20a 2π+π∑=m 1n 2n 2n )b +(a . ∴⎰ππ-2m (x )]S -[f(x )dx=⎰ππ-2(x )f dx-2πa -2π∑∞=1n 2n2n )b +(a +20a 2π+π∑=m1n 2n 2n )b +(a=⎰ππ-2(x )f dx-⎢⎣⎡20a 2π+π⎥⎦⎤∑=m1n 2n 2n )b +(a ≥0. ∴2a 20+∑=m1n 2n 2n )b +(a ≤⎰ππ-2(x)f π1dx 对任何正整数m 都成立. 又 ⎰ππ-2(x)f π1dx 为有限值，∴正项级数2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a 的部分和数列有界， ∴2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a 收敛且有2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a ≤⎰ππ-2(x)f π1dx.推论1：(黎曼-勒贝格定理)若f 为可积函数，则cosnx f(x )limππ-n ⎰∞→dx=sinnx f(x )lim ππ-n ⎰∞→=0.证：由2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a 收敛知，2n 2n b +a →0 (n →∞)，∴a n →0, b n →0, (n →∞)， ∴cosnx f(x )lim ππ-n⎰∞→dx=sinnx f(x )lim ππ-n ⎰∞→dx=0.推论2：若f 为可积函数，则x 21n sin f(x )lim πn ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞→dx=x 21n sin f(x )lim 0π-n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞→dx =0. 证：∵x 21n sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=cos 2x sinnx+sin 2xcosnx ， ∴x 21n sin f(x )π⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰dx =sinnx 2x f(x )cos π0⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡dx+cosnx 2x f(x )sin π0⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡dx =sinnx (x )F ππ-1⎰dx+cosnx (x )F ππ-2⎰dx ，其中F 1(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-πx 02x cos )x (f 0x π0，，；F 2(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-πx 02x sin )x (f 0x π0，，.可知F 1与F 2在[-π,π]上可积. 由推论1可知sinnx (x )F lim ππ-1n ⎰∞→dx=cosnx (x )F lim ππ-2n ⎰∞→=0. ∴x 21n sin f(x )lim π0n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞→dx=0. 同理可证：x 21n sin f(x )lim 0π-n⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞→dx =0.预备定理2：若f 是以2π为周期的函数，且在[-π,π]上可积，则它的傅里叶级数部分和S n (x)可写成S n (x)=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++ππ-2t 2sint21n sin t)f(x π1dt ，当t=0时，被积函数中的不定式由极限 2t 2sint21n sin lim0t ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→=n+21确定. 证：在傅里叶级数部分和S n (x)=2a 0+sinkx )b +coskx (a n1k k k ∑=中代入傅里叶系数公式，可得：S n (x)=⎰ππ-f(u)2π1du +∑⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1k ππ-ππ-sinkx sinkudu f(u)+coskx coskudu f(u)π1 =⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-n 1k )sinkusinkx +kx coskuducos (21f(u)π1du=⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-n 1k x)-cosk(u 21f(u)π1du. 令u=x+t ，得S n (x)=⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛++=x -πx -π-n 1k coskt 21t)f(x π1dt ，又被积函数周期为2π，且∑=+n 1k coskt 21=2t 2sint21n sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+， ∴S n (x)=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++ππ-2t 2sint21n sin t)f(x π1dt. (f 的傅里叶级数部分和积分表示式).收敛定理15.3证明：若周期为2π的函数f 在[-π, π]上按段光滑，则在每一点x ∈[-π, π]，f 的傅里叶级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 收敛于f在点x 的左右极限的算术平均值，即20)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a ，其中a n , b n 为傅里叶系数.证：记f 的傅里叶级数的部分和为S n (x)=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++ππ-2t 2sint21n sin t)f(x π1dt.∵⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ-2t 2sin t 21n sin π1dt=⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ-n 1k coskt 21π1dt=1；又上式左边为偶函数，∴两边同时乘以f(x+0)后得：20)f(x +=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++ππ-2t 2sint21n sin 0)f(x π1dt.令φ(t)=-2t sin 20)f(x -t)f(x ++=-2t sin2tt 0)f(x -t)f(x ⋅++, t ∈(0,π].则 φ(t)lim 0t +→=-f ’(x+0)·1=-f ’(x+0).再令φ(0)=-f ’(x+0)，则φ在点t=0右连续.又φ在[0,π]上至多只有有限个第一类间断点，∴φ在[0,π]上可积. 根据预备定理1的推论2，有2t 2sint21n sin t)]f(x -0)[f(x π1lim π0n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎰∞→dt=t 21n sin φ(t)π1lim π0n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞→dt=0， ∴⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎰∞→dt 2t 2sint 21n sin t)f(x π1-20)f(x lim π0n=0，同理可证 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎰∞→dt 2t 2sint 21n sin t)f(x π1-20)f(x lim π0n =0；∴⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎰∞→dt 2t 2sint 21n sin t)f(x π1-20)-f(x 0)f(x lim π0n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∞→(x )S -20)-f(x 0)f(x lim n n =0. 即20)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a . 习题1、设f 以2π为周期且具有二阶连续的导函数，证明f 的傅里叶级数在(-∞,+∞)上一致收敛于f.证：由f 在(-∞,+∞)上光滑，知f ’在[-π, π]上可积， 且f ’的傅里叶系数为：a ’0=0；a ’n =nb n , b ’n =-na n , (n=1,2,…). ∴|a n |+|b n |=n |a |n '+n |b |n '≤)n 1a (2122n +'+)n 1b (2122n +'=)b a (212n 2n '+'+2n1. 由贝塞尔不等式知级数∑∞='+'1n 2n2n)b a (收敛，又级数∑∞=1n 2n1级数， 由正项级数的比较原则知，2|a |0+∑∞=+1n n n |)b ||a (|收敛，由定理15.1知f 的傅里叶级数在(-∞,+∞)上一致收敛于f.2、设f 为[-π,π]上的可积函数. 证明：若f 的傅里叶级数在[-π,π]上一致收敛于f ，则帕塞瓦尔等式成立，即⎰ππ-2(x)f π1dx=2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a ， 其中a n , b n 为傅里叶系数.证：∵f 的傅里叶级数在[-π,π]上一致收敛于f ，∴f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .∴⎰ππ-2(x)f π1dx=⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞=ππ-1n n n 0sinnx)b +cosnx (a 2a )x (f π1dx =2a 2+⎰∑∞=ππ-1n n n sinnx ])x (f b +cosnx )x (f [a π1dx. ∵f 在[-π,π]上可积，∴f 在[-π,π]上有界. ∴∑∞=1n n n sinnx ])x (f b +cosnx )x (f [a 在[-π,π]上一致收敛.∴⎰ππ-2(x)f π1dx=2a 20+dx ]sinnx )x (f b +cosnx dx )x (f [a π1ππ-1n n ππ-n ⎰∑⎰∞=dx=2a 20+∑∞=1n 2n 2n π)b +π(a π1=2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a .3、由于帕塞瓦尔等式对于在[-π,π]上满足收敛定理条件的函数也成立. 请应用这个结果证明下列各式：(1)8π2=∑∞=1n 2)1-n 2(1；(2)6π2=∑∞=1n 2n 1；(3)90π4=∑4n 1. 证：(1)对函数f(x)= πx 0 4π0x π- 4π-⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<，，在(-π, π)上展开傅里叶级数得： f(x)=∑∞=--1n 12n 1)xsin(2n ，其中a 0=a n =0，b n =2n )1(1n --，n=1,2,…；根据帕塞瓦尔等式有⎰ππ-2(x)f π1dx=∑∞=1n 2n b =∑∞=1n 2n 2n (-1)-1=∑∞=1k 21)-(2k 1， 又⎰ππ-2(x)f π1dx=⎰ππ-216ππ1dx=8π2，∴8π2=∑∞=1n 2)1-n 2(1.(2)对函数f(x)=x 在(-π, π)上展开傅里叶级数得：f(x)=2∑∞=+-1n 1n nsinnx)1(. 其中a 0=a n =0，b n =n)1(21n +-，n=1,2,…；根据帕塞瓦尔等式有⎰ππ-2(x)f π1dx=∑∞=1n 2n b =4∑∞=1n 2n 1，又⎰ππ-2(x)f π1dx=⎰ππ-2x π1dx=32π2， ∴32π2=4∑∞=1n 2n1，即6π2=∑∞=1n 2n 1.(3)对函数f(x)=x 2在(-π, π)上展开傅里叶级数得：f(x)=31π2+4∑∞=1n 2n n cosnx (-1). 其中a 0=32π2，a n =2n n 4(-1)，b n =0，n=1,2,…； 根据帕塞瓦尔等式有⎰ππ-2(x)f π1dx=2a 20+∑∞=1n 2n a =92π4+16∑∞=1n 4n 1，又⎰ππ-2(x)f π1dx=⎰ππ-4x π1dx=32π2，∴52π4=92π4+16∑∞=1n 4n 1，即90π2=∑4n 1.4、证明：若f,g 均为[-π,π]上的可积函数，且它们的傅里叶级数在[-π,π]上分别一致收敛于f 和g ，则⎰ππ-f(x)g(x)π1dx=2αa 00+∑∞=+1n n n n n )βb αa (，其中a n , b n 为f 的傅里叶系数，αn ,βn 为g 的傅里叶系数. 证：由f 的傅里叶级数在[-π,π]上一致收敛于f ，有f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a . ∵f,g 均在[-π,π]上可积，∴∑∞=1n n n g(x )sinnx ]b +g(x )cosnx [a 在[-π,π]上一致收敛.∴⎰ππ-f(x)g(x)π1dx=⎰ππ-0g(x)2a π1dx+∑⎰∞=1n ππ-n n g(x )sinnx ]b +g(x )cosnx [a π1dx=2αa 00+∑⎰⎰∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n ππ-ππ-n n x g(x )sinnx d π1b +x g(x )cosnx d π1a =2αa 00+∑∞=+1n n n n n )βb αa (.5、证明：若f 及其导函数f ’均在[-π,π]上可积，⎰ππ-f(x )dx=0, f(-π)=f(π)，且帕塞瓦尔等式成立，则⎰'ππ-2(x )]f [dx ≥⎰ππ-2[f(x )]dx.证：设a 0,a n ,b n 为f 的傅里叶系数；a ’0,a ’n ,b ’n 为f ’的傅里叶系数. 由⎰ππ-f(x )dx=0, f(-π)=f(π)，有a ’0=a 0=0; a ’n =nb n ,b ’n =-na n .根据帕塞瓦尔等式，有⎰ππ-2[f(x)]π1dx=2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a =∑∞=1n 2n 2n )b +(a ， ⎰'ππ-2(x)]f [π1dx=2a 20'+∑∞=''1n 2n 2n )b +a (=∑∞=1n 2n 2n 2)b +(a n ≥∑∞=1n 2n 2n )b +(a =⎰ππ-2[f(x)]π1dx. ∴⎰'ππ-2(x )]f [dx ≥⎰ππ-2[f(x )]dx.。