第四节 离散鞅的收敛定理设}0;{M n X X n ≤≤=为一数列，],[b a 为一闭区间，如果a X k <，b X k >+1，则称该数列上穿],[b a 一次。

记⎩⎨⎧≤≤>+≤≤≤=Mn a X M a X M n n n n 0,,1},0;min{1τ⎩⎨⎧≤≤≤+≤≤≤=Mn b X M b X M n n n n 111,,1},;min{ττσ⎩⎨⎧≤≤>+≤≤≤=M n a X M a X M n n n n 112,,1},;min{σστ⎩⎨⎧≤≤≤+≤≤≤=M n b X M b X M n n n n 222,,1},;min{ττσ…⎩⎨⎧≤≤>+≤≤≤=--M n a X M a X M n n k n n k k 11,,1},;min{σστ ⎩⎨⎧≤≤≤+≤≤≤=M n b X M b X M n n k n n k k ττσ,,1},;min{ 于是b X a X ≥≤11,στ，数列穿过],[b a 一次，b X a X ≥≤22,στ，数列穿过],[b a 两次，如此下去，b X a X k k ≥≤στ,，数列穿过],[b a k 次，在这里都假设k i M i i ≤≤≤1,,στ。

定义1-4-1 M k ≤σ的最大的k 称为数列}0;{M n X X n ≤≤=上穿],[b a 的次数，记为b a V 。

若11+=M σ，则令0=b a V 。

定理1-4-1 （上穿不等式）设}0;{M n X X n ≤≤=为下鞅，则|}|][{1]})[(])[({1][0a X E ab a X E a X E ab V E n M b a +-≤----≤+++证明：令M n a X Y n n ≤≤-=+0,)(,则由定理1-3-2的推论1-3-2知n Y 也是下鞅。

易见，若n X 穿过],[b a 一次，即b X a X i i ≥≤στ,，则,,0a b Y Y i i -≥=στ即n Y 穿过],0[a b -一次。

所以n Y 穿过],0[a b -的次数也是b a V ，且由n X 在],[b a 上定义的k k στ,和由n Y 在],0[a b -上定义的k k στ,相同。

再令M M M Y Y M =+==++110,1,0τσ则∑∑+==--+-=-1110)()(1M k Mk M k k k k Y Y Y Y Y Y σττσ （1）b a V 是ω的函数，设0)(>=r w V b a ，则r k a b Y Y k k ,,2,1,)()( =-≥-ωωτσr k Y Y k k >≥-,0)()(ωωτσ)()(),())()((1ωωωτσba Mk V a b r a b Y Y kk -=-≥-∑= 当0=r 时，上式仍成立。

][)(])([1b a Mk V E a b Y Y E k k -≥-∑=τσ （2）又因为k k στ,是有界停时，且1-≥k k στ，故由定理1-3-2知11)|(--≥k k Y Y E σστF ，][][1-≥k kY E Y E στ从而 0)]()([)]([111111≥-=-∑∑+=+=--M k M k k kk k Y E Y E Y Y E στωτ （3）由式（1）（2）（3）知])()([][][][111001∑∑=+=--+-=-=-Mk M k M M k k k k Y Y Y Y E Y Y E Y E Y E σττσ][)(b a V E a b -≥由此得 ])()([1)]()([1][00++----=--≤a X E a X E ab Y E Y E a b V E M M b a 又因为|,|)(a X a X MM +≤-++所以 |}.|][{1][a X E ab V E n b a +-≤+定理1-4-2 设}0;{≥=n X X n 为下鞅，满足条件∞<|][|sup n X E记,0k k F F ∞=∞∨=则存在∞F 可测的随机变量∞X ，满足∞∞→=X X n n lim ..e a证明：令)}(lim )(lim ;{ωωωn n n n X X A ∞→∞→<=)}(lim )(lim ;{),(ωωωn n n n X b a X b a A ∞→∞→<<<=则∞∈F ),(,b a A A 。

记Q 为有理数全体，则),(,b a A A Qb a b a ∈<= （习题1-4-1 证明此式）往证0)(=A P ,令)(M V b a 为M X X X ,,,10 上穿],[b a 的次数，b a V 表示,,,210 X X X 上穿],[b a 的次数。

显然)(M V b a 单调非减，且)(lim M V V b a n b a ∞→=。

由上穿不等式|]||)(|sup [1|}.|][{1)]([0a X E ab a X E ab M V E M M n b a +-≤+-≤≥+所以∞<+-≤≥|]||)(|sup [1][0a X E ab V E n n b a 由此知1)(=∞<b a V P由上极限和下极限的定义知{}+∞=⊂)(;),(ωωb a V b a A故0)(,0)),((==A P b a A P .所以n n X ∞→lim 几乎处处存在。

记n n X X ∞→∞=lim则∞∞→=X X n n lim ..e a由Fatou 引理得∞<≤≤≥∞→∞|}{|sup |][|lim |][|0n n n n X X E X E注1-4-1 因为][][2][][2|][|0X E X E X E X E X E n n n n -≤-=++所以条件+∞<≥|][|sup 0n n X E 可以减弱为+∞<+≥][sup 0n n X E 。

推论1-4-1 设}0;{M n X X n ≤≤=为非负上鞅，则..,lim e a X X n n ∞∞∞→∈=F证明：因为n X 为上鞅，所以n X -为下鞅，所以∞<≤=-][][|][|1X E X E X E n n..,)(lim 'e a X X n n ∞∞∞→∈=-F ..,lim 'e a X X X n n ∞∞∞→≡-= END定义1-4-2 }0;{≥=n X X n 为随机序列，称X 为一致可积的，如果0||lim }|{|=⎰≥∞→dP X n X n λλ关于0≥n 一致成立。

定理1-4-3 设}0;{≥=n X X n 是鞅（下鞅），且一致可积，则存在可积的随机变量∞X ，∞X 关于∞F 可测，使 （ⅰ）∞∞→=X X n n lim ..e a（ⅱ）0lim =-∞∞→X X E n n（ⅲ）}0;{∞≤≤n X n 是鞅（下鞅），即对一切0≥n ，都有..),(]|[e a X X X E n n n ≥=∞F证明：因为}0;{≥=n X X n 一致可积，所以当λ充分大时，对n 一致地有ελλλ+≤+≤⎰⎰≥<}|{|}|{|||||||n n X n X n n dP X dP X X E由此可知，∞<≥][sup 0n n X E 。

由定理1-4-2知，存在∞F 可测且可积的∞X ，使∞∞→=X X n n lim ，..e a 。

∞⊆∈∀F F n A ，因为,]|[n n m X X E =F 由条件概率的定义知∞→→==∞⎰⎰m I X E I X E dP X dP X A A m Am An ],[][再由条件概率的定义和性质知，..,)(]|[e a X X X E n n n ≥=∞F （习题1-4-1 证明下鞅的情形）END推论1-4-2 设}0,{≥n n F 为σ代数流，n n F F 0∞=∞∨=，Y 是可积的随机变量，令,0],|[≥=n Y E X n n F则（ⅰ）}{n X 一致可积（ⅱ）.,,]|[lim e a Y E X n n ∞∞→=F ，且0|)|(|lim =-∞∞→F Y E X E n n证明：（ⅰ）由马尔科夫不等式∞→→≤≤≥--λλλλ,0||||)|(|11Y E X E X P n n所以⎰≥}|{|||λn X n dP X ⎰≥≤}|{|||λn X dP Y⎰≥<=}|{|}|{|||λn X k Y dP Y ⎰≥≥+}|{|}|{|||λn X k Y dP Y⎰≥=}|{|λn X dPk⎰≥+}|{|||k Y dP Y)|(|λ≥=n X kP ⎰≥+}|{|||k Y dP Y对,,0K ∃>∀ε当K k >时，2||}|{|ε<⎰≥k Y dP Y对所取的k ，取充分大的k λ，使k λλ>时，2)|(|ελ<≥n X kP所以λ充分大时，εεελ<+<⎰≥22||}|{|n X n dP X}{n X 一致可积。

（ⅱ）因为n n n n n n X Y E Y E E X E ===++]|[]|]|[[]|[11F F F F ，所以}0;{≥n X n 是鞅，又因为}0;{≥n X n 一致可积，由定理1-4-3知存在∞∞∈F X ，∞<∞||X E ，使得∞∞→=X X n n lim ，..e a 。

往证]|[∞∞=F Y E X . 因为∞→→-∞n X X E n ,0||所以对∞∈∀F A∞→→∞n I X E I X E A A n ],[][从而对∞⊂∈∀F F n A ，有∞→→=⎰⎰⎰∞n dP X dP X dP Y AAn A,所以][][A A I X E YI E ∞=上式对n n A F ∞=∈∀0 成立。

由-λ系法知，对⎪⎭⎫⎝⎛∈∀∞=n n A F 0 σ，上式也成立。

由条件概率的定义知]|[∞∞=F Y E X .END定义1-4-3 称}0,{≥n n F 是反向子σ代数流，如果210F F F ⊃⊃定义1-4-4 称}0,{≥=n X X n 为}0,{≥n n F 的反向鞅（反向上鞅或反向下鞅），如果（1）n X 是n F 可测的，且∞<||n X E（2）对m m n X X E n m =>]|[,F （相应的≤或≥）例：设Z 为随机变量，}0,{≥n Y n 是随机变量序列，且∞<||Z E 令 ,2,1,0),,,(1==+n Y Y n n n σF ]|[n n Z E X F = 则}0,{≥n X n 是}0,{≥n n F 的反向鞅。