构造法解导数不等式问题一．知识梳理常见的构造函数方法有如下法则构造函数 1.利用和差函数求导法则构造函数（1）对于不等式()()()00<>'+'或x g x f ，可构造函数()()()x g x f x F +=。

（2）对于不等式()()()00<>'-'或x g x f ，可构造函数()()()x g x f x F -=。

特别地，对于不等式()()()0≠<>'k k k x f 或，可构造函数()()kx x f x F -=。

2. 利用积商函数求导法则构造函数（3）对于不等式()()()()()00<>'+'或x g x f x g x f ，可构造函数()()()x g x f x F =。

（4）对于不等式()()()()()00<>'-'或x g x f x g x f ，可构造函数()()()x g x f x F =。

！（5）对于不等式()()()00<>+'或x f x f x ，可构造函数()()x xf x F =。

（6）对于不等式()()()00<>-'或x f x f x ，可构造函数()()()0≠=x xx f x F 。

（7）对于不等式()()()00<>+'或x nf x f x ，可构造函数()()x f x x F n=。

（8）对于不等式()()()00<>-'或x nf x f x ，可构造函数()()()0≠=x xx f x F n 。

（9）对于不等式()()()00<>+'或x f x f ，可构造函数()()x f e x F x=。

（10）对于不等式()()()00<>+'或x f x f ，可构造函数()()x ex f x F =。

（11）对于不等式()()()00<>+'或x kf x f ，可构造函数()()x f e x F kx=。

（12）对于不等式()()()00<>-'或x kf x f ，可构造函数()()kx ex f x F =。

（13）对于不等式()()()00tan <>'+或x x f x f ，可构造函数()()x xf x F sin =。

（14）对于不等式()()()00tan <>'-或x x f x f ，可构造函数()()()0sin sin ≠=x xx f x F 。

·二．例题讲解a ．利用导数解不等式问题 （一）常规解不等式例 1 设函数()f x ）是定义在（一∞，0）上的可导函数，其导函数为()x f ',且有()()22x x f x x f >'+,则不等式()()()024*********>--++f x f x 的解集为答案：{}2016-<x x变式训练1 ()x f 是定义在（0，±∞）上的非负可导函数，且满足()x f x '+()x f ≤0,对任意正数a 、b ,若a ＜b ，则必有（ ）A.a f (b ) ≤b f (a )B.b f (a ) ≤a f (b )C.a f (a ) ≤f (b ) b (b ) ≤f(a ) 答案Ｃ变式训练2 设函数()x f 在R 上的导函数为f’(x),且()x f x '+2()x f >x 2,x 下面的不等式在R内恒成立的是（ ）—A 0)(>x fB 0)(<x fC x x f >)(D x x f <)(【答案】A【解析】由已知，首先令0=x ，排除B ，D 。

然后结合已知条件排除C,得到A 变式训练3 函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为（ ）A ．（1-，1）B ．（1-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞）答案B（二）和函数性质相关解不等式例 2 设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞@C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：记函数()()f x g x x =，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质．变式训练1.已知定义R 在上的可导函数)(x f 的导函数为)(x f '，满足)()(x f x f <'，且)2(+x f 为偶函数，f （4）=1，则不等式x e x f <)(的解集为（ ）A ．(-2，＋∞)B ．(0, ＋∞)C ．(1, ＋∞)D ．(4，＋∞)答案.B变式训练 2 设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，,0)()()()(>'+'x g x f x g x f 且,0)3(=-g 则不等式0)()(<x g x f 的解集是（ ）A ．),3()0,3(+∞⋃-B ．)3,0()0,3(⋃-`C ．),3()3,(+∞⋃--∞D ．)3,0()3,(⋃--∞答案.Db ．利用导数比较大小 （一）常规比较大小例1 若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A ．2121ln ln x x e e x x ->-B ．2121ln ln x xe e x x -<- C ．1221x x x e x e > D ．1221xx x e x e <答案C变式训练1 若函数()f x 在R 上可导，且满足'()()f x xf x < ，则( )^A.2(1)(2)f f <B.2(1)(2)f f >C.2(1)(2)f f =D.(1)(2)f f = 答案A变式训练2 设函数()f x 的导函数为()'f x ，对任意x ∈R 都有()()'f x f x >成立，则（ ）A. ()()3ln22ln3f f > B ．()()3ln22ln3f f =C. ()()3ln22ln3f f <D. ()3ln2f 与()2ln3f 的大小不确定 答案A变式训练3 若定义在R 上的函数)(x f 的导函数为()f x '，且满足()()f x f x '>，则(2011)f 与2(2009)f e 的大小关系为（ ）A.2)2009()2011(e f f >B. 2)2009()2011(e f f =C. 2)2009()2011(e f f <D. 不能确定）答案A变式训练4 定义在()02π，上的函数()f x ,()f x '是它的导函数,且恒有()()tan f x f x x '<⋅成立,则（ ）A ．()()3243f f ππ> B ．()()12sin16f f π<B ()()264f f ππ> D ．()()363f f ππ< 答案 D（二）利用函数性质比较大小1.已知函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，)(')(x xf x f +0<成立，若)2(ln )2(ln ),2()2(1.01.0f b f a ⋅=⋅=，c b a f c ,,),81(log )81(log 22则⋅=的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．a c b >>"答案B变式训练1.已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，不等式()()0f x x f x '+⋅<成立，若a ＝⋅，b ＝ (log π2)⋅f (log π2)，c ＝21log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅f 21log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 间的大小关系( )A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a c b >> 答案A变式训练2.已知'()f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且5()(5),()'()02f x f x x f x =--< 若1212,5x x x x <+<，则下列结论中正确的是（ ） A ．12()()f x f x < B ．12()()0f x f x +> C ．12()()0f x f x +<D ． 12()()f x f x >！答案D变式训练3.已知定义在R 上的可导函数)(x f 的导函数为)(x f '，满足)(x f '＜)(x f ，且)1(+x f 为偶函数，1)2(=f ，则不等式x e x f <)(的解集为（ ）A. （4,e ∞-） B. （+∞,4e ） C. （0,∞-） D. （+∞,0）答案D（三）利用函数解析式1.已知一函数满足x>0时，有2()'()2g x g x x x=>，则下列结论一定成立的是（ ） A ．(2)(1)32g g -≤ B ．(2)(1)22g g -≥C.(2)(1)42g g -< D ．(2)(1)42g g -≥—答案 Bc ．利用导数解决零点问题例 定义在R 上的奇函数)(x f y =满足0)3(=f ，且不等式)()(x f x x f '->在),0(+∞上恒成立，则函数)(x g =1lg )(++x x xf 的零点的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1答案B变式训练1 已知定义在R 上的奇函f (x )的导函数为f ’(x )，当x <0时，f （x ）满足()2 '()f x xf x x +<，则f (x )在R 上的零点个数为( )C . 5D .1或3 答案A变式训练2 已知()y f x = 为R 上的连续可导函数，当x ≠0时()'()0f x f x x+> ，则函数1()()g x f x x=+的零点个数为（ ） 或2)答案C三．课后练习1.定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为( ) A ．()0,+∞ B ．()(),03,-∞+∞ C ．()(),01,-∞+∞D ．()3,+∞【答案】A2.函数()f x 的定义域是R ，()02f =，对任意()(),1x R f x f x '∈+>，则不等式()1x x e f x e ⋅>+的解集为（ ）A.{}|0x x > B .{}|0x x <B.{}|101x x x <-<<或 D .{}|11x x x ><-或【答案】A^3.函数)(x f 的导函数为)(x f '，对x ∀∈R ，都有2()()f x f x '>成立，若2)4ln (=f ，则不等式2()x f x e >的解是（ ） A ．ln 4x > B ．0ln 4x << C ．1x > D ．01x <<【答案】A4. )(x f 是定义在非零实数集上的函数，)(x f '为其导函数，且0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，记5log )5(log 2.0)2.0(2)2(22222.02.0f c f b f a ===，，，则 ( ) A ． c b a <<B ．c a b <<C ． b a c <<D ． a b c <<【答案】C—5. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()f x f x '<，则( ) A ．2(2)(1)f e f > B ．2(0)(1)e f f > C.9(ln 2)4(ln 3)f f < D ．2(ln 2)4(1)e f f < 答案B6. 已知()f x 是定义在R 上的可导函数，当(1)x ∈+∞，时，(1)()()(1)0x f x f x x ''--->恒成立，若1(2)(3)2a f b f c f ===，，，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．c a b << B ．a b c << C ．b a c << D ．a c b << 【答案】A【解析】令()()1f x F x x =-，则因为(1)x ∈+∞，时，(1)()()(1)0x f x f x x ''--->恒成立，所以()F x '＝(1)()()(1)0(1)x f x f x x x '--->-，所以()F x 在(1)+∞，上是增函数．因为(2)(2)(2)21f a f F ==-=，1(3)2b f =＝(3)(3)31f F -=，c f F ==，23<<，所以(2)(3)F f f <<，即c a b <<，故选A ．7.设()x f '是函数()x f 导函数，且()()e f R x x f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛∈>'21..2（e 为自然对数的底数），则不等式()2ln x x f <的解集为（ ）A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0eB ．()e ,0 C ． ⎪⎭⎫⎝⎛2,1e eD ． ⎪⎭⎫⎝⎛e e ,2 ￥答案B8. 已知函数()x f 的定义域为R ，且()()()40,1='->f x f x f ，则不等式()xex f -+>3ln 1的解集为（ ） A.()+∞-,1B ．()+∞,0C ． ()+∞,1D ． ()+∞,e答案B9.已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( ) A ．f (1)<e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) B ．f (1)>e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (1)>e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (1)<e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) 答案 D|解析 令g (x )＝f xe x ，则g ′(x )＝(f xe x )′＝f ′x e x －f x e x e 2x ＝f ′x －f xe x<0，所以函数g (x )＝f xe x 是单调减函数， 所以g (1)<g (0)，g (2 016)<g (0)， 即f 1e 1<f 01，f 2 016e 2 016<f 01， 故f (1)<e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)．10.设函数()x f 在R 上存在导数()x f '，对任意的实数x ，有()(),22x x f x f =-+当()0,∞-∈x 时，()x x f 21<+'，若()()222+≤--+m m f m f ，则实数m 的取值范围是、答案1-≥m11.已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x ≠时， ()()0f x f x x'+>，若11()22a f =，2(2)b f =--，11(ln )(ln )22c f =，则下列关于,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．a c b <<B ．c b a <<C ． a b c <<D ．c a b <<【答案】A【解析】设()()h x xf x =，则''()()()h x f x xf x =+，因为()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，所以()h x 是定义在实数集R 上的偶函数，所以当0x >时，''()()()0h x f x xf x =+>，所以此时函数()h x 为单调递增函数.因为111()()222a f h ==，2(2)2(2)(2)b f f h =--==，111(ln )(ln )(ln )(ln 2)(ln 2)222c f h h h ===-=.又因为12ln 22>>，所以b c a >>，故应选A . 12.已知定义在实数集R 上的函数满足，且导函数，则不等式的解集为（ ）A 、B 、C 、D 、【答案】D【解析】令，则，所以是R 上的减函数，，即的解为，从而，解得，故选D ． 13.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈，有2()()f x f x x -+= ，在(0,)+∞上()f x x '<，若(4)()84f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）A 、[]2,2-B 、[)2,+∞C 、[)0,+∞D 、(][),22,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】14.已知f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x －1)f(x2－1)的解集是()A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(1,2) D．(2，＋∞)[解析]令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，因为f(x)<－xf′(x)，所以g′(x)<0，即函数g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减，由f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)得(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，即g(x＋1)>g(x2－1)，所以x＋1<x2－1，因为f(x)定义域为(0，＋∞)，所以解得x>2.[答案]D【。