lim
n
an
a.
例 1 用定义证 l i mqn 0 n 0 ， 去找 N
q( 1 )常用
可从 an a 出发解不等式．
例 2 证 lim n a 1 ( a 0 ) 常用 n
例
2例证3 lim证n n
alim1 n
2nn22(a31n
0)1
2
．常用
法 2 提供了一种求 N 的技巧．将 an a 适当放大，使 an a bn ， ――― 插项
an a ，
则称数列an以 a 为极限，或称 an 收敛于 a ，记作
lim
n
an
a
或
an a ( n ) ．
Note:
(1)
一般情况下，用定义证
lim
n
an
a
0 ，去找 N ， 可从 an a 出发解不等式．
(2) 0 , N 的取法不唯一．未必要取到最小的 N
(3)一个数列收敛与否，与前面有限项无关．
的一般项
n
(1)n1 1 n 当n
无 (限1增n)n大1 时越，来a越n 无接限近接于近常于数常1数.
1，
an 1 无a限 •2 接近a•4于零a•6．
O
1 3 51
2 46
a5
•
a• 3
64
53
a1
•
2x
an
n (1)n1 n
1
(1)n1 n
，
an
1
1 n
，
an
1
1 n
任 给 总存在正整数 使当
分段函数
在定义域的不同子区间上用不同的表达式
表示的对应规律．
例
sin x, x 0, f ( x) 2x 1, x 0.
常见的分段函数
（1）符号函数
1,
x 0, x 0.
（2）取整函数 y [x] N
当 n x n1， n 0, 1, 2,L 时， y [x] n N
已知 S 1 g t 2 ，求在 t 2 时的瞬时速度V (2) ． 2
落体在[2, t] 上的平均速度：
V (t) S(t) S(2) 1 g(t 2) ， t2 2
当 t 无限地接近于2 时，V (t) 无限地接近于V (2)2g ．
t 2.1
2.01
2.001 2.0001 2.00001
V (t ) 2.05 g 2.005 g 2.0005 g 2.00005 g 2.000005 g
§2 数列的极限
数列 按自然数顺序排列的一列数：
a1, a2 , L , an , L ， 记为an ．
数列分为无穷数列和有限数列
例
(1)
1 2n
:
11
1
, 2
, 4
L,
2n ,
L
(2)
（3）Dirichlet（狄利克雷）函数 1, x Q,
D(x) 0, x Q.
十分经典的函数
是不是所有的周期函数都有最小的正周期？
Ch2 一元函数的极限与连续性
§1 问题的提出
例1 圆的面积
两个实例
正六边形
正十二边形
割圆术： 割之弥细，所失弥少，割之又割，
以至于不可割，则与圆合体而无所失也。
恒有
1 4 1 100 1 1000
4 100 1000
n4 n 100
n1000
1 an 1 4
1 an 1 100
1 an 1 1000
0
N?
n N an 1
Def 1. （ N 定义）
设an为一数列， a --定常数．若对 0 ，
总 正整数 N ，使得当 n N 时，恒有
(1)n
n
:
1
(1)n
1, , L ,
,L
2
n
(3)
an :
0, 1 , 0, 1 , 0, 1 , L 4 16 64
例
(4)
n
n
1
:
0, 1 , 2 , L , n 1 , L
23
n
(5)
1 (1)n
2
:
0, 1, 0, 1, L
(6)
2( 1)n n
:
11 , 4, , 16, L
再解不等式 bn 来确定 N ．
① 原理： A B, B C A C
② bn 不能放得太大，要保证bn 0，且 bn 要比较简单．
例 4 证 an (1)n 发散．
证
lim
n
an
a
方法： 某个 0>0 ，使 N ，
总有 n0 N ，使 an0 a 0 ．
例5
证
例 1, 2, 3, L , 10, 1 , 1 ,L , 1 , L 11 12 n
因此，一个数列去掉或添加有限项
不影响其敛散性与其极限值．
Note:
（4）如何证
lim
n
an
a
方法： 某个 0>0 ，使 N N ，
比较
总有 n0 N ，使 an0 a 0
0, N N , n N , 恒有 an a .
Ch1 一元函数
一、基本初等函数（5 类）
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数．
二、初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算， 且只能用一个解析表达式表示的函数．
如
xes i nx ln(1 x )2
y
x5 x4 1
三、非初等函数 高数中常见的非初等函数： 分段函数．
n2
lim
n
a
n
0
(a 1) ．
28
极限存在：n 无限增大时， an 无限地接近于某个常数 a
极限不存在（或发散）： 1．振荡 2．发散到
如n : 1, 2, 3, L ,
当 n 时， an n ；
如n : 1, 2, L ,
当 n 时， an n ．
如何描述数列的极限
例，
n
无限增大时，数列
n(
1)n1 n
A 表示半径为 R 的圆的面积，
An 圆内接正62n1 边形的面积
62n1
1 2
R 2 s in622n1
，
R
圆内接正62n1 边形的面积数列为：
A 1 ，A 2 ，A 3 ，…，A n ，…，
n 无限增大时，圆内接正 62n1 边形无限地接近于圆， An 就无限地接近于常数 AR2 ．
例 2 自由落体运动的瞬时速度