（3-1a）
13
式中div(grad t)是温度的拉普拉斯（Laplace）算子 2t
非稳态导热的基本概念
引入热扩散率 a c p
，于是有：

t 2 a t cp
初始条件的一般形式是：
t x, y, z, 0 f x, y, z
（3-1b）
几种典型非稳态导热过程的温度变化率
7
非稳态导热的基本概念
二、特点：

物体中各点的温度随时间发生变化； 物体中各点的热流密度随时间发生变化； 不宜用热阻法定量分析非稳态导热；
t t t t c x x 导热过程的特点及类型
一、定义： 物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热 （unsteady heat conduction） 非周期性：物体温度随时间趋近于恒值
（动力机械启动、停止）
周期性：物体温度随时间做周期性变化 （地球表面温度随四季更替周期变化）
6
非稳态导热的基本概念
23
零维问题的分析法——集中参数法

非稳态、有内热源的导热问题
t t t t c x x y y z z
式中： 是广义热源。界面上交换的热量应折算成整个 物体的体积热源。
讨论如左图所示的一块厚度为2δ 的金属平板，初始温度为 ，突然 t0
将它置于温度为
系数为λ。
却，表面传热系数为h，平板的导热
t的流体中进行冷
根据平板的导热热阻δ/λ与对流
传热热阻1/h的相对大小的不同，平 板中温度场的变化会出现以下三种情
形。
16
非稳态导热的基本概念
1、首先讨论 Bi 毕渥数 Bi 趋近于无穷，即导热热阻

规定的温度。
3
引题

本章内容
基本概念 本章重点： 掌握基本概念； 零维 一维
确定物体瞬时温度场的方法；
在一段时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
4
目录

3.1 非稳态导热的基本概念 3.2 零维问题的分析方法——集中参数法 3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
5
非稳态导热的基本概念
25
零维问题的分析法——集中参数法
将导热微分方程分离变量
两边积分得：
d


hA d cV



0
d


0
hA d cV
hA ln 0 cV
t t hA exp 0 t0 t cV
注意到V/A具有长度的量纲，并定义：
换热量是恒为正的，因此对物体被加热的场合应将式中的
t0-t∞改为t∞-t0。物体内部导热热阻可以忽略时的加热或冷却，有 时又称牛顿加热或牛顿冷却。
29
零维问题的分析法——集中参数法
2、时间常数
采用集中参数法分析时，物体中过余温度随时间成指数曲线 关系变化，在开始阶段温度变化得很快，随后逐渐减慢。
30
Φ1
导热过程中两者不相等，且随
着过程的进行，其差别逐渐减 小，直到进入稳态阶段两者平 衡。阴影部分代表了复合壁在 升温过程中积蓄的能量。
0
Φ2
τ
Φ1为从左侧导入金属壁的热流量 Φ2为从右侧导出保温层的热流量
12
非稳态导热的基本概念

3.1.2导热微分方程解的唯一性定律
初始条件
非稳态导热问题的求解
动势，这种现象称为热电效应。
34
扩展· 热电偶
热电偶分度号 正极 S R B 铂铑 10 铂铑 13 铂铑 30 热电极材料 负极 纯铂 纯铂 铂铑 6
K
T J N E
镍铬
纯铜 铁 镍铬硅 镍铬
镍硅
铜镍 铜镍 镍硅 铜镍
35
零维问题的分析法——集中参数法
3、傅里叶数的物理意义
从边界上开始发生热扰动的时 刻起到所计算时刻为止的时间 间隔
28
零维问题的分析法——集中参数法
从τ =0到τ时刻之间所交换的总热量为
hA d t0 t hA exp d 0 0 cV

hA t0 t cV 1 exp cV


22
零维问题的分析法——集中参数法

3.2.1 集中参数法温度场的分析解
设有任意形状的固体，其体积为V， t∞
表面积为A，初始温度t0，突然将其
置于温度恒为t∞的流体中，设t0>t∞，
固体与流体间的表面传热系数h及固 体的物性参数均保持常数，求解物体 温度随时间的依变关系。 此问题可应用集中参数法分析。
边界上发生的有限大小的热扰 动穿过一定厚度的固体层扩散 到lc2的面积上所需的时间
FO
2 l c a

傅里叶数可以理解为两个时间间隔相除所得的无量纲时间。
故Fo可以看成是表征非稳态过程进行深度的无量纲时间。
（3-2a）
一个实用上经常遇到的简单特例是初始温度均匀，即
t x , y , z , 0 t0
（3-2b）
14
非稳态导热的基本概念
第三类边界条件较为常见，本章将着重讨论物体处于恒温
介质中的第三类边界条件的非稳态导热，即：
t h tw t f n w

t c

V Ah t t
24

零维问题的分析法——集中参数法
两式合并有：
dt cV Ah t t d
引入过余温度
t t，则有：
导热微分方程
初始条件：
d cV Ah d
0 t0 t
零维问题的分析法——集中参数法
在指数函数中 hA cV 具有与 1 相同的量纲。如果
cV hA
则有：
t t exp 1 0.386 38.6% 0 t0 t
cV hA
称为时间常数（time constant）,记为 τc 。
t0
t


t0
t

t
t0


t
t

t
x
x
x
Bi有限大小
Bi
h Bi 1h
Bi 0

特征数：表征某一类物理现象或物理过程特征的无量纲 数。又称为准则数。出现在特征数定义式中的几何尺度称为 特征长度，用 l 表示。
20
目录

3.1 非稳态导热的基本概念 3.2 零维问题的分析方法——集中参数法 3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
t0 A
L
t0
B
L x
t0
C
L x
9
xx
不同时刻平壁温度场示意图（一）
非稳态导热的基本概念
P 金 属 壁 E J x 保 温 层
t1
P 金 属 壁 D 保 温 层
t1
t1
P 金 F 保 属 温 壁 层 K
t0 A
I
t0 A
x
t0 A
x
不同时刻平壁温度场示意图（二）
10
非稳态导热的基本概念
加热或冷却过程的两个重要阶段
21
零维问题的分析法——集中参数法

当固体内部的导热热阻远小于其表面的换热热阻时，任何时刻 固体内部的温度够趋于一致，以致可以认为整个固体在同一瞬 间均处于同一温度下。即，固体的质量和热容量都汇总到一点 上。 这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为集中参数法。 （lumped parameter method） 条件：物体的导热系数相当大，或几何尺寸很小，或表面传热 系数极低。


（3-3）
数学上可以证明，如果某一函数 t（x , y, z,τ）满足方程（31a）或（3-1b）以及一定的初始条件和边界条件。则此函数就是 这一特定导热问题的唯一解。 换言之，不可能同时存在两个都满足导热微分方程及同一定 解条件的不同的解。
15
非稳态导热的基本概念
3.1.3 第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
边界条件
导热微分方程 假定物体的热物理特性参数均为常数
t t t t c x x y y z z
t cp div gradt
c cV
hA
以热电偶为例，时间常数越小，热电偶越能迅速地反 映流体的温度变化，故热电偶端部的接点总是做得很小。 当τ= 4.6τc 时， 态。
33
0 exp 4.6 0.01
工程上认为τ= 4.6τc 时导热物体已经达到热平衡状
扩展· 热电偶
热电偶（thermocouple）是常用 的测温元件，它直接测量温度，并把 温度信号转换成热电动势信号，通过 电气仪表（二次仪表）转换成被测介 质的温度。 测温原理：两种不同成份的导体两 端接合组成回路， 当两个接合点的 温度不同时，在回路中就会产生电
上章回顾
能量守恒定律 傅里叶定律 求解得到 热流密度矢量 求解得到 温度场
导热微分方程
导热问题的 数学描写 定解条件
典型一维 稳态导热
通过肋片 的导热
具有内热源 的导热
多维稳态导 热
1
第三章 非稳态热传导
主讲人：郭智群
2
引题

钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工 件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素。 金属在加热炉中加热时需要确定其停留时间，以保证达到