数列的综合问题探究（教学案）【热身训练】1.．已知数列{a n }，a n ＝n 2＋λn ＋3(其中λ为常实数)，且a 3为数列{a n }的最小项，则实数λ的取值范围是________．解析：法一 a n ≥a 3对任意n ∈N *恒成立，即：λ(n －3)≥－(n －3)(n ＋3)当n ≥4时，λ≥－(n ＋3)，所以λ≥－7；当n ≤2时，λ≤－5；当n ＝3时，λ∈R；综上所述：－7≤λ≤－5.法二 基本函数的特性：52≤－λ2≤72，所以－7≤λ≤－5.2．若数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －1，当n 为奇数时；4n ＋9，当n 为偶数时.则数列{c n }的前19项的和T 19＝________.解析：c2n ＋1－c 2n －1＝8，c 2n ＋2－c 2n ＝8，T 19＝＋2×10＋＋2＝831.3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，满足a 1＝1，S 6＝36，且a m ，a m ＋2，a k成等比数列，则m ＋k 的值为________．解析：设等差数列{a n }的公差是d .所以S 6＝6a 1＋15d ＝36，又因为a 1＝1，所以d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.又a m ，a m ＋2，a k 成等比数列等价于(2m －1)(2k －1)＝(2m ＋3)2，即2k －1＝m ＋22m －1＝2m －1＋8＋162m －1.所以k ＝m ＋4＋82m －1，m ，k 是正整数．由于m ，k 是正整数，故2m －1只可能取1,2,4,8.又2m －1为奇数，故2m －1＝1，即m ＝1，k ＝13，所以m ＋k ＝144.已知数列{a n}的前n项和S n＝(－1)n·n，若对任意正整数n，(a n＋1－p)(a n－p)＜0恒成立，则实数p的取值范围是________．【热点追踪】数列问题一直以来是高考的重点且位于压轴题的位置，而数列的特点是方法灵活，难度较大，本专题就数列中的单调性问题，奇偶性问题，存在性问题等热点问题加以探究，以便学生能更好的理解数列.（一）数列中的单调性问题例1. 已知数列{a n}满足：a1＝12，a n＋1－a n＝3n－1－nq，n∈N*，p，q∈R.a4为数列{a n}的最小项，求q的取值范围．变式1 已知S n＝1＋12＋13＋…＋1n，n∈N*，设f(n)＝S2n＋1－S n＋1，试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n ，不等式f (n )>mm ＋2恒成立．解析：由题意可知f (n )＝S 2n ＋1－S n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋1所以f (n ＋1)－f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n ＋2＋1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋1 ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＋2－12n ＋4＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＋3－12n ＋4＞0.所以f (n )在n ≥2单调递增，从而f min (n )＝f (2)＝920，从而－2＜m ＜1811.变式2 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2n －1. (1)求证：数列{a n ＋n }为等比数列；(2)记b n ＝a n ＋(1－λ)n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T 3为数列{T n }中的最小项，求λ的取值范围．解析：(1)因为a n ＋1＝3a n ＋2n －1，所以a n ＋1＋n ＋1＝3(a n ＋n )．又a 1＝2，所以a n >0，a n ＋n >0，故a n ＋1＋n ＋1a n ＋n＝3，所以{a n ＋n }是以3为首项，公比为3的等比数列． (2)由(1)知道a n ＋n ＝3n ，所以b n ＝3n－nλ.所以Tn ＝31＋32＋ (3)－(1＋2＋3＋…＋n )λ＝32(3n －1)－nn ＋2λ.若T3为数列{T n }中的最小项，则对∀n ∈N *有32(3n －1)－nn ＋2λ≥39－6λ恒成立．即3n ＋1－81≥(n 2＋n －12)λ对∀n ∈N *恒成立．当n ＝1时，有T 1≥T 3，得λ≥365；当n ＝2时，有T 2≥T 3，得λ≥9；当n ≥4时，n 2＋n －12＝(n ＋4)(n －3)＞0恒成立，所以λ≤3n ＋1－81n 2＋n －12对∀n ≥4恒成立．令f (n )＝3n ＋1－81n 2＋n －12，则f (n ＋1)－f (n )＝3n ＋1n 2－＋n ＋n 2＋3n －n 2＋n －＞0对∀n ≥4恒成立．所以f (n )＝3n ＋1－81n 2＋n －12在n ≥4时为单调递增数列．所以λ≤f (4)，即λ≤814.综上，9≤λ≤814.（二）数列中的奇偶性问题例2. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a ，(a n ＋1)(a n ＋1＋1)＝6(S n＋n )，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对于∀n ∈N *，都有S n ≤n (3n ＋1)成立，求实数a 取值范围．变式1 (2017·镇江期末)已知n∈N*，数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且a1＝1，a2＝2，设b n＝a2n－1＋a2n.(1)若数列{b n}是公比为3的等比数列，求S2n；(2)若S2n＝3(2n－1)，数列{a n a n＋1}也为等比数列，求数列的{a n}通项公式．变式2 已知数列{a n}满足，a n＋1＋a n＝4n－3(n∈N*)．(1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； (2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n .解析：(1)若数列{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd .由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3，即2d ＝4,2a 1－d ＝4－3，解得，d ＝2，a 1＝－12.(2)由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)．两式相减，得a n ＋2－a n ＝4.所以数列{a 2n －1}是首项为a 1，公差为4的等差数列，数列{a 2n }是首项为a 2，公差为4的等差数列，由a 2＋a 1＝1，a 1＝2，得a 2＝－1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n 为奇数，2n －5，n 为偶数.①当n 为奇数时，则a n ＝2n ，a n ＋1＝2n －3.所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －2＋a n －1)＋a n ＝1＋9＋…＋(4n －11)＋2n ＝2n 2－3n ＋52. ②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＝1＋9＋…＋(4n －7)＝2n 2－3n2.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数2n 2－3n 2，n 为偶数.（三）数列中的存在性问题例3. 已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a2n＝S2n－1，令b n＝1a n·a n＋1，数列{b n}的前n项和为T n.(1)求数列{a n}的通项公式及数列{b n}的前n项和为T n；(2)是否存在正整数m，n(1<m<n)，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．变式1 已知数列{a n}中，a2＝1，前n项和为S n，且S n＝n a n－a12.(1)求a1；(2)证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；(3)设lg b n＝a n＋13n，试问是否存在正整数p，q(其中1＜p＜q)，使 b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．变式2 已知数列{a n}满足a1＋a2＋…＋a n＝n2(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对任意给定的k∈N*，是否存在p，r∈N*(k＜p＜r)使1a k，1a p，1a r成等差数列？若存在，用k分别表示p和r(只要写出一组)；若不存在，请说明理由．解析：(1)当n＝1时，a1＝1；当n≥2，n∈N*时，a1＋a2＋…＋a n－1＝(n －1)2，所以a n＝n2－(n－1)2＝2n－1；综上所述，a n＝2n－1(n∈N*)．(2)当k＝1时，若存在p，r使1a k，1a p，1a r成等差数列，则1a r＝2a p－1a k＝3－2p2p－1，因为p≥2，所以a r<0，与数列{a n}为正数相矛盾，因此，当k＝1时不存在；当k≥2时，设a k＝x，a p＝y，a r＝z，则1x＋1z＝2y，所以z＝xy2x－y，令y＝2x－1，得z＝xy＝x(2x－1)，此时a k＝x＝2k－1，a p＝y＝2x－1＝2(2k －1)－1，所以p ＝2k －1，a r ＝z ＝(2k －1)(4k －3)＝2(4k 2－5k ＋2)－1，所以r ＝4k 2－5k ＋2；综上所述，当k ＝1时，不存在p ，r ；当k ≥2时，存在p ＝2k －1，r ＝4k 2－5k ＋2满足题设．【乘热打铁】1．已知数列{a n }为等差数列，其前12项和为354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为3227，则这个数列的公差为________．解析：由题意偶数项和为192，奇数项和为162，又S 偶－S 奇＝5d ，所以这个数列的公差为5.2．等比数列{a n }的首项为1，项数为偶数，且奇数项和为85，偶数项和为170，则数列的项数为________．解析：设公比是q ，由题意得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a n －1＝85，a 2＋a 4＋a 6＋…＋a n ＝170，解得q ＝2，a n ＝2n －1，S n ＝2n－1，易得n ＝8.3．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a 2nb n为整数的正整数n 的个数是________．解析：由A n B n ＝7n ＋45n ＋3可设A n ＝kn (7n ＋45)，所以a n ＝14kn ＋38k ，设B n＝kn (n ＋3)，所以b n ＝2kn ＋2k ，故a 2n b n ＝14n ＋19n ＋1＝14＋5n ＋1，所以n ＝4，故使得a 2nb n为整数的正整数n 的个数是1.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *，设b n ＝2a n ＋(－1)na n ，则数列{b n }的前2n 项和为________．。