中考数学新概念题材
如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E是AD边上的定点,且AE=2,点P是边AB上的一个动点,，以PE为边做菱形PEFH，且点F在边CD上
（1）当BP=1时，求线段CF的长
（2）求满足条件的线段BP的长的取值范围
（3）证明：不论菱形如何变化，点H到CD的距离为定值
中考新概念四边形赏析
湖北省郧县第二中学杨育颖
新概念问题是近年来中考试题中，涌现出的一种新型试题，它既能考查学生适应新问题、接受新知识、认识新事物的能力，又能考查学生的自学能力，信息的收集、迁移和应用能力。

该试题新颖别致，颇具魅力，已成为中考试题中的一朵奇葩，现就四边形中新概念题举两例供大家赏析。

一、中点四边形
例2、（内江市中考题）如图2，四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连接E、F、G、H，把四边形EFGH称为中点四边形。

连接AC、BD，容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形。

（1）如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形EFGH的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形ABCD的对角线满足AC = BD时，四边形EFGH 为菱形；
当四边形ABCD的对角线满足______时，四边形EFGH为矩形；
当四边形ABCD的对角线满足______时，四边形EFGH为正方形；
（2）探索三角形AEH，三角形CFG与四边形ABCD 的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论并加以证明；
（3）如果四边形ABCD面积为2，那么中点四边形EFGH的面积是多少？
分析：相对来讲，中点四边形是我们比较熟悉的一个概念。

本题中，①当对角线相等时，中点四边形为菱形；②当对角线垂直时，中点四边形为矩形；③当对角线既相等又垂直时，中点四
边形为正方形。

探索三角形与四边形之间的面积关系，可利用相似三角形的面积比等于相似比的平方这一定理。

解：（1）AC⊥BD，AC⊥BD且AC＝BD。

（2）S△AEH＋S△CFG＝S四边形
ABCD。

证明：在△ABD中，EH=BD，所以△AEH～△ABD，所以
即，同理可证：，所以。

（３）由（２）的结论可知：。

二、等对角线四边形
例2、（北京市中考题）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。

请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60O时，这对60O角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。

分析：本题以定义的形式，提出了新的数学概念“等对角线四边形”这一新知识点，要理解
并结合图形后才能运用，形成一道考查同学们的阅读理解能力以及作图、应用、证明等能力的综合题。

解：（1）等腰梯形、矩形等；
（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长。

已知：四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC = BD，且∠AOD = 60°，
求证：BC + AD≥AC。

证明：过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE = AC，连接CE，BE，
故∠EDO = 60°，四边形ACED是平行四边形，所以△BDE是等边三角形，CE = AD，DE = BE = AC。

①当BC与CE不在同一条直线上时（如图1），在△BCE中，
有BC + CE＞BE，∴BC+AD＞AC。

②当BC与CE在同一条直线上时（如图2），
则BC + CE = BE，∴BC + AD = AC。

综合①，②，得BC + AD≥AC。

即等对角线四边
形中两条对角线所夹锐角为
60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长。

三、相似梯形
例3（台州中考题）善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形。

他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？
问题一平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？
（1）从特殊情形入手探究。

假设梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，
AD=2，MN是中位线（如图2①）。

根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似?
（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形______________ (填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”。

不要求证明) 。

问题二平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似?
（1）从特殊平行线入手探究。

梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形______________ (填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”。

不要求证明)。

（2）从特殊梯形入手探究。

同上假设，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点P，Q在梯形的两腰上，如图2②），使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗? 请根据相似梯形的定义说明理由。

(3)一般结论：对于任意梯形（如图2③），一定(填“存在”或“不存在”)
平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似。

若存在，则确定这条平行线位置的条件是=
(不妨设AD= a，BC= b，AB=c，CD= d。

不要求证明) 。

解：问题一（1）因为MN是中位线，所以
MN=，，，，显然对应边不成比例，所以梯形AMND与梯形ABCD 不相似。

（2）平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形不相似。

问题二（1）因为MN是中位线，显然两梯形对应边不成比例，所以梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形不相似。

（2）如果梯形APQD与梯形PBCQ相似，则
，即，解得PQ=4，此时，又AB=6，所以AP=2，所以当AP=2，且PQ∥
BC时，，又两梯形对应角相等，所以梯形APQD与梯形PBCQ相似。

（3）对于任意梯形，一定存在平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似。

此时，，所以PQ=，故
通过以上几例可知，解答这类问题的关键是在阅读、理解的基础上，由题中提供的信息，联系所学知识，运用联想类比、模仿迁移的方法实现信息的迁移，从而掌握符合问题的条件及其性质的运用。

阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”. 显然，当△ABC 是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 .
(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
(2) 如图8②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图8②中画出△ABC 的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
(3) 若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图8③中画出△ABC
的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.
9.如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边
重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.
(2) 此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF.
易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.
(3) 此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK 的周长最小 .
证明如下：
易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则
L
=+2a，L2=+2b，L3=+2c .
1
∴L1- L2=(+2a)-(+2b)=2(a-b)，
而ab>S，a>b，
∴L1- L2>0，即L1> L2 .
同理可得，L2> L3 .
∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小.。