数学奥林匹克模拟试卷（一）一、选择题：1、已知311=-=-b b a a ，且3>+b a ，则33ab b a -的值是（ ）。

（A ）521（B ）1321（C ）533（D ）13332、如果二次函数()522++++=k x k x y 的图象与x 轴的两个不同交点的横坐标是正的，那么k 值应为（ ）（A ）4>k 或5.-<k （B ）45-<<-k （C ）4.-≥k 或5-≤k （D ）45-≤≤-k3、如图，∆ABC 为锐角三角形，BE ⊥AC 于F ，则ABC AEF S S ∆∆:的值为（ ）（A ）A sin （B ）A cos （C ）A 2sin （D ）A 2cos4、方程1997111=+y x 的正整数解的组数为（ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）大于等于45、P 为∆ABC 一点，PA 、PB 、PC 把∆ABC 的面积分成三等分，则P 点是∆ABC 的（ ）（A ）心（B ）外心（C ）垂心（D ）重心6、抛物线122++=bx x y 与直线ab ax y 22+=的图象至多有一个交点，则的最大值是（ ）（A ）1（B ）23（C ）22（D ）0 二、填空题：1、已知四个实数的乘积为1，其中任意一个数与其余三个数的积的和都等于1000，则此四数的和是_________。

2、如果c yz b xz a xy ===,,，而且它们都不等于0，则222z y x ++=_________。

3、若抛物线()242+++=a x ax y 全在x 轴的上方，a 的围是_________。

4、如图，在图形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=900，E 为BC 重点，GE ⊥BC 于，交DA 延长线于G ，DC=17cm ，AB=25cm ，BC=10cm ，则CE=_________。

三、解答题：1、已知∠ACE=∠CDE=900，点B 在CE 上，CA=CB=CD ，过点A 、C 、D 三点的圆交AB 于F ，求证：F 是∆CDE 的心。

2、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数5910102+-=x x y 的图象上找出满足||x y ≤的所有整点（x ，y ），并说明理由。

3、试证明：每个大于6的自然数n 都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。

数学奥林匹克模拟试卷（二）一、选择题：1、若0123=+++x x x ，那么1039897x x x ++的值是（ ）（A ）–1（B ）0（C ）1（D ）22、方程7111=+y x 的正整数解的组数是（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）33、在∆ABC 中，下列条件：（1）两中线相等；（2）两高线相等；（3）cosC=cosB ；（4）tgC=tgB ，其中可以推出∆ABC 是等腰三角形的条件的个数是（ ）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4、在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=3CD ，E 是对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于F ，则AF ：FD 的值是（ ）（A ）2（B ）（C ）（D ）5、设菱形的周长为20，两条对角线的长是方程()044122=-+--m x m x 的两个根，则m 的值为（ ）（A ）213（B ）27-（C ）213或27-（D ）以上答案都不对 6、在∆ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c ，已知()c b b a +=2，∠C 为钝角，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）（A ）c b a <<2（B ）b c a 2<<（C ）c a b <<2（D ）c b a <=2二、填空题：1、如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=1350，∠BCD=1200，AB=6，BC=35-，CD=6，则AD=。

2、若0≠x ，则xx x x 44211+-++的最大值是。

3、在∆ABC 中，∠C=900，∠A 和∠B 的平分线交于P 点，又PE ⊥AB 于E 点，若BC=2，AC=3，则AE ·BE=。

4、若a 、b 都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛33b a a b 。

三、解答题：1、求使方程02=++-q p pqx x 有整数根的所有自然数p 和q 的值。

2、已知：如图，∆ABC 是⊙O 的接三角形，∠BAC 的平分线交BC 于F ，交⊙O 于D ，DE 切⊙O 于D ，交AC 延长线于E ，连BD ，若BD=23，DE+EC=6，AB ：AC=3：2，求BF 的长。

3、已知二次函数()02>++=a c bx ax y 的图象和x 轴、y 轴都只有一个交点，分别为P 、Q ，PQ=22,02=+ac b 一次函数m x y +=的图象过P 点，并和二次函数的图象交于另一点R ，求∆PQR 的面积。

数学奥林匹克模拟试卷（三）一、选择题：1、已知a 是1997的算术平方根的整数部分，b 是1991的算术平方根的小数部分，则化简()b a 114181+的结果为（ ） （A ）51（B ）41（C ）52（D ）112 2、DE 为∆ABC 中平行于AC 的中位线，F 为DE 中点，延长AF 交BC 于G ，则∆ABG 与∆ACG 的面积比为（ ）（A ）1：2（B ）2：3（C ）3：5（D ）4：73、一次函数11+-=k kx y （k 是自然数的常数）的图象与两坐标轴所围成的图形的面积为S k ，则100321S S S S +++的值是（ ）（A ）50（B ）101（C ）50101（D ）10150 4、若0<α<300，则ααααctg tg ,,cos ,sin 的大小关系是（ ）（A ）ααααctg tg <<<cos sin （B ）ααααctg tg <<<cos sin（C ）ααααctg tg <<<cos sin （D ）以上答案都不对 5、三角形三条高线的长为3，4，5，则这三角形是（ ）（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）形状不能确定6、已知关于x 的方程022=+++m mx x 有不同的实数根，其中m 为整数，且仅有一个实根的整数部分是2，则m 的值 为（ ）（A ）–2（B ）–3（C ）–2或–3（D ）不存在二、填空题：1、在12，22，32，……952这95个数中，十位数字为奇数的数共有______个。

2、已知α是方程0412=-+x x 的根，则234531a a a a a --+-的值等于______。

3、设x 为正实数，则xx x y 12+-=的最小值是______。

4、以线段AB 为直径作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆周上的点，且OC 2=AC ·BC ，则∠CAB=______。

三、解答题：1、 已知如图，圆接四边形ABCD ，AB=AD ，PB=BO ，CE ⊥PE ，CD=18，求DE 。

2、设两个数x 和y 的平方和为7，它们的立方和为0，求x+y 的最大值。

3、如图，已知圆O 的弦AB 被点C 、D 三等分，又E 、F 是弧AB 的三等分点，连结EC 、FD 交于S ，连结SA 、SB ，求证：∠ASB=31∠AOB 。

数学奥林匹克模拟试卷（四）一、选择题：1、a 、b 、c 都是实数，且0≠a ，c b a 2-=+则方程02=++c bx ax （ ）。

（A ）有两个正根（B ）至少有一个正根（C ）有且只有一个正根（D ）无正根2、a 、b 都是自然数，且()()b a -+=1111111111123456789，则（ ）（A ）b a -是奇数（B ）b a -是4的倍数（C ）b a -是2的倍数，但不一定是4的倍数（D ）b a -是2的倍数，但不是4的倍数3、将函数()02≠++=a c bx ax y 的图象绕y 轴翻转1800，再绕x 轴翻转1800，所得的函数图象对应的解析式为（ ）（A ）c bx ax y -+-=2（B ）c bx ax y ---=2（C ）c bx ax y --=2（D ）c bx ax y ++-=24、如果直角三角形的三边都是200以的正整数，且较长的两边长相差1，那么这样的直角三角形有（ ）（A ）12个（B ）9个（C ）6个（D ）1个5、一条直线过∆ABC 的心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（ ）（A ）2：1（B ）1：1（C ）2：3（D ）3：16、M 是弧ABC 的中点，弦BC>AB ，MF ⊥BC 于F ，则（ ）（A ）AB+BF=FC （B ）AB+BF>FC （C ）AB+BF<FC （D ）以上三种情况都有可能二、填空题：1、已知凸n 边形A 1A 2……A n （n>4）的所有角都是 150的正数倍，且∠A 1+∠A 2+∠A 3=2850，那么，n 等于。

2、已知四条直线3,1,3=-=-=y y mx y 和1=x 所围成的四边形的面积是12，那么，m 等于。

3、如图，MON 中，∠MON=900，过线段MN 中点A 作AB ∥ON 交M 弧MN 于点B ，则∠BON=度。

4、如果不等式2||||<+-x a x 没有实数解，则实数a 的取值围是。

三、解答题：1、以下图，ABCD 中，O 是AB 中点，半⊙O 与AD 、DC 、CB 分别相切于E 、F 、G ，求证：AB 2=4CD ·BC 。

2、设x 、y 是自然数，使得两个分数112+-y x 的112+-x y 和与积均为整数，证明：这两个分数都是整数。

3、对a>b>c>0，作二次方程：()02=+++++-ca bc ab x c b a x .（1）若方程有实根，求证：a 、b 、c 不能成为一个三角形的三条边长。

（2）若方程有实根x 0，求证：c b x a +>>0.（3）当方程有实根6、9，求正整数a 、b 、c 。

数学奥林匹克模拟试卷（五）一、选择题：1、使x z z y y x ---,,都有意义的实数组（x 、y 、z ）（ ）（A ）存在且有无限多组（B ）存在有限组（C ）一定不存在（D ）无法确定是否存在2、若k ba c a cbc b a =+=+=+，则直线k kx y +=的图象必经过（ ）、 （A ）第一、二、三象限（B ）第二、三象限（C ）第二、三、四象限（D ）以上均不正确3、今有四个命题：（1）若两个实数的和与积都是奇数，则这两个数都是奇数。