传热学-导热基本原理
传热学 / 导热基本原理
第二章
导热基本原理
传热学 / 导热基本原理
本章教学内容
2-1 傅里叶定律
2-2 导热微分方程式
2-3 初始条件及边界条件
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§2-1 傅里叶定律
一、温度分布的描述和表示(几个术语)
z y
x
1.温度场：物体中某时刻各点温度值所组成的集合
温度场是时间和空间的函数，即： t = f ( x,y,z,τ )
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三、简化情形
1.λ=constant
t 2t 2t 2t Φ 2 2 2 c x y z c
a c
导温系数或热扩散率，单位：m2/s，物 性参数
热扩散率反映了导热过程中材料的导热能力()与沿 途物质储热能力(c)之间的关系, a值大，即 值 大或 c 值小，说明物体的某一部分一旦获得热量， 该热量能在整个物体中很快扩散
t c1 x c2
2
其中C1、C2 和平板的导热系数为常 数，计算在通过
x0
截面处的
0
x
热流密度为多少？
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例1：
解:Biblioteka qx 0dt dx
d c1 x c2
2
x 0
dx
x 0
2c1 x x 0 0
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等温线
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3.温度梯度 ①梯度：指向变化最剧烈的方向(向量,正向朝着 增加方向) ②温度梯度(某点所在等温线与相邻等温线之间的温 差与其法线间距离之比取极限)
t t lim n grad t n n 0 n n
三、导热系数
1.定义
q q = grad t grad t
单位温度梯度作用下的物体内所产生的热流 量，标量，单位：W/(m· K)
2.表征物体导热本领的大小 导热系数是物质的一个重要的热物理性质参数 （物性参数），
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3.记住常用物质之值
金属 非金属; 固相 液相 气相
t t t grad t i j k x y z
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二、导热基本定律(傅里叶定律)
1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）在实验 研究基础上，发现导热基本规律 —— 傅里叶定律. 法国数学家Fourier: 法 国拿破仑时代的高级官员。 曾于1798-1801追随拿破 仑去埃及。后期致力于传 热理论，1807年提交了 234页的论文，但直到 1822年才出版。
②微元体内热源生成的热量
ΦV Φdxdydz
④微元体热力学能（内能）的增量
t E c dxdydz
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5. 导热微分方程的基本形式
④=①-③+②
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
在常温（20℃）条件下
纯铜： 399 W (m K) 碳钢： 36.7 W/ (m K) 水： 0.599 W (m K) 空气： 0.0259 W (m K)
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4.导热系数与物质种类、材料成分、及热力状态有 关(温度，压力(气体))，与物质几何形状无关。 在温度变化范围不很宽情况下，工程材料的导热
t f ( x, y , z , )
导热微分方程揭示了连续物体内的温度分布与 空间坐标和时间的内在联系。
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二、推导
1.物理问题描述 三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热 以外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。 2.假设条件 (1) 所研究的物体是各向同性的连续介质；
①导入微元体的热量(Fourier Law)
沿x轴方向、经x表面导入的热量：
t Φx dydz x
③导出微元体的热量
沿 x 轴方向、经 x+dx 表面导出 的热量
Φxdz
dx z
dy y x
Φ x dx
Φx dx
Φx t Φx dx Φx - dxdydz x x x
表示物体被加热或冷却时，物体内部温度趋于一致 的能力。
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2. λ=constant & 无内热源
t 2t 2t 2t 2 a( 2 2 2 ) a t x y z
3. λ=constant & steady
均匀温度场： 温度场中的温度沿三个坐标方向都不变化。
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2.等温线，等温面 ①定义：同一瞬间温度相等的各点连成的线或面 称为等温线或等温面 ②特点： (1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交 。
(2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中 断。它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线）， 或者终止于物体的边界上。
铸造中利用湿度、密度对λ 有较大影响的特性，控制湿
度、密度，从而使铸件具有所需的性能。
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§2-2 导热微分方程式
一、基本思想
求解导热问题的实质是获得温度场，为了从 数学上获得导热物体温度场的解析表达式，需要 建立物体温度分布函数应当满足的基本方程式— 导热微分方程。
系数可表示为温度的线性函数
0 1 bt
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（1）金属与非金属材料的导热系数 A、金属的导热系数大，λ ≈12~418 W/ (m .℃。）
B、金属T↑——λ↓。
•纯金属导热依靠自由电子的迁移和晶格的振动 ， 主要依靠前者 。 ∴ T↑ ——晶格振动的加强——干扰自由电子 运动 ——λ↓。
• 合金温度升高、晶格振动加强、导热增强 。
∴ T ↑ —— λ↑
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E、非金属的导热系数比金属小。
• 非金属依靠晶格的振动传递热量。
其λ随T变化无一定倾向。
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（2）气体的导热系数
A、气体的λ很小， λ ≈0.006~0.6 W / (m . ℃) B、T↑——λ↑ • 气体的导热是由于分子的热 运动和相互碰撞时发生的能 量传递 。 • 气体的温度升高——气体分 子运动速度和定容比热随T升 高而增大——导热系数随温 度升高而增大 。
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③实验定律，普遍适用(变物性，内热源，非稳态， 固液气) ④引起物体内部或物体之间的热量传递的根本原 因： 温度梯度 ⑤一旦温度分布t = f(x, y, z,τ)已知，热流密度可求 (求解导热问题的关键：获得温度场分布)
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例1：已知右图平板中的温度分布可以表示成如下 的形式：
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（4）多孔固体材料
A、建筑隔热保温材料、造型材料（型砂），不是连续的均 匀介质。大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结
构。 如石棉、硅藻土、岩棉板等。
B、保温材料：我国国家标准规定，平均温度不高于350℃
时导热系数 λ<0.12 W/ (m. ℃) 的材料称为隔热材料或保
C、纯金属中良导电体银、铜的导热系数最大
• 金属导热与导电机理一致，良导电体为良导热体。
λ银>λ铜>λ金 >λ铝
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D、合金的导热
λ合 金 < λ纯 金 属 合金的导热依靠自由电子的迁移和晶格的振动， 主要依靠后者 。 金属中掺入任何杂质将破坏晶格的完整性， 干 扰自由电子的运动 。 ∴合金中杂质↑——λ↓
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沿x 轴方向导入与导出微元体净热量
Φx Φx dx
同理可得：
t dxdydz x x
沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
Φ y Φ y dy
t dxdydz y y
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（3）液体的导热
A、液体的导热系数比气体高些 ,
λ ≈0.07~0.7 W / (m . ℃ ) 。
• 水的最高。20 ℃时 λ水= 0.6 W / (m . ℃ ) 。
B、除水和甘油等外，其余液体的 导热系数T ↑——λ略↓ 。
• 液体的导热主要依靠晶格的振 动。∵液体分子间的作用力因距 离甚近而大大限制了分子的运动 和碰撞。
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温度场的分类： 稳态温度场 一维温度场 二维温度场 三维温度场
t f ( x, y , z )
非稳态温度场
t f ( x, y , z , )
t t t t t t
f (x) f ( x, ) f ( x, y ) f ( x, y , ) f ( x, y , z ) f ( x, y , z , )
温材料。 C、热量传递机理：包括蜂窝状多孔固体结构的导热及穿过
微小气孔的导热和辐射等几种方式。
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D、多孔材料的导热系数不仅与材料的温度有关，还与材料 的密度和湿度有关 。 • T ↑—— λ ↑
• ρ↓、湿度↑ ——λ ↑
E、举例：型砂的透气性。 T ↑、湿度↑—— λ ↑ ；ρ↓——孔 隙↑——λ ↑ ，透气性越好（热空气从孔隙中排走）。
4.能量变化的分析 由于是非稳态导热，微元体的温度随时间变化， 因此存在内能的变化；从各个界面上有导入和导出 微元体的热量；内热源产生的热量。
能 量 守恒 关系式：
[导入热量] + [内热源发热量] = [导入热量] + [内能增量]
