函数逼近与曲线拟合
§1 函数逼近 简单的函数 p(x) 近似地代替函数 f (x)， 是计算数学中最基本的概念和方法之一。近 似代替又称为逼近，函数f (x)称为被逼近的 函数，p (x)称为逼近函数，两者之差
R( x) f ( x) p ( x)
称为逼近的误差或余项。 如何在给定精度下，求出计算量最小的 近似式，这就是函数逼近要解决的问题
维尔斯特拉斯定理 若f (x)是区间[a, b]上的连续函数，则对
于任意 >0，总存在多项式p (x)，使对一切
a ≤x ≤b有
f ( x) p ( x)
§4 最佳平方逼近
1．函数系的线性相关性 定义 若函数 0 ( x), 1 ( x), , n ( x)，在区
间[a, b]上连续，如果关系式
的正交多项式序列。



e
x2
mn 0, H m ( x) H n ( x)dx n 2 n! , m n
② 相邻的三项具有递推关系式：
H 0 ( x) 1, H1 ( x) 2 x H n 1 ( x) 2 xH n ( x) 2nH n 1 ( x), ( n 1, 2, )
x
n
为拉盖尔多项式。
① {Ln(x)}是在区间[0, +∞]上带权 (x) = e-x
的正交多项式序列。


0
m n, 0, x e Lm ( x) Ln ( x)dx 2 (n!) , m n。
② 相邻的三项具有递推关系式：
L0 ( x) 1, L1 ( x) 1 x, 2 Ln 1 ( x) (1 2n x) Ln ( x) n Ln 1 ( x), (n 1, 2,)
u 0 ( x) 1, u1 ( x) 2 x, u n1 ( x) 2 xun ( x) u n 1 ( x)
(n 1, 2, )
(2) 拉盖尔(Laguerre)多项式
定义 称多项式
d n x Ln ( x ) e ( x e ), (0 x ) n dx (n 0, 1, 2, )
勒让德多项式的性质： (1) 正交性 勒让德多项式序列{pn(x)}是在[-1, 1]上带权 (x) = 1的正交多项式序列。
mn 0 1 1 pm ( x) pn ( x)dx 2 m n 2n 1 (2) 递推关系
相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：
2 a
b
作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近 称 为平方逼近或均方逼近。
§2 正交多项式 一、正交函数系的概念 考虑函数系 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,connx,sinnx,… 此函数系中任何两个不同函数的乘积在区 间[- , ]上的积分都等于0 ！ 我们称这个函数中任何两个函数在[- , ] 上是正交的，并且称这个函数系为一个正交 函数系。
Ax b
a11 a12 a1 n a21 a22 a2 n i 1 A bi lij x j j 1 第4章an 2 函数逼近与曲线拟合 an 1 ann xi lii
i 2 ,3 , , n
第4章
x
a
b
n
( x )dx 存在，(n = 0, 1, 2, …)，
(3) 对非负的连续函数g (x) 若 则在(a, b)上g (x) 0 称 (x)为[a, b]上的权函数

b
a
g ( x) ( x)dx 0
2．内积
定义 设f (x)，g (x) C [a, b]， (x)是[a, b] 上的权函数，则称 ( f , g ) b ( x) f ( x) g ( x)dx 为 f (x) 与 g (x)在 [a, b]上以 (x)为权函数 的内积。 内积的性质： (1) (f, f )≥0，且 (f, f )=0 f = 0； (2) (f, g) = (g, f )； (3) (f1 + f2, g ) = (f1, g) + (f2, g)； (4) 对任意实数k，(kf, g) = k (f, g )。
正交多项式的构造： 有递推关系式：
0 ( x ) 1, 1 ( x ) ( x 1 ) 0 ( x ) k 1 ( x ) ( x k 1 ) k ( x ) k k 1 ( x ) ( x k , k ) ( k , k ) 其中 k 1 , k ( k , k ) ( k 1 , k 1 )
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx 0
a
b
则称函数系{k (x)}是[a, b]上带权 (x)的正交 函数系，
特别地，当Ak 1时，则称该函数系为标准 正交函数系。 若定义中的函数系{k (x)}为多项式函数系， 则称为以 (x)为权的在[a, b]上的正交多项式系。 并称pn(x)是[a, b]上带权 (x)的n次正交多项式。
在这种意义下的函数逼近称为一致 逼近或均匀逼近
对于任意给定的一个小正数 >0，如果存在函 数p (x)，使不等式 max f ( x) p( x) 成立，则称该函数p (x)在区间[a, b]上一致逼近 或均匀逼近于函数f (x)。 (二) 平方逼近： 采用
a x b
[ f ( x) p( x)] dx
(2k 1) x k cos , (k 1, 2, , n) 2n
(5) Tn (x) 在[-1, 1]上有n + 1个不同的极值点
x k cos k

n
(k 0, 1, 2, , n)
使Tn (x)轮流取得最大值 1 和最小值 -1。
(6) 切比雪夫多项式的极值性质 Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, …)。 定理 在-1≤x ≤1上，在首项系数为1的一切 1 n次多项式Hn (x)中 ~ Tn ( x) n 1 Tn ( x) 2 1 与零的偏差最小，且其偏差为 n 1
2
即，对于任何 p( x) H n ( x) ， 有
1 2
n 1
~ max Tn ( x) 0 max p( x) 0
1 x 1 1 x 1
2．勒让德(Legendre)多项式 定义 多项式 pn ( x)
1 dn n [( x 2 1)n ] n 2 n ! dx ( n 0, 1, 2, ) 称为n次勒让德多项式。
a0 0 ( x) a11 ( x) a2 2 ( x) an n ( x) 0
当且仅当 a0 a1 a2 an 0 时才成立， 则称函数 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 在[a, b]上是线 性无关的，否则称线性相关。
(1) 正交性：
由{ Tn (x)}所组成的序列是在区间[-1, 1]上带权 1 ( x) 2 1 x 的正交多项式序列。且

1
1
0, 1 Tm ( x)Tn ( x)dx , 1 x2 2 ,
mn
mn0 mn0
(2) 递推关系 相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式 T0 ( x) 1, T1 ( x) x (n 1, 2, ) Tn1 ( x) 2 x Tn ( x) Tn1 ( x)
3．其它常用的正交多项式
(1) 第二类切比雪夫多项式
定义 称
u n ( x)
sin[( n 1) arccos x] 1 x
2
(n 0, 1, 2, )
为第二类切比雪夫多项式。
① {un(x)}是在区间[-1, 1]上带权函数
( x) 1 x
的正交多项式序列。
2
② 相邻的三项具有递推关系式：

a
3．正交性 定义 设 f (x)，g(x) C [a, b] 若 则称f (x)与g (x)在[a, b]上带权 (x)正交。 定义 设在[a, b]上给定函数系{k(x)} ,若满足条件
0, j k ( j ( x), k ( x) A 0, j k k ( j , k 0, 1, ) ( Ak 是常数)
若对以上函数系中的每一个函数再分 别乘以适当的数，使之成为：
1 1 1 1 1 , cos x, sin x, , cos nx交 的性质，而且还是标准化的(规范的)
1．权函数
定义 设 (x)定义在有限或无限区间[a, b]上， 如果具有下列性质： (1) (x) ≥0，对任意x [a, b]， (2) 积分
§3
最佳一致逼近
一、最佳一致逼近的概念 定义 设函数f (x)是区间[a, b]上的连续函数, 对于 任意给定的 >0，如果存在多项式p (x)， 使不等式
max f ( x) p( x)
a x b
成立，则称多项式p (x)在区间[a, b]上一致逼 近(或均匀逼近)于函数f (x)。
(3) 奇偶性： 切比雪夫多项式Tn (x)，当n为奇数时为奇函数； n为偶数时为偶函数。
Tn ( x) cos[n arccos( x)] cos(n narc cos x) (1) cos(narc cos x) (1) Tn ( x)
n n
(4) Tn (x)在区间[-1, 1]上有n 个不同的零点
p0 ( x) 1, p1 ( x) x 2n 1 n pn 1 ( x) n 1 xpn ( x) n 1 pn 1 ( x) (n 1, 2, )
(3) 奇偶性：
当n为偶数时，pn (x)为偶函数；