2 1 2
于是
1 5 1 5 17 2 2 ( x) x ( x ) x x 9 7 4 7 252
2
3）几种常用的正交多项式
• 勒让德多项式 当区间[-1,1],权函数ρ(x) ≡1时,由 {1,x,…,xn,…}正交化得到的多项式就称为 勒让德多项式,并用P0(x),P1(x),…,Pn(x),… 表示. 其简单的表达式为
全体，按函数的加法和数乘构成连续函数 空间---- C[a, b]
3.1 函数逼近的基本概念
1)线性无关
设集合S是数域P上的线性空间,元素
x1,x2,…,xn∈S,如果存在不全为零的数
a1,a2,…,an∈P,使得
a1 x1 a2 x2 ... an xn 0,
则称x1,x2,…,xn线性相关.
( x , 0 )
2
1
0
于是
1
1 1 ( x) x 4
1 x ln xdx 9
2
1 1 2 1 1 7 2 (1 , 1 ) ( ln x)( x ) dx (ln x)( x x )dx 0 0 4 2 16 144
1 5 ( x , 1 ) ( ln x) x ( x )dx 0 4 144
且有以下常用公式
p 0 ( x) 1 p1 ( x ) x p 2 ( x ) (3 x 2 1) / 2 p 3 ( x ) (5 x 3 3 x ) / 2 p 4 ( x ) (35x 4 30x 2 x ) / 8 p 5 ( x ) (63x 5 70x 3 15x ) / 8 p 6 ( x ) ( 231 x 6 315x 4 105x 2 5) / 16
b a 2 n
其中 0 ( x) 1,
(n 1,2,.....)
并且( x n ( x), n ( x))＝ x ( x) ( x)dx.
{ ( x )} (5)设 n 0 是在[a, b]上带权ρ(x)的正交多项式 序列, 则 n ( x) (n≥1)的n个根都是在区间(a,
切比雪夫多项式的性质
(1)递推关系
Tn 1 ( x ) 2 xTn ( x ) Tn 1 ( x ) T0 ( x ) 1 T1 ( x ) x T2 ( x ) 2 x 2 1 T3 ( x ) 4 x 3 3 x T4 ( x ) 8 x 4 8 x 2 1 T5 ( x ) 1 6x 5 2 0x 3 5 x T6 ( x ) 3 2x 6 4 8x 4 1 8x 2 1
若 Ak 1, 则称之为标准正交函数族。
设 n ( x) 是[a, b]上首相系数an≠0的n次多 项式, ρ(x)为[a,b]上的权函数,如果多项式序列 { ( x )} { n ( x)}0 满足关系式(2),则称多项式序 n 0 为在[a,b]上带权ρ(x)正交,称 n ( x) 为[a, b]上带 权的 n 次正交多项式.
0 ( x) 1,
n ( x) x
n
n 1
j ( x) j 0 ( j ( x), j ( x))
( x , j ( x))
n
(n 1,2,...).
如此得到的正交多项式有如下性质： (1) n ( x) 是具有最高次项系数为1的n次多项式
(2)任何n次多项式Pn(x)∈Hn均可表示为 0 ( x), 1 ( x),..., n ( x) 的线性组合. ( j ( x), k ( x)) 0, 且 k ( x) (3)当k≠j时, 与任一次数小于k的多项式正交. (4)成立递推关系
2)范数的定义 设S为线性空间,x∈S,若存在唯一实数 || || 满足条件： (1)‖x‖≥0;当且仅当x＝0时,‖x‖＝0; (正定性) (2)‖αx‖＝|α|‖x‖,α∈R; (齐次性) (3)‖x＋y‖≤‖x‖＋‖y‖,x,y∈S. (三角不等式) 则称 || || 为线性空间S上的范数, S与 || || 一起称为赋范线性空间,记为X.
a
(1)
则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权正交. 若函数族
0 ( x), 1 ( x), , n ( x),
b
满足关系
j k; 0, ( j , k ) ( x) j ( x)k ( x)dx a Ak 0, j k ;
(2)
则称 k ( x) 是[a, b]上带权 ρ(x)正交函数族 ；
n1 ( x) ( x an ) n ( x) n n1 ( x)
(n 0,1,...)
－1 (x) 0, n ( x n ( x), n ( x)) /( n ( x), n ( x)), n ( n ( x), n ( x)) /( n1 ( x), ( n1 ( x))
b)内的单重实根.
例题：利用 Gram-schmidt 方法构造 [0,1] 上带权 1 ( x ) ln 的前3个正交多项式 0 , 1 , 2 x
解：利用正交化公式来求
( x ) ln 1 ln x x
0 ( x) 1
( x 0 ) 1 ( x) x 0 ( 0 0 )
段低次多项式等.
数学上常把在各种集合中引入某一些不同的确 定关系称为集合以某种空间结构赋予，并将这 样的集合称为空间。
例1、按向量的加法和数乘构成实数域 R 上的线性空间--- R n 例2、对次数不超过 n 的实系数多项式，按 加法和数乘构成数域上的多项式线性 空间---- H n
例3、所有定义在 [a,b] 集合上的连续函数
| (u, v) | (u, u )(v, v).
称为柯西－施瓦次不等式 .
• 魏尔斯特拉斯定理 设f(x)∈C[a, b],则对任何ε＞0,总存在一个代数多项 式p(x),使 || f ( x) p( x) || ＜

在[a, b]上一致成立 。
•定理：设X为一个内积空间,u1,u2,…,un∈X,矩阵
(u1 , u1 ) (u2 , u1 ) (u1 , u2 ) (u2 , u2 ) G (u , u ) (u , u ) 2 n 1 n (un , u1 ) (un , u2 ) (un , un )
称为格拉姆矩阵,则G非奇异的充分必要条件是 u1,u2,…,un线性无关 。
m n; 0, 1 1 Pn ( x) Pm ( x)dx 2 ， m＝n. 2n 1
(2)奇偶性
(3)递推关系
pn ( x) (1) pn ( x)
n
(n 1) pn1 ( x) (2n 1) xpn ( x) npn1 ( x) n (1,2)
sin kx cos kx 0,


2 si n kx




2 cos kx 0,
实际上，这就是付里叶(Fourier)逼近的基函数.
2)如何构造正交多项式 • 只要给定区间[a, b]及权函数,均可由一组线性无 关的幂函数{1,x,…, xn,…},利用逐个正交化手法 构造出正交多项式序列 {n ( x)}0 ：
零. 但在实际应用中,有时不要求具体某些点
误差为零,而要求考虑整体的误差限制 ,这就
引出了拟合和逼近的概念.
什么是函数逼近
对函数类A中给定的函数 f(x),记作f(x)∈A, 要求在另一类简单的便于计算的函数类 B 中求函数 p(x)∈B ,使 p(x)与 f(x)的误差在 某种意义下最小.函数类A通常是区间[a, b] 上的连续函数,记作C[a, b],称为函数逼近空 间;而函数B通常为n次多项式,有理函数或分
例如、 三角函数系：1，cosx sinx cos2x，sin2x，…是 区间［-π，π］上的正交函数系，因为



si nkx si n jxdx 0,
( j k)
( j k)
cos kx cos jxdx 0,


sin kx cos


jxdx 0,
(2) c2=|c|2;
(3) +g22+g2 (4) (,g)2 g2
权函数
考虑到(x)在区间[a,b]上各点的函数值比重不同,
常引进加权形式的定义
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx
p0 ( x) 1, 1 dn 2 n Pn ( x) n {( x 1) } n 2 n! dx (n 1,2,)
• 最高项系数为1的勒让德多项式为
n n ! d ~ 2 n P ( x ) [( x 1 ) ]. n n ( 2n)! dx
• 勒让德多项式的性质
(1)正交性
(1)(,g)=(g,);
(2)(c,g)=c(,g); (3)(1+2,g)=(1,g)+(2,g);
若(,g)=0,称(x)与g(x)正交 ,记为g .
利用内积可以定义函数的平方模
f
2
(f, f)

b
a
f 2 ( x)dx
函数的平方模满 足 (1) 20,而且2=0(x)=0;
2 2 ( x ) ( x 1 ) 2 0 2 ( x) x 0 1 ( x) ( 0 0 ) (11 )
1 1 ( 0 , 0 ) ln dx ln xdx 1 0 0 x 1
( x, 0 )
1
0
1 x ln xdx 4
第3章 函数逼近与曲线拟合
本章基本内容 • 函数逼近的基本概念 • 正交多项式—Lagrange and Chebyshev • 最佳一致逼近多项式 • 最佳平方逼近多项式 • 曲线拟和的最小二乘法