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现考虑两个正态总体均值差的t检验. 若两个正态总体N(m1,12), N(m2,22)中 12=22=2而2未知. 在均值差m1-m2的检验问 题H0:m1-m2=0, H1:m1-m20(或H0:m1-m20, H1:m1-m2>0或H0:m1-m20,H1:m1-m2<0)的t检验 法中, 当分别自两个总体取得的相互独立的样 本其容量n1=n2=n时, 给定a,b以及d=|m1-m2|/ 的值后可以查附表8得到所需样本容量, 使当 |m1-m2|/d时犯第II类错误的概率小于或等于 b.
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在实际过程中经常是未知, 则先做n1次试验, 计算出样本方差S2作为2的估计, 然后根据此 估计值和给定的a,b,|m1-m2|的值查表获得一个 容量数n2, 如果n2小于n1, 则用已经获得的数据 进行检验就足够了, 而如果n2大于n1, 则再补 做n2-n1次试验, 获得的n2个样本的样本方差作 为2的估计, 再去查表获得正确的样本容量n3, 这样重复下去很快就能够找到所求的样本容 量n.
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例2 考虑在显著性水平a=0.05下进行t检验: H0:m68, H1:m>68. (1) 要求在H1中mm1=68+时犯第II类错误的 概率不能超过b=0.05. 求所需的样本容量. (2) 若样本容量为n=30, 问在H1中 m=m1=68+0.75时犯第II类错误的概率是多 少? 解 (1)此处a=b=0.05, m0=68, d=(m1-m0)/=1, 查附表7得n=13. (2) 现在a=0.05, n=30, d=(m1-m0)/=0.75, 查 附表7, 得b=0.01.
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解 检验问题可表达为H0:mm0, H1:m>m0, 拒绝 域为
按(5.3)式得
按给定的数据算得n24.35, 故取n=25. 且算出 当`x129.87时, 买方就拒绝这批产品, 而当`x <129.87时, 买方接受这批产品.
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例4 比较两种汽车用燃料的辛烷值, 得数据:
燃料A 81 84 79 76 82 83 84 80 79 82 81 79
燃料B 76 74 78 79 80 79 82 76 81 79 82 78
燃料的辛烷值越高, 燃料的质量越好. 因燃料 B较燃料A价格便宜, 因此, 如果两者辛烷值相 同时, 则使用燃料B. 但若含量的均值差m1-m2 5则使用燃料A. 设两总体的分布可认为是正 态的, 而两个样本相互独立. 问应采用哪种燃 料(取a=0.01, b=0.01)?
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先设H0中所假设的X的分布函数F(x)不含未知 参数. 将在H0下, X可能值的全体W分成k个两 两不相交的子集A1,A2,...,Ak.以fi(i=1,2,...,k)记样 本观察值x1,x2,...,xn中落在Ai中的个数, 这表示 在n次试验中事件Ai发生的频率为fi/n, 另一方 面, 当H0为真时, 我们可以根据H0所假设的X 的分布函数来计算事件Ai的概率, 得到 pi=P(Ai), i=1,2,...,k. 频率fi/n与概率pi会有差异, 但一般来说, 若H0为真, 且试验的次数又甚多 时, 这种差异不应太大, 因此(fi/n-pi)2不应太大.
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定义 若C是参数q的某检验问题的一个检验 法, b(q)=Pq{接受H0} (5.1) 称为检验法C的施行特征函数或OC函数, 其图 形称为OC曲线.
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(5.1) 由定义知, 若此检验法的显著性水平为a, 则 当真值qH0时, b(q)就是作出正确判断(即H0 为真时接受H0)的概率, 故此时b(q)1-a; 而当 qH1时, 则b(q)就是犯第II类错误的概率, 而 1-b(q)是作出正确判断(即H0为不真时拒绝H0) 的概率. 函数1-b(q)称为检验法C的功效函数. 当q*H1时, 值1-b(q*)称为检验法C在点q*的 功效, 它表示当参数q的真值为q*时, 检验法C 作出正确判断的概率. 我们只介绍正态总体均值检验的OC函数.
概率论与数理统计
第13讲(下)
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第八章 假设检验
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§5 样本容量的选取
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以上我们在进行假设检验时, 总是根据问题的 要求, 预先给出显著性水平以控制犯第I类错 误的概率. 而犯第II类错误的概率则依赖于样 本的容量的选择. 在一些实际问题中, 我们除 了希望控制犯第I类错误的概率外, 往往还希 望控制犯第II类错误的概率. 在这一节, 我们 将阐明如何选取样本的容量使得犯第II类错 误的概率控制在预先给定的限度之内. 为此, 我们引入施行特征函数.
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U 检验法中
右边检验 左边检验 双边检验 其 中
b
的计算公式
b ( za - )
b ( za )
b ( z a - ) ( z a ) - 1
2 2

m - m0

n
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b(q)=Pq{接受H0}
1, Z检验法的OC函数 右边检验问题. H0:mm0, H1:m>m0的OC函数是
X - m0 b (m ) Pm (接受H 0 ) Pm { za } / n
m - m0 X -m Pm { za } ( za - ) / n / n m - m0 (5.2) / n
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解 按题意需要在显著性水平a=0.01下检验假 设 H0:mA-mB0, H1:mA-mB>0, 并要求在mA-mB 5时, 犯第II类错误的概率不超过b=0.01. 所取的样本容量为nA=nB=12, 且有`xA=80.83, `xB=78.67, s2A=5.61, s2B=6.06. 经水平为0.1的F 检验知, 可认为两总体的方差相等, 即有
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2, t检验法的OC函数 右边检验问题H0:mm0, H1:m>m0的t检验法的 OC函数是
其中变量
称它服从非中心参数为,自由度为n-1的非中 心t分布.
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若给定a,b以及d>0, 可从书末附表7查得所需 容量n, 使得当mH1且(m-m0)/d时犯第II类 错误的概率不超过b. 若给定a,b及d>0,对于左边检验问题H0:mm0, H1:m<m0的t检验法, 也可从附表7查得所需容 量n, 使得当mH1且(m-m0)/-d时犯第II类错 误的概率不超过b. 对于双边检验问题 H0:m=m0,H1:mm0的t检验法也可从附表7查得 所需容量n, 使得当mH1,且|m-m0|/d时所犯 第II类错误的概率不超过b.
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例3 考虑在显著性水平a=0.05下进行t检验 H0:m=14, H1:m14. 要求在H1中|m-14|/0.4时犯第II类错误的概 率不超过b=0.1, 求所需样本容量. 解 此处a=0.05, b=0.1, d=0.4, 查表得n=68.
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(一)c2拟合检验法 这是在总体未知时, 根据 样本X1,X2,...,Xn来检验关于总体分布的假设 H0:总体X的分布函数为F(x), H1:总体X的分布函数不是F(x), (6.1) 的一种方法.
注意, 若总体X为离散型则(6.1)中的H0相当于 H0:总体X的分布律为P(X=ti)=pi,i=1,2,.... (6.2) 若总体X为连续型, 则(6.1)中的H0相当于 H0:总体X的概率密度为f(x). (6.3)
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d
(5.3)
类似地, 可得左边检验问题H0:mm0, H1:m<m0 的OC函数为
当真值mm0时b(m)为作出正确判断的概率; 当 真值m<m0时, 给出犯第II类错误的概率. 只要 样本容量n满足
m - m0 b (m ) ( za ), / n
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当mm0+d时有 b(m0+d)b(m).
于是只要 b(m0 +d )=( za - nd / ) b
亦即只要n满足 za - nd / - zb
或者说只要
即可
n
( za zb )
则当mH1且mm0+d时, 即真值(mm0+d)时犯 第II类错误的概率不超过b.
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而右边检验的拒绝域为
由样本观察值算得t=2.19<2.5083, 故接受H0, 即采用B种燃料.