PC PO2 OC2 (3R)2 R2 2 2R
由PCO和PO1B相似得：
A
O1
B
PC PO1
OC BO1
BO1
2R,易得：PB 3 2R
S圆锥全 BO1 PB ( 2R)2 8R2
S球 4R2
S圆锥全 2
S球
1
小结：
（1）利用“分割-求近似和-化为准确和” 的数学方法推出了球的表面积公式：
球 的 表 ห้องสมุดไป่ตู้ 积和体积
圆锥 圆台
圆柱 球体
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。
球(即球体):球面所围成的几何体。
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积： V 4R3
3
半径是R的球的表面积：S 4πR2
推导方法：
分割
求近似和 化为准确和
练习：
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2倍。
RO
S圆柱侧 2R 2R 4R2
S球 S圆柱侧
(2) S圆柱表 4R2 2R2 6R2
S球 4R2
S球
2 3
S圆柱表
例题： 如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形 成的几何体的表面积和体积。
A
2
D
4
B
5
C
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面 积。分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，
球的体积: V 4 R3 ②
由①② 得:
3
S 4πR2
S 4πR2
（2）球的表面积公式的一些运用。
球面
第三步：化为准确和
Si
hi
如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。 hi 的值就趋向于球的半径R
Vi
Si
R
O Vi
V
1 3
Vi
Si
R
1 3
S2
1
3 R
Si R
1 3
S3
R
...
1 3
Sn
R
1 3
R(Si
S2
S3
...
Sn
)
1 3
RS
①
它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
D
C 略解： RtB1D1D中:
A
B
B1D 2R，B1D 2a
D A11
O C1
B1
(2R)2 a2 ( 2a)2 , 得：R 3 a 2
S 4R2 3a2
变变题题12..如如果果球球OO和和这这个个正正方方体体的的六各个条面棱都都相相切切，，则则有有SS==2——aa——2 2。。
关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
例3.若一个球的外切圆锥的高是这个球的直径的两倍，
求圆锥的全面积与球的表面积之比。
P
解：过圆锥的轴做截面截圆锥和内切球 分别得轴截面PAB和球的大圆圆O,且圆O
RC O
为 PA的B内切圆。 设这个球的半径为R，则PO1=4R 过O作OC 则PBOC=R
RtPCO中：
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4倍。
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2 。2
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 3 4。
例题1：探究阿基米德的科学发现：图中所示的圆 及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转 一周生成的几何体称为圆柱容球。
求证：
1.球的表面积等于圆柱的侧面积.
2.球的表面积也是圆柱表面积的
.
2 3
3.在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的 2
3
例题：探究阿基米德的科学发现：图中所示的圆及
其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周
生成的几何体称为圆柱容球。
证明: (1)设球的半径为R,
则圆柱的底面半径为R,高为2R.
得: S球 4R2