例说信号处理与滤波器设计目录数字时代 (2)数字信号处理的应用 (3)频率——信号的指纹 (5)卷积可以不卷 (8)向量运算的启示 (11)滤波器设计征程 (16)最后一击——滤波的实现方法 (22)纵览全局 (27)数字时代信号处理是对原始信号进行改变，以提取有用信息的过程，它是对信号进行变换、滤波、分析、综合等处理过程的统称。

数字信号处理是将信号以数字方式表示并处理的理论和技术；模拟信号处理是指用模拟系统对模拟信号进行处理的方法或过程。

数字信号处理课程的主要内容包括信号分析与处理。

两者并不是孤立的，不同的信号处理方法往往需要选择不同的信号表示形式。

两者的区别主要表现在，信号处理是用系统改变输入信号，以得到所期望的输出信号，如信号去噪；而信号分析往往是通过变换(傅里叶变换、小波变换等)，或其它手段提取信号的某些特征，如语音信号的基本频率，图像的直方图等。

早期的信号处理局限于模拟信号，随着数字计算机的飞速发展，信号处理的理论和方法得以飞速发展，出现了不受物理制约的纯数学的加工，即算法，并确立了数字信号处理的领域。

现在，对于信号的处理，人们通常是先把模拟信号变成数字信号，然后利用高效的数字信号处理器(DSP：Digital Signal Processor)或计算机对其进行数字形式的信号处理。

一般地讲，数字信号处理涉及三个步骤：(1)模数转换(A/D转换)：把模拟信号变成数字信号，是一个对自变量和幅值同时进行离散化的过程，基本的理论保证是采样定理。

(2)数字信号处理(DSP)：包括变换域分析(如频域变换)、数字滤波、识别、合成等。

(3)数模转换(D/A转换)：把经过处理的数字信号还原为模拟信号。

通常，这一步并不是必须的。

图1数字信号处理基本步骤数字信号处理的应用图2家庭影院(视+听)高分辨率图像、高保真音质图3语音识别噪声环境下高识别率图4图像增强更清晰、美观图5无人驾驶高度智能、安全图6医学成像更高效、更精确的成像结果狭义地讲，信号处理可以统称为滤波，根据不同的要求，选用不同性能的滤波器。

在数字信号处理应用中，设计合适的滤波器至关重要。

什么是数字滤波器呢？数字滤波器就是数字信号处理(Digital Signal Processing)算法，或者是数字信号处理器件(Digital Signal Processor)。

什么是数字信号处理算法呢？我们需要借助基本的数学工具和方法。

首先回到信号处理的根本目的：用滤波器改变输入信号，以期得到理想的输出信号，如果输入信号用[]x n 表示，输出信号用[]y n 表示，则数字信号处理或滤波可用如下框图表示：数字滤波器图7数字信号滤波图示上述框图并没有给出数字信号处理算法的具体实现方法，但提供了数字信号处理的基本数学思想：通过系统将[]x n和[]y n进行关联。

在数学上描述x和y之间关系的手段有很多，如函数()y f x=，方程组=Ax y等，从数学角度来理解，如果()f⋅为不同映射，即使同样的自变量x，也会得到不同的因变量y；如果系数矩阵A不同，同样的x经变换之后，将得到不同的y。

在数字信号处理课程中，描述输入输出信号关系的基本数学工具是差分方程：[][]00Q Pk kk ka y n kb x n k==-=-∑∑(1) 令()max,N P Q=，上述差分方程可写为[][]00N Nk kk ka y n kb x n k==-=-∑∑(2) 如果仅局限于基础(经典)的数字信号处理算法研究，全部内容都是围绕这个常系数线性差分方程(Constant Coefficient Linear Difference Equation，CCLDE)展开的。

那么，我们需要研究CCLDE什么呢？很显然，我们可以将CCLDE看成一个系统，它描述了输入[]x n和输出[]y n之间的关系。

哪些参数决定这个系统的性能呢？方程中除了[]x n和[]y n，还有三个参数：方程阶数N，系数ka和kb——数字滤波器设计的根本任务就是确定这三个参数——目标非常明确!!!从何下手呢？如何判定所设计的滤波器符合预期呢？迷茫中ing…频率——信号的指纹烈日当空，窗外的知了热得撕心裂肺地吼叫知了声.wav声音特点：又大又尖，怎叫人不心烦意乱？!大：能量大，或者信号幅度大(声压级超过120dB即达到痛阈)；尖：频率高，即知了的叫声中包含了丰富的高频成分，因此听起来很“刺耳”。

图8知了声的频谱图(横坐标：频率(Hz)；纵坐标：幅度(dB))图9听觉曲线图10声音频率范围可见，幅度和频率是声音信号的主要参数。

诸如“低音炮”、“高音喇叭”、“男低音”和“女高音”都是从幅度和频率去描述声音信号的，因此，分析信号的频率特性是信号处理领域的重要内容。

分析信号的频率特性无非就是想知道信号包含了哪些频率成分，各频率成分的大小是多少。

傅里叶分析完美地解决了这个问题。

在信号与系统课程中，我们通常将傅里叶分析分为傅里叶级数和傅里叶变换，前者用来对付周期信号，后者用来处理非周期信号，但无论是傅里叶级数，还是傅里叶变换(当然，傅里叶级数也可以纳入到傅里叶变换体系中)，它们的原理或宗旨都一样：将一般的信号分解为基本信号的线性组合(连续周期信号)()0jk t k k x t a e ω+∞=-∞=∑ (3) (离散非周期序列) []()212j j n x n X e e d ωωπωπ=⎰ (4) 以式(3)为例，等式左边是一般的(满足收敛条件的)周期信号，而右边则是频率为0k ω、幅度为k a 的虚指数信号0jk t e ω的线性组合。

现在可以谈论一下滤波的概念了。

假设式(3)中()xt 就是知了发出的“嗞哇嗞哇……”没完没了的周期信号，现在我们想把烦人的高频成分去掉，最直观的想法就是需要设计一个滤波器，这个滤波器可以让较低频率的信号顺利通过，同时又能阻止较高频率的信号，这就是所谓的低通滤波器。

卷积可以不卷再回到常系数线性差分方程(2)，参数N ，k a 和k b 完全决定了方程所描述的系统的所有特性。

什么？难道与输入[]x n 和输出[]y n 没关系？对，没有关系!电阻是一个系统，其阻值仅与自身的材料及结构有关，虽然有关系式()()/R v t i t =，事实上，即使两端没有电压，电阻依然存在；再比如理想的线性放大电器，它的增益仅取决于内部结构，而与输入输出无关，但为了测量放大器的增益(放大倍数)，我们可以在输入端接入幅度为i 的信号，然后测量输出信号的幅度o ，这样就可以得到放大倍数o g i=，更特殊地，如果取1i =，此时输出信号的幅度就是放大器的增益，即g o =。

类似的概念推广到CCLDE 描述的LTI 系统，我们如何获得这个系统的特性呢？输入——输出描述法，即令输入[]x n 取某种特殊值时，计算(或测量)系统的输出[]y n 。

那么，什么样的[]x n 算特殊呢？单位脉冲![]1,00,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩ (5)也就是说，令[][]x n n δ=，此时系统的输出就是所谓的单位脉冲响应[]h n 。

再与放大器的例子对比一下：输入信号幅度1i =，输出信号的幅度o 就是放大倍数(放大器的重要指标，从应用者角度而言，其实就是唯一关心的指标)。

我们有理由相信，对于CCLDE 描述的LTI 系统，得到了单位脉冲响应[]h n ，就能够掌握系统的全部特性(因果性、稳定性、频率选择性等)。

何以见得呢？之后将逐步解答。

现在，我们假设已经知道了LTI 系统的单位脉冲响应[]h n ，对于任意输入[]x n ，如何求系统的输出[]y n 呢？其实就是求滤波后的信号。

首先，我们要建立已知和需求之间的联系。

已知的是[][]LTI n h n δ−−→，需求是[][]LTI ?x n y n −−→=。

LTI系统图11单位脉冲响应事实上，任意序列[]x n 很容易用[]n δ的移位、加权的线性组合来表示：[][][]k x n x k n k δ+∞=-∞=-∑。

图12序列的单位脉冲表示结合系统的线性和时不变性，有[][][][][][][][][][][][][][]LTI k k n h n n k h n k x k n k x k h n k x n x k n k y n x k h n k δδδδ+∞+∞=-∞=-∞−−→-−−→--−−→-=-−−→=-∑∑已知：时不变性：齐次性：线性时不变性： (6) 式(6)中最后一个等式[][][]k y n x k h n k +∞=-∞=-∑就是卷积和，记作[][][]*y n x n h n =，表明LTI 系统的(零状态)响应[]y n 是单位脉冲响应[]h n 的移位、加权、求和。

这句话也描述了求[]y n的步骤。

根据图11，我们可以假想有这样的一个LTI 系统——出钞机：如果你今天往出钞机投币口(输入端)投币一元，它将在接下来的三天，每一天都会从出币口(输出端)吐出一元。

试问：如果某个月的1、3、4日，你分别投了2、2、3元，那么，出钞机每天的输出是多少元呢？不妨用图来说明一下。

LTI系统0 1 2 3 4 532==0 1 2 3 4 5320 1 2 3 4 5320 1 2 3 4 5320 1 2 3 4 5 6 7320 1 2 3 4 5 6320 1 2 3 4 5320 1 2 3 4 5 6 73254输入响应图13卷积和的图解图解结果告诉我们，出钞机在2-7日分别吐出2,2,4,5,5,3元。

图解的过程包含了乘积与求和(“积”与“和”)，但并有体现出“卷”(翻转)这一操作。

如果只想求某一天(比如5日)出钞口吐出多少钱，此时就要用另一种方法，即许多教材中描述的步骤： (1) 变量替换：[][][][],x n x k h n h k →→ (2) 将[]x k 或[]y k 翻转 (3) 移位、相乘、相加以上步骤包含了“卷积和”所有的操作(卷——翻转；积——相乘；和——相加)。

图解过程是根据线性时不变系统的定义导出的一种结果，是系统特性的直接反映。

卷积和是信号与系统、数字信号处理中最重要的公式之一，它描述了LTI 系统输入[]x n 、输出[]y n 以及单位脉冲响应[]h n 之间的关系，已知三者中的任何两个，就可以确定第三者，于是就有以下应用场合：(1) 已知输入[]x n 和系统单位脉冲响应[]h n ，求输出[]y n ，即用确定的系统对输入信号滤波处理；(2) 已知输出[]y n 和系统单位脉冲响应[]h n ，求输入[]x n ； (3) 已知输入[]x n 和输出[]y n ，求系统单位脉冲响应[]h n 。

现在，我们将注意力集中到卷积和公式上来，公式重写如下[][][]k y n x k h n k +∞=-∞=-∑(7)卷积和只包含了移位、数乘和相加运算，看来，数字信号处理的计算十分简单。