第 1 讲 选择题
第 1 讲 选择题的解题方法与技巧
题型特点概述
选择题是高考数学试卷的三大题型之一．选择题的分数一 般占全卷的 40%左右，高考数学选择题的基本特点是：
(1)绝大部分数学选择题属于低中档题，且一般按由易到 难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充 分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次、解 题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以选择题已成为 具有较好区分度的基本题型之一．
②是错误的，这是两个向量垂直的条件；③是正确 的，因为由(a＋3b)∥(2a－b)，可得(a＋3a)＝λ(2a－
b)，当λ≠12时，整理得a＝2λλ＋－31b，故a∥b，当λ＝12时
也可得到a∥b；④是正确的，若设两个向量的夹角为
θ，则由a·b＝|a||b|cos θ，可知cos θ＝1，从而θ＝0，所
知能提升演练
1．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩(∁NB)等
于
(A)
A．{1,5,7}
B．{3,5,7}
C．{1,3,9}
D．{1,2,3}
解析 由于3∈∁NB，所以3∈A∩(∁NB) ∴排除B、C、D，故选A.
2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果
例3 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，给出下列条
件，①a＝kb(k∈R)；②x1x2＋y1y2＝0；③(a＋3b)∥(2a－
b)；④a·b＝|a||b|；⑤x12y22＋x22y21≤2x1x2y1y2.
其中能够使得a∥b的个数是
A．1
B．2
C．3
( D) D．4
解析 显然①是正确的，这是共线向量的基本定理；
若f(1)＝－5，则f(f(5))的值为
(D)
A．5
B．－5
1 C.5
D．－15
解析 由f(x＋2)＝f(1x)，得f(x＋4)＝f(x＋1 2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(5)＝f(1)＝－5， 从而f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝f(－11＋2)
＝f(11)＝－15.
A．a1＋a101>0 C．a3＋a99＝0
( C)
B．a2＋a102<0 D．a51＝51
解析 取满足题意的特殊数列an＝0，则a3＋a99＝0，故 选C.
4．在等差数列{an}中，若 a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，
则 a7－12a8 的值为
(C )
A．4
B．6
C．8
D．10
解析 令等差数列{an}为常数列an＝16. 显然a7－12a8＝16－8＝8. 故选C.
例1 设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝
2，则f(99)等于
( C)
A．13
B．2
13 C. 2
2 D.13
思维启迪 先求f(x)的周期．
解析 ∵f(x＋2)＝f1(x3)，
∴f(x＋4)＝f(x1＋3 2)＝
13 13
＝f(x)．
f(x)
∴函数f(x)为周期函数，且T＝4.
A．0<a≤1
B．a<1
C．a≤1
D．0<a≤1或a<0
解析 当a＝0时，x＝－12，故排除A、D.
当a＝1时，x＝－1，排除B.
故选C. 探究提高 选择具有代表性的值对选项进行排除是解决
本题的关键．对“至少有一个负根”的充要条件取值进
行验证要比直接运算方便、易行．不但缩短时间，同时
提高解题效率．
变式训练8 已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴 的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是
第 2 讲 填空题
第 2 讲 填空题的解题方法与技巧
题型特点概述
填空题是高考试卷中的三大题型之一，和选择题一样， 属于客观性试题．它只要求写出结果而不需要写出解答过 程．在整个高考试卷中，填空题的难度一般为中等．不同省 份的试卷所占分值的比重有所不同．
1． 填空题的类型 填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问 题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结构简单、概念 性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出 结论等特点．从填写内容看，主要有两类：一类是定量 填写，一类是定性填写．
方法二 (特殊式检验法) 注意到aa2nn＝42nn－ －11＝22··2nn－－11，取an＝2n－1，
1＋(4n－1) SS2nn＝ 1＋(22n－1)·2n＝4.
2 ·n
方法三 (直接求解法) 由aa2nn＝42nn－ －11，得a2na－n an＝2n2－n 1， 即nadn ＝2n2－n 1，∴an＝d(2n2－1)， 于是，SS2nn＝aa1＋1＋22aa2nn··2nn＝2·aa11＋＋aa2nn
2．填空题的特征 填空题不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接 写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的区别：第一， 表现为填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之 好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是 在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容 (既可以 是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考 查方法比较灵活． 从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，因为填 空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有 毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上 下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因 此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而 要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在 “巧”字上下功夫．
例5 函数f(x)＝1－|2x－1|，则方程f(x)·2x＝1的实根的个数
是
(C )
A．0
B．1
C．2
D．3
思维启迪 若直接求解方程显然不可能，考虑到方程可
转化为f(x)＝12x，而函数y＝f(x)和y＝12x的图象又都可以 画出，故可以利用数形结合的方法，通过两个函数图象
(2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有 一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种
以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、 判断和推理能力．
目前高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一 个正确答案)，由选择题的结构特点，决定了解选择题除常 规方法外还有一些特殊的方法．解选择题的基本原则是： “小题不能大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提 供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．
以a∥b；⑤是正确的，由x12yFra bibliotek2 2
＋x22y
2 1
≤2x1x2y1y2，可得
(x1y2－x2y1)2≤0，从而x1y2－x2y1＝0，于是a∥b.
题型三 数形结合法 “数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基 石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定 条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点 的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根 据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、 性质，综合图象的特征，得出结论．
∴f(99)＝f(4×24＋3)＝f(3)＝f1(13)＝123.
探究提高 直接法是解选择题的最基本方法，运用直接法 时,要注意充分挖掘题设条件的特点，利用有关性质和已有 的结论，迅速得到所需结论．如本题通过分析条件得到f(x) 是周期为4的函数，利用周期性是快速解答此题的关键．
变式训练1 函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝f(1x)，
交点的个数确定相应方程的根的个数．
解析
方程f(x)·2x＝1可化为f(x)＝
1 2
x，
在同一坐标系下分别画出函数y＝f(x)和
y＝
1 2
x的图象，如图所示．可以发现其
图象有两个交点，因此方程f(x)＝
1 2
x有
两个实数根．
变式训练5 函数y＝|log1 x|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，
题型二 概念辨析法 概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进 行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题 目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质，这需 要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内 涵与外延，同时在审题时要多加小心，准确审题以保证正 确选择．一般说来，这类题目运算量小，侧重判断，下笔 容易，但稍不留意则易误入命题者设置的“陷阱”．
＝2·d2d2＋ ＋d2d2((42nn－ －11))＝4.
答案 C
题型五 筛选法 数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目 要求的选项，找到符合题意的正确结论．筛选法(又叫排 除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通 过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的 结论．
例8 方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( C )
2
则区间[a，b]的长度b－a的最小值是
(D )
A．2
3 B.2
C．3
3 D.4
解析 作出函数y＝|log 1 x|的图象，如图所示，由y＝0解
2
得x＝1；由y＝2，解得x＝4或x＝
1 4
.所以区间[a，b]的长
度b－a的最小值为1－14＝34.
题型四 特例检验法 特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图 形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各 个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特 殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊 位置等． 特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对 某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判 断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下 不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或 “小题巧做”的解题策略．