数列不等式证明的几种方法
数列和不等式都是高中数学重要内容，这两个重点知识的联袂、交汇融合，更能考查学生对知识的综合理解与运用的能力。
这类交汇题充分体现了“以能力立意” 的高考命题指导思想和“在知识网络交汇处”设计试题的命题原则。
下面就介绍数列不等式证明的几种方法，供复习参考。
、巧妙构造，利用数列的单调性
例1•对任意自然数n,求证:
%■（1十00 + -）-（14 —「刚也-「加卄‘一
证明：构造数列
2ti + 2 2ti + 2
加4 - 1二2北十2
所以＞细，即鼠｝为单调递增数列
所以，即
点评：某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题，均可构造数列，通过数列的单调性解决。
、放缩自然，顺理成章
例2.已知函数£（只）=3 5
討+x J，数列％｝爲九）的首项引"，以后每项按如下方
式取定：曲线"住）在点:仗M珑
j））
处的切线与经过（0 , 0 ）和：1 |：:'两点
的直线平行。
求证：当时:
(1)
(2)0
7
证明：（1）因为，所以曲线’二--—处的切线斜率为0
又因为过点（0, 0）和两点的斜率为
k = * +吕，所以结论成立。
（2）因为函数
h（H）- z3 + X, > Q时单调递壇则有叮+s a = +轴*1 w
斗％J +
刼曲
=(%+1严+
(:
孤*1 二1
所以％£也1，即砥2，因此
7
又因为M 1 f Ji ' - ・ _ ・”1 ' ' - ' r I
令，且" 0
f(x) = In 设 所以
点评：本题是数列、函数、不等式、解析几何、导数等多知识点的综合题，在证 明过程中多次运用放缩，放缩自然，推理逻辑严密，顺理成章，巧妙灵活。
三、导数引入，更显神威
丄丄丄…詁皿“+丄丄丄—丄 E
例 3.求证：2 3 4 11 3 3 4 n+1
] =丄
证明：令5一门"红—口，且当心2|时，恥厂血讥f （口1，所以
C n = SL - S R _i = ln(n4 1) - In n = In n +
“。
要证明原不等式，只须证
1 /十1
1
n +1 n n -1
丸鑑十1
尸
h(t)-lnt-—,11'®- ^->0
设 1 t a
所以■' ' 1上为增函数
所以h(t)nh(lXD,即
t- 1
h©-lnt-l—
所—
t
in注丄
所以: :-
In t <t -1 点卩In 土乜
< —
同理可证X X
丄讪TL丄艮卩丄也四』。
对上式中的n分别取1, 2, 3 ,…,所以■ -1 : _ 1 1
丄丄丄…4丄
但-1 ,得2 3 4 n 2 3 4 n + 1
点评：导数进入中学数学新教材，为解决数列与不等式的交汇问题展示了新的思路和广阔的空间，其解题方法新颖独特，尤其是对数、指数次幕形式出现的一类问题，更显导数在解题中的工具性和独特的神威。
四、裂项求和，简捷明了
（1 ）求数列伍』的首项幻，及通项％;
（2）设绻，证明占
解：（1）首项引=2州=护-孙血=1朋…）（过程略）
乐-扌得-巧-扣叫卜| （丹-则-1）
3
=2 v2n-1
2n+l- 1
所咱走
--( ----------- 1—)--(1-
2^-1 严1-1’2、
点评：本题通过对乳的变形，利用裂项求和法化为“连续相差”形式，从而达到证题目的，整个证题过程简捷明了五、独辟蹊径，灵活变通
例4.设‘是数列的前n项和，且
(2)证明：将
1 1■)
」1 1片
—
z^-r 2
独辟蹊径指处事有独创的新方法，对问题不局限于一种思路和方法，而是善于灵活变通，独自开辟新思路、新方法。
例5.已知函数"灯忑D。
设数列&｝满足衍・匕也・伽)，数列｛%｝满足叫T%-0尽=屮屮…
(2)求证:
"I烬"2,得学=侖
证明: 证法1:由
b ＜〔無—炉
(1)求证: p r~l
令C汀宀+1)7，则只须证5"；易知6・2，只须证C切"赏
由分析法：c祸qmd 1严％叙电* + 血
因为“汚十吕佩。
，冷
所以-21Q|%+1冲，得证。
-据.5L +2
-弋再.上迥色L 二色
%+1 a h + l
赳時1 + J5 三——-+ J5
纭+ 1 _ （1 十 £）fen +
苗） a h 十1
-逅.（1 -血轧-后
所以^+1 +忑（L+压）札+问
玉 _ "后 1 -血 t —l _ H （1 _ 晶 f _ J? _____ （
1-書尸T 円_加 所以 '
b 九制m 九■朽匸一嘈"_ 17 由上可求得 °十耐®
忑 1
因此只需证（1十右尸71-历尸 z ,
即证：：• ■ f ：' ■l '：1'
又（1斗Q-〔l-孙
=2（C n W3十C ： W 十戌（击y 十…）
=2爲（c\ +氓34⑴于+…）
= 73［（C ： + C>C ； + - -+C ：）+2（Ct2 + C<8+ »）］
=厉0十2（C ］・2十C ：芒十…）］》严 厉,得证。
证法2 :由于让：' =注认自的两个不动点为±① S-n 亠了 a n+l = n.）= ------------- -
又
，所
（2）由（1）知，缺务
1-(®尸 m-phr
2
ne N*?S n <-^3
故对任意
了 点评：本题（1）中法1通过构造新数列5=伍7" s ，将复杂的问
题转化为 证数列为递减数列，进而用分析法展示出证明思路的魅力；法 2则是独辟 蹊径利用“不动点”，求出通项公式，借助二项式定理放缩给出证明。
其解题过 程灵活变通 所以
(-73 - 1 1 — -----。