（二）. 无限性概念的早期探索 • 伊利亚学派的芝诺提出四个著名的悖论，触及到无限
性、连续性等深刻的概念，给学术界以极大的震动。 1、二分法，一物从甲地到乙地，永远不能到达。因为 想从甲到乙，首先要通过道路的一半，但要通过这一 半，必须先通过一半的一半，这样分下去，永无止境。 结论是此物的运动被道路的无限分割阻碍着，根本不 能前进一步； 2、阿基琉斯(善跑英雄)追龟说，阿基琉斯追乌龟，永 远追不上。因为当他追到乌龟的出发点时，龟已向前 爬行了一段，他再追完这一段，龟又向前爬了一小段。 这样永远重复下去，总也追不上；
• 第1－4卷和第6卷是关于平面几何的内容；
第5卷讲比例论；
第7－9卷是关于数论的内容；
第10卷讨论不可公度量；
第11－13卷主要是立体几何的内容。
• 就内容而言，有很多来自于此前的毕达哥拉斯学派和 欧多克斯的工作。
• 欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。其伟 大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎数学体系 的最早典范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、 片断的，可以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法， 把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间 的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成 宏伟的大厦。《几何原本》体现了这种精神，它对整 个数学的发展产生深远的影响。
上述诸多学派以哲学探讨为主，但他们的研究活动极 大地加强了希腊数学的理论化色彩，主要表现在以下 三个方面：
（一）. 三大几何问题 1、三等分角； 2、倍立方体，即求作一立方体，使其体积是已知立 方体的二倍； 3、化圆为方，即求作一正方形，使其面积等于一已 知圆。
• 这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和 圆规。
2.2.1. 欧几里得与几何《原本》
• 《原本》共13卷。包括5条公理、5条公设、119个定义 和465个命题。
• 第5公设就是平面几何中的“几何公理”。自《原本》 产生后，该公设就引发了很多议论，后世数学家大都认 为它是一个可以证明的命题，但所有证明它的企图都没 成功，这一努力后来导致19世纪非欧几何的产生。
其贡献涉及几何学和天文学。最重要的数学成就是在 前人基础上创立了相当完美的圆锥曲线论。《圆锥曲 线论》就是这方面的系统总结。
评价：
（1）他对圆锥曲线的研究所达到的高度，直到17世纪 笛卡尔和帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。
（2）他的工作中包含了近代微分几何的课题和射影几 何学的萌芽思想。
2.3 亚历山大后期和希腊 数学的衰落
因为毕达哥拉斯学派的许多几何证明都是建立在任何 量都是可公度的基础上，所以引发了第一次数学危机。
• 数字神秘主义
例如：偶数是可分解的、从而也是容易消失的、阴性 的、属于地上的，代表黑暗和邪恶。奇数是不可分解 的、阳性的、属于天上的，代表光明和善良。
• 证明的思想
例如：勾股定理的证明，推测毕达哥拉斯从铺地砖中 获得了启发。
2.1 论证数学的发端
2.1.1 泰勒斯和毕达哥拉斯 2.1.2 雅典时期的希腊数学
2.2 黄金时代－亚历山大学派
2.2.1 欧几里德和几何《原本》 2.2.2 阿基米德的数学成就 2.2.3 阿波罗尼奥斯和《圆锥曲线论》
2.3 亚历山大后期和希腊数学的衰落
2.1论证数学的发端
2.1.1.泰勒斯和毕达哥拉斯 泰勒斯（约前625－547）是所知最早的希腊数学家
第二讲 古希腊数学
• 公元前600年－公元600年间(公元641年，阿拉伯人占 领亚历山大城）
• 古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛外，还包括整 个爱琴海区域和北面的马其顿和色雷斯、意大利半岛和 小亚细亚及非洲北部等地。
• 古希腊人也叫海仑人，其历史可追溯到前2000年，先在 希腊半岛定居，到前600年左右后逐步扩张到上述地区。 作为海滨移民，他们具有典型的开拓精神，对于所接触 的事物，不愿因袭传统；其次他们身处两大河谷文明毗 邻之地，易于涉取那里的文化。
1、任何圆周都被其直径平分； 2、等腰三角形的两底角相等； 3、两相交直线形成的对顶角相等； 4、若已知三角形的一边和两邻角，则三角形完全确定；
即如果一三角形有两邻角和一边与对应三角形的对应 角、边相等，则这两个三角形全等。 5、泰勒斯定理：半圆上的圆周角是直角。
毕达哥拉斯（约前580－前497）是希腊论证数学的另 一鼻祖。生于靠近小亚细亚的萨默斯岛，年轻时曾游 历埃及和巴比伦，甚至可能到过印度，年过半百后回 到故乡并开始讲学，约前520年左右移居西西里岛， 后定居于当时的大希腊（现意大利的克洛托内）建立 了今天所称的毕达哥拉斯秘密宗教学派，致力于哲学 和数学的研究。在大希腊，毕达哥拉斯赢得了很高的 声誉，产生了相当达的政治影响，但却引起敌对派的 嫉恨，终被暴徒杀害。 今天人们对毕达哥拉斯生平与工作的了解，主要也是 通过普洛克卢斯等人关于希腊数学著作的评注。
• 阿基米德创立了称为“平衡法”的求积方法，其实质 上是一种原始的积分法。
例：球的体积公式的求法。
• 趣事： （1）“给我一个支点，我就可以移动地球！” （2）“阿基米德原理”
2.2.3.阿波罗尼奥斯 阿波罗尼奥斯（公元前262－190）生于小亚细亚的珀 尔加，年轻时曾在亚历山大跟随欧几里德的门生学习， 后到小亚细亚的帕加蒙王国居住与工作，但晚年又回 到亚历山大并卒于此。
• 地点：希腊数学中心从雅典转移到了亚历山大城。公元 前332年，马其顿帝国君主腓力二世之子亚历山大三世 （前356—前323）占领埃及，建立亚历山大城。亚历山 大去世后，帝国一分为三。其部将托勒密在埃及建立亚 历山大为首都的托勒密王朝（公元前305-30年）。
• 代表人物：欧几里得、阿基米德和阿波罗尼斯奥。
毕达哥拉斯学派的数学思想
• 万物皆数
这里的数是整数或整数之比。“人们所知道的一切事 物中都包含数；因此，没有数既不可能表达，也不可 能理解任何事物。”
任何量都可以表示成两个整数之比。在几何上即任何 两个线段，总能找到第三个线段，以它为单位可以讲 给定的两个线段分为整数段。希腊人称之这两线段是 “可公度的”。据说该学派的希帕图斯首先发现了正 方形的对角线和一条边的不可公度性，这导致了无理 数的发现，动摇了毕达哥拉斯学派的信条。
2.1.2.雅典时期的希腊数学 波希战争（前492－前449）后，雅典成为希腊民主政 治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣，学 派林立，主要有：
• 伊利亚学派：主要活动在伊利亚（意大利的南端）地 区，主要代表人物是芝诺。
• 诡辩学派（智人学派）：以希比阿斯（前460－）、安 提丰、布里松等为代表。
柏拉图的学生亚里士多德也是古代的大哲学家，是形 式逻辑的奠基者，（其中的矛盾律（同一命题不能同 时既为真，又为假）和排中律（一命题或者为真，或 者为假，二者必具其一）成为数学中间接证明的核 心），为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论 的基础。
2.2 黄金时代－亚历山大学派
• 时间：公元前338年希腊诸邦被马其顿国王腓力二世(前 382 －前336) 控制至公元前30年罗马帝国大将屋大维 （奥古斯都）打败托勒密王朝末代女王克利奥帕特拉及 其情夫罗马将领安东尼，占领亚历山大，埃及沦为罗马 帝国的一个行省为止。
• 雅典学派（柏拉图学派）：柏拉图（前427－前347） 创立，后著名数学家欧多克斯（前408－前307）率徒 加入。
• 亚里士多德学派（吕园学派）：由柏拉图的学生亚里 士多德（前384－前322）于公元前335年创立。相传亚 里士多德曾作过亚历山大大帝的老师。前面提到的 《几何学史》的作者欧多谟斯是亚里士多德的学生。
趣事
• 欧几里得是希腊论证几何的集大成者。 • 在公元前300年左右，欧几里得受托勒密一世之邀到亚
历山大，成为亚历山大学派得奠基人。据说受托勒密 曾问欧几里德有无学习几何的捷径？欧几里德回答说： “几何学无王者之道”。 • 有一次一个学生刚学了第一个几何命题便问“学了这 些我能获得什么呢？”欧几里德叫来一个仆人吩咐说： “给这位先生三个分币，因为他一心想从学过的东西 中捞点什么”。－－欧几里德反对狭隘的实用观点
2.2.2阿基米德的数学成就
• 阿基米德 (公元前 287-212) 是公认的古希腊时代最伟大 的数学家。他生于西西里岛 的叙拉古，但很可能曾在亚 历山大学习数学，后回到故 乡，仍与亚历山大学派有密 切联系。后被罗马士兵杀害。
• 其著述极为丰富，涉及数学、 力学和天文学；而他最引以 自豪者，首推球面面积公式 的证明，這也就是遵照他本 人的遗嘱刻在他的墓碑上的。
• 以德谟克利特（曾师从芝诺的学生琉西普斯）为代表的 原子论学派，认为线段、面积和立体，是由许多不可再 分的原子所构成。计算面积和体积，等于将这些原子集 合起来。这种不甚严格的推理方法却是古代数学家发现 新结果的重要线索。
（三）. 逻辑演绎结构的倡导
雅典时期，数学中的演绎化倾向有了实质性的进展， 这主要归功于柏拉图和亚里士多德以及他们的学派。

• 希腊几何已经失去了前期的光辉。唯一值得可提的几 何学家是海伦（约公元1世纪）代表作《量度》，主要 讨论各种几何图形的面积和体积的计算，包括以他名 字命名的三角形面积公式。
• 亚历山大后期最富有创造性的成就是三角学的建立。 代表人物托勒玫（约100－170）和他的《大成》，出 现了相当于正弦函数表的“弦表”。
和论证几何学的鼻祖.出生于小亚细亚的爱奥尼亚， 将埃及的几何研究引进希腊，他领导的爱奥尼亚学派 据说开了希腊命题论证之先河。 注：关于泰勒斯在数学上的贡献的证据来自于公元5 世纪的普洛克鲁斯所著的《欧几里德原本第一卷评注 》引述约公元前330年欧多谟斯（亚里士多德的学生 ）所撰《几何学史》的内容。
泰勒斯的贡献：
• 崛起于意大利半岛中部的罗马民族，在公元前1世纪 完全征服希腊各国夺得了地中海地区的霸权，建立了 强大的罗马帝国。唯理的希腊文明被务实的罗马文明 所取代。同影响深远的罗马法典和气势恢弘的罗马建 筑相比，罗马人在数学领域却谈不上有什么显赫的功 绩。