方法二、 方法二、解联立方程求状态反馈增益矩阵诸元素
ϕ(s) = det(sI − A + bk)
* * ϕ * (s) = s n + α n −1s n −1 + ⋯ + α1* s + α 0
给定下图受控系统，试设计状态反馈增益矩阵， 例 给定下图受控系统，试设计状态反馈增益矩阵，使闭环系统满 足下列性能指标： 足下列性能指标：
v
R
−
u
B
∫
A
F
x
C
y
闭环系统的状态空间模型为 ɺ x = ( A − BFC ) x + BRv
y = Cx
闭环系统的传递函数矩阵为 G F (s) = C(sI − A + BFC )−1 BR
2、状态反馈 、 考虑线性定常系统
ɺ x = Ax + Bu y = Cx
当将系统的控制 u 取为状态 x 的线性函数 u = − Kx + Rv 为参考输入， 时，称这种控制形式为状态反馈。式中 v 为参考输入， K 为状态反馈增益 称这种控制形式为状态反馈。 矩阵， 为前馈增益矩阵。 矩阵， R为前馈增益矩阵。
ɺ xc 2 = Ac 2 xc 2 + bc 2 u y = C c 2 xc 2
1 0 0 0 0 1 ⋮ ⋮ Ac 2 = ⋮ 0 0 0 − α 0 − α1 − α 2 C c 2 = [β 0 β1 ⋯ β n −2 ⋯ ⋯ 0 0 0 0 ⋱ ⋮ ，bc 2 = 0 ⋯ 1 ⋮ 1 ⋯ − α n −1
v
R
−
u
B
∫
A
Kห้องสมุดไป่ตู้
x
C
y
闭环系统的状态空间模型为 ɺ x = ( A − BK ) x + BRv
y = Cx
闭环系统的传递函数矩阵为 G K (s) = C(sI − A + BK )−1 BR
ɺ x = ( A − BFC ) x + BRv y = Cx ɺ x = ( A − BK ) x + BRv y = Cx
第四章 线性定常系统的综合
主要内容： 主要内容： 一、状态反馈与输出反馈的基本概念 二、闭环系统的极点配置 三、状态观测器的设计 四、带有观测器的闭环系统的特点
4.1 状态反馈与输出反馈
一、基本概念
指令位置 r(t)
−
−
K1
K
1 Ts + 1
速度
1 s
位置 y(t)
β
指令位置 r(t)
−
K2
1 Ts + 1
0 0; c = [1 0 0] 1
ϕ(s) = s 3 + 18s 2 + 72 s
3、 、
Tc 2 −1
0 0 1 = 0 1 0 0 − 12 1
4、 、
* * k = α 0 − α 0 α1* − α1 α 2 − α 2 Tc−1 2
（1）输出超调量 σ % ≤ 5% ； ） （2）峰值时间 tσ ≤ 0.5s ； ） （3）静态位置误差 e p = 0 ，速度误差 ev = 0.2 。 ）
1 s+6 1 s + 12
1 s
1、 、
σ =e
−ξπ / 1−ξ 2
≤ 5%
tσ = π /ω n 1 − ξ 2 ≤ 0.5
ξ ≥ 0.707 ω n ≥ 9
fβ ( s ) 1− =0 α (s)
输出反馈只能将闭环系统的极点配置在系统根轨迹上， 输出反馈只能将闭环系统的极点配置在系统根轨迹上，而不能做到任意配 置，
ξ = 0.707
ω n = 10
λ1,2 = −7.07 ± j 7.07
λ3 = −100
ϕ * (s) = (s + 100)(s + 7.07 − j 7.07)(s + 7.07 + j 7.07)
= s 3 + 114.1s 2 + 1510 s + 10000
2、 、
1 0 0 A = 0 − 12 1 ; b = 0 0 − 6
二、反馈控制对系统能控性和能观性的影响
1、状态反馈对系统能控性和能观性的影响 、
ɺ x = ( A − BK ) x + BRv y = Cx
rank [λI − A + BK I BR] = rank [λI − A B ] K 0 = rank [λI − A B ] R
det(sI − A) = s n + α n −1s n−1 + ⋯ + α1s + α 0
（4）确定第二能控规范型所对应的状态反馈增益矩阵 k ； ） （5）由 k = k Tc−1 求出原系统的状态反馈增益矩阵 k ； ） 2 （6）输入变换矩阵可由综合指标中对系统静态误差的具体要求确定。 ）输入变换矩阵可由综合指标中对系统静态误差的具体要求确定。
* * ϕ * (s) = s n + α n −1s n−1 + ⋯ + α1* s + α 0
ki = α i* − α i
* * k = α 0 − α 0 α1* − α1 ⋯ α n −1 − α n −1
[
]
由上可知，系统状态完全能控是可实现极点任意配置的充分条件。结合第 由上可知，系统状态完全能控是可实现极点任意配置的充分条件。 一节的讨论可知，系统通过状态反馈可实现极点任意配置的充要条件是系 一节的讨论可知， 统状态完全能控。 统状态完全能控。
四、基于输出反馈的极点配置
ɺ x = Ax + bu y = cx
A ∈ R n× n , b ∈ R n×1 , c ∈ R 1×n
u = v − fy
G f ( s ) = c( sI − A + bfc ) −1 b
α f ( s ) = det( sI − A + bfc )
= det( sI − A) det[ I − ( sI − A)−1 bfc ] = det( sI − A) det[ I − fc( sI − A) −1 b]
0 0; c = [1 0 0] 1
ϕ(s) = s 3 + 18s 2 + 72 s
3、 、
Tc 2 −1
0 0 1 = 0 1 0 0 − 12 1
4、 、
* * k = α 0 − α 0 α1* − α1 α 2 − α 2 Tc−1 2
二、极点配置定理
线性定常系统
ɺ x = Ax + Bu y = Cx
通过状态反馈可以 任意配置闭环系统极点的充分必要条件是系统状态完 全能控。 全能控。
三、闭环极点配置方法
方法一、 方法一、通过第二能控规范型求解 （1）判断系统的完全能控性，确定能否完成预定的闭环极点配置综合 ）判断系统的完全能控性， 目标； 目标； （2）由给定的动态指标或闭环极点要求确定希望闭环特征多项式的 个 ）由给定的动态指标或闭环极点要求确定希望闭环特征多项式的n个 系数 α i* ； （3）确定开环系统的特征多项式系数 ）
[
]
0 0 1 = [10000 − 0 1510 − 72 114.1 − 18] 0 1 0 0 − 12 1 = [10000 284.8 96.1]
5、 、
R GL (s) = * ϕ (s)
K = lim GL (s) =
s →0
R
α
* 0
=1
* R = α 0 = 10000
β n −1 ]
v
R
∫
− α n −1
xn
∫
xn −1
⋯
∫
x2
∫
x1
− k n −1
− α n−2
− kn−2
− α1
− k1
− α0
− k0
0 1 0 0 ⋮ ⋮ Ac 2 − bc 2 k = 0 0 − α 0 − k0 − α1 − k1 C c 2 = [β 0 β1 ⋯ β n −2 β n −1 ]
λ3 = −100
ϕ * (s) = (s + 100)(s + 7.07 − j 7.07)(s + 7.07 + j 7.07)
= s 3 + 114.1s 2 + 1510s + 10000
2、 、
1 0 0 A = 0 − 12 1 ; b = 0 0 − 6
比较两种控制律可以看出， 比较两种控制律可以看出，当满足等式
K = FC
G K (s) = C(sI − A + BK )−1 BR G F (s) = C(sI − A + BFC )−1 BR
时，状态反馈和输出反馈的控制效果是一样的。凡是输出控制所能达到的 状态反馈和输出反馈的控制效果是一样的。 控制效果，状态反馈都可以达到同样的控制效果，反过来则不一定。这说 控制效果，状态反馈都可以达到同样的控制效果，反过来则不一定。 明状态反馈有可能获得比输出反馈更多的控制效果，其中有的控制效果可 明状态反馈有可能获得比输出反馈更多的控制效果， 能更好。 能更好。
状态反馈不改变系统的能控性，但有可能改变系统的能观性。 状态反馈不改变系统的能控性，但有可能改变系统的能观性。 状态反馈改变不了系统的不能控模态，至多能改变它的能控模态。 状态反馈改变不了系统的不能控模态，至多能改变它的能控模态。
4.2 闭环系统的极点配置
一、极点配置问题
1、极点配置问题就是通过对状态反馈增益矩阵的选择，使闭环系统的 、极点配置问题就是通过对状态反馈增益矩阵的选择， 极点配置在所希望的位置上，从而达到一定性能指标的要求。 极点配置在所希望的位置上，从而达到一定性能指标的要求。 2、希望极点组的选取 、 维系统， 个希望的极点； （1）对n维系统，应当指定而且只应当指定 个希望的极点； ） 维系统 应当指定而且只应当指定n个希望的极点 （2）希望极点可以是实数，也可以是按共轭对出现的复数； ）希望极点可以是实数，也可以是按共轭对出现的复数； （3）确定希望极点的位置，需要考虑极点和零点在复数平面上的分 ）确定希望极点的位置， 从工程实际出发加以解决。 布，从工程实际出发加以解决。 3、本节要解决的问题 、 （1）在理论上解决什么条件下可以做到闭环极点的任意配置； ）在理论上解决什么条件下可以做到闭环极点的任意配置； （2）在方法上解决如何综合状态反馈增益矩阵使闭环极点配置在希 ） 望的位置上。 望的位置上。