2020年广东深圳文科高三二模数学试卷注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。

一、标题A.B.C.D.1.设集合，，则（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）．A.或B.或C.D.3.已知点和在直线的两侧，则实数的取值范围是（ ）．4.已知是上的减函数，那么实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.，，5.一个容量为的样本，其数据分组与各组的频数如下表：组别频数则样本数据落在上的频率为（ ）．A.B.C.D.6.在中，是边上一点，，，，则 （ ）．A.B.C.D.7.（ ）．A.B.C.D.8.已知抛物线，过点作倾斜角为 的直线，若与抛物线交于、两点，弦的中垂线交轴于点，则线段的长为（ ）．A.B.C.D.9.如图，在四面体中，截面是正方形，现有下列结论：①，②截面，③，④异面直线与所成的角为，其中所有正确结论的编号是（ ）．A.①③B.①②④C.③④D.②③④10.已知函数（）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ）．A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上单调递减D.函数在上有个零点，11.已知函数是上的奇函数，函数是上的偶函数，且，当时，，则的值为（ ）．A.B.C.D.12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，点是双曲线在第一象限内的点，直线、分别交双曲线的左右支于另一点、，若，且，则双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.13.已知轴为曲线的切线，则的值为 ．14.已知为数列的前项和，若，则 ．15.在中，若，则的值为 ．16.已知球的半径为，则它的外切圆锥体积的最小值为 ．（1）（2）17.已知数列的首项，．证明：数列是等比数列．数列的前项和．（1）（2）（3）18.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每吨亏损万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了吨该商品．现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．需求量频率组距将表示为的函数，求出该函数表达式．根据直方图估计利润不少于万元的概率．根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量的平均数与中位数的大小（精确到）．19.如图所示，四棱锥中，平面．，，，为的中点．（1）（2）求证：平面．求点到平面的距离．（1）（2）20.已知椭圆：，、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，求的最大值，并证明你的结论．若、分别是椭圆长轴的左、右端点，设直线的斜率为，且，求直线的斜率的取值范围．（1）（2）21.已知函数（为自然对数的底数），其中．在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．若函数的两个极值点为：，，证明：．（1）（2）22.在平面直角坐标系中，直线（为参数，），曲线（为参数），与相切于点，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．求的极坐标方程及点的极坐标．已知直线与圆交于，两点，记的面积为，的面积为，求的值．（1）（2）23.已知．当时，解不等式．若存在实数，使得关于的不等式有实数解，求实数的取值范围．2020年广东深圳文科高三二模数学试卷答案注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。

一、标题1.设集合，，则（ ）．A. B. C. D.【答案】C解析:，由，，∴，∴，∴，故选．2.棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C解析:，，，∴复数在复平面内所对应的点位于第三象限．故选．A.或B.或C.D.3.已知点和在直线的两侧，则实数的取值范围是（ ）．【答案】D解析:∵、在两侧，∴或，∴（矛盾），．故选．A. B. C. D.4.已知是上的减函数，那么实数的取值范围是（ ）．【答案】C解析:∵，是上的减函数，∴，，，，，∴，即．故选．A. B. C. D.5.一个容量为的样本，其数据分组与各组的频数如下表：组别频数则样本数据落在上的频率为（ ）．【答案】B解析:由表知：在上有，而总容量为，∴．故选．A. B. C. D.6.在中，是边上一点，，，，则 （ ）．【答案】D解析:∵，又∵，∴．故选．A. B. C. D.7.（ ）．【答案】B解析:．A. B. C. D.8.已知抛物线，过点作倾斜角为 的直线，若与抛物线交于、两点，弦的中垂线交轴于点，则线段的长为（ ）．【答案】A解析:∵倾斜角为，∴，，，∴，，设，∴，设中点为，∴，，∴中垂线方程为，，∴，，故正确；故选．A.①③B.①②④C.③④D.②③④9.如图，在四面体中，截面是正方形，现有下列结论：①，②截面，③，④异面直线与所成的角为，其中所有正确结论的编号是（ ）．【答案】B 解析:对于①：∵ 截面是为正方形，∴ ，平面，平面，∴ 平面，又平面，平面平面，∴ ，又，而，平面，平面，∴ 平面，平面，平面平面，∴ ，∴ ，①正确，对于②：由①，而平面，平面，∴ 平面，②正确，对于③：不知，，,是否为，，，，中点，故得不到，③错，对于④：由①，∴ 与所成角为与所成角，即，∴ ④正确，综上：①②④选．10.已知函数（）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ）．A.函数的图象关于直线对称 B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上单调递减 D.函数在上有个零点【答案】C，A. B. C. D.11.已知函数是上的奇函数，函数是上的偶函数，且，当时，，则的值为（ ）．【答案】D解析:∵是上奇函数，∴．又，∴．又是上偶函数，∴，∴，，∴．故周期为，，选．12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，点是双曲线在第一象限内的点，直线、分别交双曲线的左右支于另一点、，若，且，则双曲线的离心率为（ ）．A. B. C. D.【答案】B解析:∵ ，而，∴ ，，又∵ 四边形为平行四边形，，∴ ，在中，由余弦定理得：，∴ ，，，故选：．13.已知轴为曲线的切线，则的值为 ．【答案】解析:∵轴为切线，∴，∴，且切线方程为，∴，联立解得 ，．14.已知为数列的前项和，若，则 ．【答案】解析:∵，∴时，，∴，，又时，，∴，∴，∴．15.在中，若，则的值为 ．【答案】解析:在中，若，则，．16.已知球的半径为，则它的外切圆锥体积的最小值为 ．【答案】解析:设圆锥底面半径为，圆锥高为，显然有：，又，∴，∴，，，令，∴，∴或，又，∴，，故时，体积取最小值为．故答案为：．（1）（2）17.已知数列的首项，．证明：数列是等比数列．数列的前项和．【答案】（1）（2）证明见解析．．解析:（1）（2）∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．由（）知，即，∴，设①，则②，由①②得，，∴，又，∴数列的前项和．18.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每吨亏损万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了吨该商品．现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（1）（2）（3）（1）（2）（3）需求量频率组距将表示为的函数，求出该函数表达式．根据直方图估计利润不少于万元的概率．根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量的平均数与中位数的大小（精确到）．【答案】（1）（2）（3）．．的平均数：吨；的中位数：吨．解析:当时，；当时，，所以．根据频率分布直方图及(1)知，当时，由，得，当时，由，所以，利润不少于万元当且仅当，于是由频率分布直方图可知市场需求量的频率为，所以下一个销售季度内的利润不少于万元的概率的估计值为．估计一个销售季度内市场需求量的平均数为（吨）；由频率分布直方图易知，由于时，对应的频率为，而时，对应的频率为，因此一个销售季度内市场需求量的中位数应属于区间，于是估计中位数应为（吨）．（1）（2）19.（1）如图所示，四棱锥中，平面．，，，为的中点．求证：平面．求点到平面的距离．【答案】（1）（2）证明见解析．点到平面的距离为．解析:取的中点，连接和：∵为的中点，∴且，∵，，，∴且，∴且，（2）∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．∵，为的中点，∴，∵平面，∴，∵，∴，∴平面，∴，∴平面，由（）可知，∴平面，∵平面，∴平面平面，作交于，则平面，在直角三角形中，有，∴，即点到平面的距离为．（1）（2）20.已知椭圆：，、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，求的最大值，并证明你的结论．若、分别是椭圆长轴的左、右端点，设直线的斜率为，且，求直线的斜率的取值范围．【答案】（1）（2）最大值为．证明见解析．直线的斜率的取值范围为．（1）（2）解析:由椭圆定义可知，在中，由余弦定理，可得，∵，∴的最大值为，此时，即点为椭圆的上顶点时，取最大值，其最大值为，根据椭圆的对称性，当点为椭圆的短轴的顶点时，取最大值，其最大值为．设直线的斜率为，，则，，∴，又 ，∴．∴，∵，∴，故直线的斜率的取值范围为．（1）（2）21.已知函数（为自然对数的底数），其中．在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．若函数的两个极值点为：，，证明：．【答案】（1）函数在区间上的有最小值，其最小值为：．（1）（2）（2）证明见解析．解析:由条件可知函数在上有意义，，令，得：，，因为，所以，，所以当时，，当上，所以在上是增函数，在是减函数，由可知，当时，，当时，，当时，，因为，所以，又函数在上是减函数，且，所以函数在区间上的有最小值，其最小值为：．由（）可知，当时函数存在两个极值点，，且，是方程的两根，所以，且，，，所以，，所以，又，由（）可知，设，，则，故要证：成立，只要证：成立，下面证明不等式成立，构造函数，（），则，所以在上单调递增，，即成立，令，即得不等式，从而成立．（1）（2）22.（1）在平面直角坐标系中，直线（为参数，），曲线（为参数），与相切于点，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．求的极坐标方程及点的极坐标．已知直线与圆 交于，两点，记的面积为，的面积为，求 的值．【答案】（1）（2），．．解析:方法一：由题意可知，的直角坐标方程为，将代入得的极坐标方程为，又的参数方程为（为参数，），得的极坐标方程为，将代入得，（2）则，又，解得，此时，所以点的极坐标为．方法二：由题意可知，的直角坐标为，将代入，得的极坐标方程为，因为与相切于点，所以在中，有，，所以，由极坐标的几何意义，可得．由的极坐标方程为，可得的直角坐标方程为，所以圆心，设，将代入，得，所以，，又因为，，所以．（1）（2）23.（1）已知．当时，解不等式．若存在实数，使得关于的不等式有实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）．．解析:方法一：当时，即解不等式，①当时，原不等式等价于，所以，所以不等式的解集为空集；（2）②当时，原不等式等价于，解得，综上所述，不等式的解集为．方法二：①当时，不等式显然成立；②当时，原不等式等价于，即，解得，综上所述，不等式的解集为．因为，显然等号可取，又，故原问题等价关于的不等式在上有解，又因为，当且仅当时取等号，所以，即．。