利用圆的性质类比得出求的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
归纳推理的定义:
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该
类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或
者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归
纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、
由个别到一般的推理。
例如： 金受热后体积膨胀， 银受热后体积膨胀， 铜受热后体积膨胀， 铁受热后体积膨胀， 金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们 受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分 子彼此距离加大，从而导致体积膨胀 所以，所有的金属受热后都体积膨胀。
2 1+3+„+(2n－1)=n ．
又如：
13=1=12 ， 13+23=9=32， 13+23+33=36=62， 13+23+33+43=100=102， „„
an 例2:已知数列{an}的第1项a1=1且an +1 = 1 + an (n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.
请同学们进行证明
b
Ａ
E
F
2 2 2 2 S =S +S +S 猜想: △ABC △AOB △AOC △BOC
例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测; 把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3
小岛
半岛
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30， 10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17． 偶数＝奇质数＋奇质数
6＝3+3， 8＝3+5， ⑴ 一个偶数（不小于6）总可 10＝5+5， 以表示成两个奇质数之和； 12＝5+7， 14＝7+7， ⑵ 没有发现反例 。 16＝5+11， …， 1 000＝29+971，…
2an an1 2 an
计算an=n2-n+11的前5项，你能归纳出什么 结论？
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 验证猜想。 观察 猜想 验证
归纳推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、 联想，再进行归纳，然后提出猜想的推理，称为合情 推理。 是指“合乎情理”的推理。数学研究中，得到一个新 结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论； 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供 证明的思路和方向。
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15
2
1
3
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征， 从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
本节知识结构
推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
（部分到整体、 特殊到一般）
类比 三段论 （特殊到特殊） （一般到特殊）
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
在陈景润之前，关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和( 简称“s + t ”问题)之进展情况如下: 1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。 1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。 1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”。 1937年，意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366 ”。 1938年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。 1940年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。 1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”，其中c是一很大的自然 数 。 1956年，中国的王元证明了 “3 + 4 ”。 1957年，中国的王元先後证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”， 中 国的王元证明了“1 + 4 ”。 1965年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。 1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。 最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测。
• 类比推理举例
例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间 中四面体性质的猜想．
例3 类比平面内直三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3 和1个“斜面” S
内容结构
“推理与证明”是数学的基本思维过程， 也是人们学习和生活中经常使用的思维方 式．推理一般包括合情推理和演绎推理．在本 章中，我们将通过对已学知识的回顾，进一步 体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系 与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明 的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、 综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如 反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活 中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture) 世界近代三大数学难题之 一。哥德巴赫是德国一位中学 教师，也是一位著名的数学家， 生于1690年，1725年当选为 俄国彼得堡科学院院士。 1742年，哥德巴赫在教学中 发现，每个不小于6的偶数都 是两个素数（只能被和它本身 整除的数）之和。如6＝3＋3， 12＝5＋7等等。
ab=ba (ab)c=a(bc)
乘法的逆运算是除法,使得 方程ax=1有唯一解x=1/a
a+0=a
a〃1=a
你认为平面几何中的哪一类图形可以作为 四面体的类比对象?
P
Ｂ
a
Ｃ
c
D
Ａ
b
E
F
例1：类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体性质的猜想．
P
Ｂ
c2=a2+b2
c
a
Ｃ
s1 D s2 s3
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提 出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。 通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常 能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提 供证明的思路和方向
练习:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.
凸多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 4 5 5 4 5 6 6 8 9
正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔
凸多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 6 8 9 10 12 12
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture) 目前最佳的结果是中国数 学家陈景润於1966年证明的， 称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) ? “任何充份大的 偶数都是一个质数与一个自 然数之和，而後者仅仅是两 个质数的乘积。” 通常都简 称这个结果为大偶数可表示 为 “1 + 2 ”的形式。 最终会由谁攻克 “1 + 1 ” 这个难题呢？
例1：类比实数的加法和乘法，列出它们相 似的运算性质。
类比角度 运算结果 运算律 （交换律和 结合律） 逆运算 单位元 实数的加法 实数的乘法
若a，b∈R，则a+b ∈R 若a，b∈R，则ab ∈R a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)
加法的逆运算是减法,使得 方程a+x=0有唯一解x=-a
2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇.
“火星上是否有生命？”
类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对
象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这
些特征的推理称为类比推理（简称类比）． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．