（2010福建）（7分）(3)选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－a|.
①若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；
②在①的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．答案：法一：①由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，
所以
31,
35,
a
a
=
⎧
⎨
+=
⎩
－－
解得a＝2.
②当a＝2时，f(x)＝|x－2|. 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，
于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝
21,3, 5,32, 21, 2.
x x
x
x x
<
⎧
⎪
≤≤
⎨
⎪+>
⎩
－－－
－
所以当x＜－3时，g(x)＞5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x＞2时，g(x)＞5.
综上可得，g(x)的最小值为5.
从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，
则m的取值范围为(－∞，5]．
法二：①同解法一．
②当a＝2时，f(x)＝|x－2|，
设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．
由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)得，g(x)的最小值为5.
从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．
（2010湖北）15．(理)设a＞0，b＞0，称2ab
a b
+
为a，b的调和平均数．如图，C为线
段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D.连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段______的长度是a，b的几何平均数，线段______的长度是a，b的调和平均数．
答案：CD DE
解析：∵△ACD∽△DCB，
∴AC
CD
＝
CD
CB
，CD
∵Rt△ECD∽Rt△COD，
∴DE＝
2
CD
OD
＝
2
ab
a b
+
＝
2ab
a b
+
.
（2010江西）3．(理)不等式|2x x
-＞2x x -的解集是( ) A ．(0,2) B ．(－∞，0)
C ．(2，＋∞)
D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案：A 2x x
-＞2x x -，∴2x x -＜0.∴0＜x ＜2. (2010全国卷新课标)24．（10分）选修4－5：不等式选讲
设函数f(x)＝|2x －4|＋1.
(1)画出函数y ＝f(x)的图像；
(2)若不等式f(x)≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．
答案： (1)由于f (x )＝⎧⎨≥⎩－2x+5,x<2,2x －3,x 2,
则函数y ＝f (x )的图像如图所示．
(2)由函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图像可知，当且仅当a ≥12
或a ＜－2时，函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图像有交点．故不等式f (x )≤ax 的解集非空时，a 的取值范围为(－∞，－
2)∪[12
，＋∞)． （2010山东）14．(理)若对任意x ＞0，
231x x x ++≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 答案： [15
，＋∞) 解析：法一：当x ＞0时，211313x x x x x
=++++ ∵x ＋1x
≥2(当且仅当x ＝1时取等号)
∴x＋1
x
＋3≥5
∴
1
1
3
x
x
++
≤
1
5
∴a≥1 5 .
法二：原式 ax2＋(3a－1)x＋a≥0对任意x＞0恒成立．显然a≤0时不恒成立．
当a＞0时，Δ≤0或
31
2
a
a
a
⎧
<
⎪
⎨
⎪>
⎩
－
－
，得a≥
1
5
.
（2010陕西）15.A．(不等式选做题)不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为__________．
答案：{x|x≥1}B.16
9
C．(－1,1)，(1,1)
解析：A.x≥2时，|x＋3|－|x－2|＝5，
－3≤x＜2时，|x＋3|－|x－2|＝2x＋1≥3 x≥1，x＜－3时，|x＋3|－|x－2|＝－5，
因此综上有|x＋3|－|x－2|≥3的解集为{x|x≥1}．
（210四川）12．(理)设a＞b＞c＞0，则2a2＋1
ab
＋
1
()
a a b
-
－10ac＋25c2的最小值
是( )
A．2 B．4
C．
．5
答案：B 因为a＞b＞c＞0,2a2＋1
ab
＋
1
()
a a b
-
－10ac＋25c2＝a2＋
()
a b b
ab a b
-+
-
＋(a－
5c)2＝a2＋
1
()
b a b
-
＋(a－5c)2≥a2＋
2
1
2
b a b
+-
⎛⎫
⎪
⎝⎭
＋(a－5c)2＝a2＋
2
4
a
＋(a－5c)2≥4＋
(a－5c)2≥4.当且仅当a
2b＝5c时取等号．
（2010浙江）23．（10分） (1)设正实数a，b，c，满足abc≥1.求
222
222 a b c
a b b c c a
++
+++
的最小值；
(2)已知m∈R，解关于x的不等式：1－x≤|x－m|≤1＋x.
答案：解：(1)因为(
222
222
a b c
a b b c c a
++
+++
)[(a＋2b)＋(b＋2c)＋(c＋2a)]≥(a＋b。