八年级上册全等三角形专题练习（解析版）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将△AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上．则线段CP 长的取值范围是____.【答案】15CP ≤≤【解析】【分析】根据点E 、F 在边AB 、AC 上，可知当点E 与点B 重合时，CP 有最小值，当点F 与点C 重合时CP 有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得.【详解】如图，当点E 与点B 重合时，CP 的值最小，此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，如图，当点F 与点C 重合时，CP 的值最大，此时CP=AC ，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP 的最大值为5， 所以线段CP 长的取值范围是1≤CP≤5，故答案为1≤CP≤5.【点睛】本题考查了折叠问题，能根据点E、F分别在线段AB、AC上，点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大（小）值是解题的关键.2．如图，已知等边ABC∆的边长为8，E是中线AD上一点，以CE为一边在CE下方作等边CEF∆，连接BF并延长至点,N M为BN上一点，且5CM CN==，则MN的长为_________．【答案】6【解析】【分析】作CG⊥MN于G，证△ACE≌△BCF，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出124CG BC==，在Rt△CMG中，由勾股定理求出MG，即可得到MN的长．【详解】解：如图示：作CG⊥MN于G，∵△ABC和△CEF是等边三角形，∴AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°，∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE，即∠ACE=∠BCF，在△ACE与△BCF中AC BCACE BCFCE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△BCF（SAS），又∵AD是三角形△ABC的中线∴∠CBF=∠CAE=30°，∴124CG BC==，在Rt△CMG中，2222543MG CM CG=-=-，∴MN=2MG=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF ≌△BCF ．3．在ABC ∆中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=︒，则BAC ∠=______°.【答案】80或100【解析】【分析】根据题意，点D 和点E 的位置不确定，需分析谁靠近B 点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得；（2）图2中，点D 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有3,4B C ∠=∠∠=∠，由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得.【详解】由题意可分如下两种情况：（1）图1中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠（等边对等角），两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠，又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒，由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒，80BAC ∴∠=︒；（2）图2中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，3,4B C ∴∠=∠∠=∠（等边对等角），两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠，又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠，3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒，20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒，100BAC ∴∠=︒.故答案为80或100.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.4．如图，△ABC 是等边三角形，高AD 、BE 相交于点H ，BC=43，在BE 上截取BG=2，以GE 为边作等边三角形GEF ，则△ABH 与△GEF 重叠（阴影）部分的面积为_____．【答案】53 【解析】 试题分析：如图所示，由△ABC 是等边三角形，BC=43，得到AD=BE=32BC=6，∠ABG=∠HBD=30°，由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°，由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°，由BG=2，得EG=BE ﹣BG=6﹣2=4．由GE 为边作等边三角形GEF ，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE 是等边三角形；S △ABC =12AC•BE=12AC×EH×3EH=13BE=13×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE ﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG ﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，IN=3．S 五边形NIGHM =S △EFG ﹣S △EMH ﹣S △FIN =223314231442⨯-⨯-⨯⨯=53，故答案为53．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．5．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm 时，AOB ∠的度数是______度．【答案】30【解析】【分析】根据轴对称得出OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP，12POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，求出△COD是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：如图示：连接OC，OD，∵点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，∴OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，∵OP=5cm，∴12COA AOP COP，12POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，∵△PEF的周长是5cm，∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm，∴CD=OD=OD=5cm，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴11122230 AOB AOP BOP COP DOP COD，故答案为：30．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．6．如图，在第一个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一D，延长CA2到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D，在边A2B上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第三个△A2A3E，…按此做法继续下去，第n个等腰三角形的底角的度数是_____度．【答案】1752n - 【解析】【分析】先根据∠B ＝30°，AB ＝A 1B 求出∠BA 1C 的度数，在由A 1A 2＝A 1D 根据内角和外角的关系求出∠DA 2A 1的度数，同理求出∠EA 3A 2＝754，∠FA 4A 3＝758,即可得到第n 个等腰三角形的底角的度数＝1752n ． 【详解】∵在△ABA 1中，∠B ＝30°，AB ＝A 1B ，∴∠BA 1C ＝1802B ︒-∠＝75°， ∵A 1A 2＝A 1D ，∠BA 1C 是△A 1A 2D 的外角， ∴∠DA 2A 1＝12∠BA 1C ＝12×75°＝37.5°； 同理可得，∠EA 3A 2＝754，∠FA 4A 3＝758, ∴第n 个等腰三角形的底角的度数＝1752n ． 故答案为1752n -． 【点睛】 此题考查等腰三角形的性质，利用等边对等角求出等腰三角形底角的度数.7．已知如图，每个小正方形的边长都是1231,,, ....A A A 都在格点上，123345567,, ....A A A A A A A A A 都是斜边在x 轴上，且斜边长分别为2,4,6,.的等腰直角三角形.若123A A A △的三个顶点坐标为()()()1232,0,1,1,0,0A A A -,则依图中规律,则19A 的坐标为 ___________【答案】()8,0-【解析】【分析】根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A 19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA 19,写出坐标即可.【详解】解：设到第n 个三角形顶点的个数为y则y=2n+1,当2n+1=19时,n=9,∴A 19是第9个三角形的最后一个顶点,∵等腰直角三角形的斜边长分别为2,4,6....∴第9个等腰直角三角形的斜边长为2×9=18,由图可知,第奇数个三角形在x 轴下方,关于直线x=1对称,∴OA 19=9-1=8,∴19A 的坐标为()8,0-故答案是()8,0-【点睛】本题考查点的坐标变化规律,根据顶点个数与三角形的关系，判断出点A 19所在的三角形是解题关键8．如图，过边长为1的等边三角形ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于点E ，Q 为BC 延长线上一点，当AP ＝CQ 时，PQ 交AC 于D ，则DE 的长为______．【答案】12【解析】过点Q作AD的延长线的垂线于点F.因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠ACB=60°.因为∠ACB=∠QCF，所以∠QCF=60°.因为PE⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP=∠CFQ=90°，又因为AP=CQ，所以△AEP≌△CFQ，所以AE=CF，PE=QC.同理可证，△DEP≌△DFQ，所以DE=DF.所以AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，所以DE=12AC=12.故答案为1 2 .9．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=_____s时，△POQ是等腰三角形.【答案】103或10【解析】【分析】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.【详解】当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示当点P在AO上时，∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t当PO=QO时，102t t-=解得103 t=当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图2所示当点P在BO上时∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t当PO=QO时，210t t-=解得10t=故答案为：103或10【点睛】本题考查等腰三角形的性质及动点问题，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.10．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°，在AB、AD上分别找一点F、E，连接CE、EF、CF，当△CEF的周长最小时，则∠ECF的度数为______．【答案】60°【解析】【分析】此题需分三步：第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置（用对称即可）；第二步是证明此时的△CEF的周长最小（利用两点之间线段最短）；第三步是利用对称性求此时∠ECF的值.【详解】分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C1、C2，连接C1C2，分别交AD，AB于点E、F再连接CE、CF此时△CEF的周长最小，理由如下：在AD、AB上任意取E1、F1两点根据对称性：∴CE=C1E，CE1=C1E1，CF=C2F，CF1=C2F1∴△CEF的周长= CE＋EF＋CF= C1E＋EF＋C2F= C1C2而△CE1F1的周长= CE1＋E1F1＋CF1= C1E1＋E1F1＋C2F1根据两点之间线段最短，故C1E1＋E1F1＋C2F1＞C1C2∴△CEF的周长的最小为：C1C2.∵∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°∴∠DCB=360°－∠A－∠ADC－∠ABC=120°∴∠C C1C2＋∠C C2C1=180°－∠DCB=60°根据对称性：∠C C1C2=∠E CD，∠C C2C1=∠F CB∴∠E CD＋∠F CB=∠C C1C2＋∠C C2C1=60°∴∠ECF =∠DCB －（∠E CD ＋∠F CB ）=60°故答案为：60°【点睛】此题考查的是周长最小值的作图方法（对称点），及周长最小值的证法：两点之间线段最短，掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（ ）．A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP【答案】D【解析】【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．【详解】解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥∴PA PB =，选项A 正确；在△AOP 和△BOP 中，PO PO PA PB =⎧⎨=⎩， ∴AOP BOP ≅∴APO BPO ∠=∠，OA=OB ，选项B ，C 正确；由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，AB 不一定垂直平分OP ，选项D 错误． 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．12．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【答案】C【解析】【分析】 根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．13．如图，ABC，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，有以下四个结论：①BE CD=；②FA平分EFC∠；③FE FD=；④FE FC FA+=．其中一定正确的结论有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的性质证出△BAE≌△DAC，可得BE=CD，从而得出①正确；过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，由△BAE≌△DAC得出∠BEA=∠ACD，由等角的补角相等得出∠AEM=∠CAN，由AAS可证△AME≌△ANC，得到AM=AN，由角平分线的判定定理得到FA平分∠EFC，从而得出②正确；在FA上截取FG，使FG=FE，根据全等三角形的判定与性质得出△AGE≌△CFE，可得AG=CF，即可求得AF=CF+EF，从而得出④正确；根据CF+EF=AF，CF+DF=CD，得出CD≠AF，从而得出FE≠FD，即可得出③错误．【详解】∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴∠BAD=∠EAC=60°，AE=AC=EC．∵∠BAE+∠DAE=60°，∠CAD+∠DAE=60°，∴∠BAE=∠DAC，在△BAE和△DAC中，∵AB ADBAE DACAE AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△DAC（SAS），∴BE=CD，①正确；过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，如图1．∵△BAE≌△DAC，∴∠BEA=∠ACD，∴∠AEM=∠ACN．∵AM⊥BF，AN⊥DC，∴∠AME=∠ANC．在△AME和△ANC中，∵∠AEM=∠CAN，∠AME=∠ANC，AE=AC，∴△AME≌△ANC，∴AM=AN．∵AM⊥BF，AN⊥DC，AM=AN，FA平分∠EFC，②正确；在FA上截取FG，使FG=FE，如图2．∵∠BEA=∠ACD，∠BEA+∠AEF=180°，∴∠AEF+∠ACD=180°，∴∠EAC+∠EFC=180°．∵∠EAC=60°，∴∠EFC=120°．∵FA平分∠EFC，∴∠EFA=∠CFA=60°．∵EF=FG，∠EFA=60°，∴△EFG是等边三角形，∴EF=EG．∵∠AEG+∠CEG=60°，∠CEG+∠CEF=60°，∴∠AEG=∠CEF，在△AGE和△CFE中，∵AE ACAEG CEFEG EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGE≌△CFE（SAS），∴AG=CF．∵AF=AG+FG，∴AF=CF+EF，④正确；∵CF+EF=AF，CF+DF=CD，CD≠AF，∴FE≠FD，③错误，∴正确的结论有3个．故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作辅助线是解答本题的关键．14．如图，120AOB∠=︒，OP平分AOB∠，且2OP=，若点M N、分别在OA OB、上，且PMN∆为等边三角形，则满足上述条件的PMN∆有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【答案】D【解析】【分析】根据题意在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，只要证明△PEM≌△PON即可反推出△PMN是等边三角形满足条件，以此进行分析即可得出结论.【详解】解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．∵OP 平分∠AOB ，120AOB ∠=︒，∴∠EOP=∠POF=60°，∵OE=OF=OP ，∴△OPE ，△OPF 是等边三角形，∴EP=OP ，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∴∠EPM=∠OPN ，在△PEM 和△PON 中，PEM PON PE POEPM OPN ∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨＝＝＝ ∴△PEM ≌△PON （ASA ）．∴PM=PN ，∵∠MPN=60°，∴△PNM 是等边三角形，∴只要∠MPN=60°，△PMN 就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选：D ．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确添加辅助线并构造全等三角形.15．如图，已知一条线段的长度为a ，作边长为a 的等边三角形的方法是：①画射线AM ；②连结AC 、BC ；③分别以A 、B 为圆心，以a 的长为半径作圆弧，两弧交于点C ；④在射线AM 上截取AB ＝a ；以上画法正确的顺序是（）A ．①②③④B ．①④③②C ．①④②③D ．②①④③【答案】B【解析】【分析】根据尺规作等边三角形的过程逐项判断即可解答.【详解】解：已知一条线段的长度为a ，作边长为a 的等边三角形的方法是：①画射线AM ；②在射线AM 上截取AB ＝a ；③分别以A 、B 为圆心，以a 的长为半径作圆弧，两弧交于点C ；④连结AC 、BC ．△ABC 即为所求作的三角形．故选答案为B ．【点睛】本题考查了尺规作图和等边三角形的性质，解决本题的关键是理解等边三角形的作图过程.16．如图，在ABC ∆中，120BAC ︒∠=，点,E F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，边BC 分别与DE 、DF 相交于点,H G ，且,DE AB DF AC ⊥⊥，连接AD 、AG 、AH ，现在下列四个结论：①60EDF ︒∠=，②AD 平分GAH ∠，③B ADF ∠=∠，④GD GH =.则其中正确的结论有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】利用,DE AB DF AC ⊥⊥及四边形的内角和即可得到①正确；；根据三角形内角和与线段的垂直平分线性质得到∠BAH+∠GAC=60︒，无条件证明∠GAD=∠HAD,故②错误；由等量代换得B ADF ∠≠∠，故③错误；利用三角形的内角和与对顶角相等得到GD GH ≠，故④错误.【详解】∵,DE AB DF AC ⊥⊥，∴∠DEA=∠DFA=90︒，∵120BAC ︒∠=,∴∠EDF=360︒-∠DEA-∠DFA-∠BAC=60︒，故①正确；∵120BAC ︒∠=，∴∠B+∠C=60︒，∵点,E F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，,DE AB DF AC ⊥⊥，∴BH=AH ，AG=CG ，∴∠BAH=∠B ，∠GAC=∠C ，∴∠BAH+∠GAC=60︒，∵无条件证明∠GAD=∠HAD,∴AD 不一定平分GAH ∠，故②错误；∵∠ADF+∠DAF=90︒，∠B=∠BAH,90BAH DAF ∠+∠≠,∴B ADF ∠≠∠，故③错误；∵90B BHE ∠+∠=，30B ∠≠ ，∴ 60BHE ∠≠，∴60DHG ∠≠，∴DHG HDG ∠≠∠,∴GD GH ≠，故④错误，故选：A.【点睛】此题考查线段的垂直平分线的性质，利用三角形的内角和，四边形的内角和求角度，利用对顶角相等，等角对等边推导边的关系.17．如图，在四边形ABCD 中，AB AC =，60ABD ∠=，75ADB ∠=，30BDC ∠=，则DBC ∠=（ ）°A ．15B ．18C ．20D ．25【答案】A【解析】【分析】 延长BD 到M 使得DM =DC ，由△ADM ≌△ADC ，得AM =AC =AB ，得△AMB 是等边三角形，得∠ACD =∠M =60°，再求出∠BAO 即可解决问题.【详解】如图，延长BD 到M 使得DM =DC.∵∠ADB =75°，∴∠ADM =180°﹣∠ADB =105°.∵∠ADB =75°，∠BDC =30°，∴∠ADC =∠ADB +∠BDC =105°，∴∠ADM =∠ADC.在△ADM 和△ADC 中，∵AD ADADM ADCDM DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADM≌△ADC，∴AM=AC.∵AC=AB，∴AM=AC=AB，∠ABC=∠ACB.∵∠ABD=60°，∴△AMB是等边三角形，∴∠M=∠DCA=60°.∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60°，∴∠BAO=∠ODC=30°.∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∴30°+2(60°+∠CBD)=180°，∴∠CBD=15°.故选：A.【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形，题目有一定难度.18．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）A．4 B．245C．5 D．6【答案】C【解析】试题解析：如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，∵AC=10，S△ABC=25，∴12×10•BE=25，解得BE=5，∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N=BE=5，即BM+MN的最小值是5．故选C．19．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结论:①BP＝CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第43秒或第83秒时，△PBQ为直角三角形，正确的有几个 ( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】①等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ．②根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；③由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠CMQ=60°；④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此两种情况即可得出结论．【详解】①在等边△ABC中，AB=BC．∵点P、Q的速度都为1cm/s，∴AP=BQ，∴BP=CQ．只有当CM=CQ时，BP=CM．故①错误；②∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，∵AB CAABQ CAP AP BQ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABQ≌△CAP（SAS）．故②正确；③点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．故③正确；④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=43，当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=83，∴当第43秒或第83秒时，△PBQ为直角三角形．故④正确．正确的是②③④，故选C．【点睛】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键．20．如图，已知长方形ABCD，AB＝1，BC＝2，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为( )A．1 B．3C．3D．3【答案】B【解析】【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，推出AM=MM’可得MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，共线时最短；由于点E 也为动点，可得当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E=DG+GE的值.【详解】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，∴AM=MM’，∴MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，∴D′M、MM′、ME共线时最短，由于点E也为动点，∴当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E=DG+GE=3∴MA+MD+ME的最小值为3故选B．【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．。