初中数学试卷全等三角形专题讲解（一）知识储备1、全等三角形的概念：（1）能够重合的两个图形叫做全等形。

（2）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。

两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。

（3）全等三角形的表示：如图，△ABC和△DEF是全等三角形，记作△ABC≌△DEF，符号“≌”表示全等，读作“全等于”。

注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

2、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等。

【例1】如图，△ABC≌△DEF，则有：AB=DE，AC=DF，BC=EF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

3、全等三角形的判定定理：S.A.S “边角边”公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

【例2】A.S.A “角边角”公理：两角和它们的所夹边对应相等的两个三角形全等。

【例3】A.A.S “角角边”公理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

【例4】S.S.S “边边边”公理：三边对应相等的两个三角形全等。

【例5】H.L “斜边直角边“公理斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。

【例6】（二）双基回眸1、下列说法中，正确的个数是（）①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等A．4 B．3 C．2 D．12、如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．3、如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（）A．6 B．5 C．4 D．无法确定4、如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°5、能确定△ABC≌△DEF的条件是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠EB．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠EC．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DD．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E6、如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙（三）例题经典例1：如图，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____；（2）对应边AC＝，AB= ；（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，则AO= _，BO= _，∠A=_ ，∠ABC= ．例2：如图，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB．求证：∠D＝∠B．例3：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．例4：如图，AC BD．求证：OA＝OB，OC＝OD．例5：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点． 求证：RM 平分∠PRQ ．例6：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ． 求证：（1）AB ＝DC ： （2）AD ∥BC ．例7：阅读下题及一位同学的解答过程，回答问题：如图，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C 。

那么△AOD 与△COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由。

答：△AOD ≌△COB ． 证明：在△AOD 和△COB 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COB AOD OB OA C A∴ △AOD ≌△COB （ASA ）问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？例6图例7图例8：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.例9：如图，AD=AE，∠1=∠2，点D、E在BC上，BD=CE。

求证：△ABD≌△ACE．例9图例10：如图，已知AD∥CB，AD=CB，AE=BF，求证：（1）△AFD≌△BEC．（2）DF∥CE.拓展变式例1：如图, ∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合，过角尺顶点C 的射线OC 便是∠AOB 的平分线，为什么?例2：要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，可以在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD=BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上，这时测得的DE 的长就是AB 的长。

写出已知和求证，并且进行证明。

实战演练 一、填空题1、如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为______．2、已知：如图，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E.欲证明BD ＝CE ，需证明Δ_____≌△______，理由为______．3、已知：如图，AE ＝DF ，∠A ＝∠D ，欲证ΔACE ≌ΔDBF ，需要添加条件______,证明全等的理由是______；或添加条件______，证明全等的理由是______；也可以添加条件______，证明全等的理由是______．第2题第3题第1题4、如图，根据SAS，如果AB＝AC，＝，即可判定ΔABD≌ΔACE.5、如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE＝3cm，则P点到直线AB 的距离是___________.6、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于D，若AB＝10，则△BDE的周长等于＿＿＿＿.7、如图，△ABC≌△DEB，AB＝DE，∠E＝∠ABC，则∠C的对应角为，BD的对应边为 .8、如图，AD＝AE，∠1＝∠2，BD＝CE，则有△ABD≌，理由是 .9、如图，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，D、E、F是垂足，BD＝CD，那么图中的全等三角形有_______对.二、选择题1、AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（）DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF2、下列语句中，正确的有（）（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等A.1个B.2个C.3个D.4个第4题E DBA第8题第9题AF(8)CED第5题EDPAB第6题EDCA3、下列说法中，正确的是（ ）A.相等的角是直角B.不相交的两条线段平行C.两直线平行，同位角互补D.经过两点有且只有一条直线 4、如图，若△ABE ≌△ACF ，且AB ＝5，AE ＝2，则EC 的长为（ ） A.2 B.3 C.5 D.2.55、如图，∠1＝∠2，BC ＝EF ，欲证△ABC ≌△DEF ，则还须补充的一个条件是（ ） A.AB ＝DE B.∠ACE ＝∠DFB C.BF ＝EC D.∠ABC ＝∠DEF6、如图，△ABC 是不等边三角形，DE ＝BC ，以D 、E 为两个顶点画位置不同的三角形，使所画的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可画出（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个7、如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为BC 中点，则以下结论不正确的是（ ） A.△ABD ≌△ACDB.∠B ＝∠CC.AD 是 BAC 的平分线D.△ABC 是等边三角形8、如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，AC 、BD 交于E 点，下列结论中正确的有（ ） ①∠DAE ＝∠CBE ②CE ＝DE ③△DEA ≌△CBE ④△EAB 是等腰三角形 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第4题 FE CBA第5题ABCD第7题第6题B第8题 2(12)CBA1EDA9、如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，AB ＝10，△BCD 的周长为18，则BC 的长为（ ）A.8B.6C.4D.2 三、解答题1、如图，已知线段a 、b ，求作：Rt △ABC ，使∠ACB ＝90º，BC ＝a ，AC ＝b （不写作法，保留作图痕迹）.2、如图，BP 、CP 是△ABC 的外角平分线，则点P 必在∠BAC 的平分线上，你能说出其中的道理吗？3、如图，已知∠1＝∠2，∠34条GF 与GE ，E 、F 分别是AD 、BC （1）G 点一定是AB （2 AP B C5、如图，已知点A 、E 、F 、D 在同一条直线上，AE ＝DF ，BF ⊥AD ，CE ⊥AD ，垂足分别为F 、E ，BF ＝CE ，试说明AB 与CD 的位置关系.6、阅读下题及其证明过程：已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB ＝EC ，∠ABE ＝∠ACE ，试说明∠BAE 与∠CAE 相等的理由.理由：在△AEB 和△AEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE ACE ABE EC EB所以△AEB ≌△AEC(第一步) 所以∠BAE ＝∠CAE(第二步)问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程.7、如图（1），在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝∠DCB ，AB ＝DC ，AE ＝DF. （1）试说明BF ＝CE 的理由.AFCE BD-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------信达 （2）当E 、F 相向运动，形成如图（2）时，BF 和8、已知：如图，AB ＝AC ，DB ＝DC ，（1）若E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，求证：EH ＝FG.（2）若连结AD 、BC 交于点P ，问AD 、BC 有何关系？证明你的结论.9、如图，在△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上，有下面四个论断：（A ）AD ＝CB ，（B ）AE ＝CF ，（C ）∠B ＝∠D ，（D ）AD ∥BC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，遍一道数学题，并写出解答过程. A D B C E F A （E ）D （F ）B C 图（2）图（1） ABC D EF。