Xxxxxx U N I V E R S I T Y 《微分方程定性理论》实践报告所属学院：理学院专业班级：应用数学姓名：学号：xxxxxxxxxxx实践课题：动力系统综述实践成绩：任课教师：动力系统综述随着数学知识的不断扩充及科学技术的不断发展，动力系统被广泛应用于工程、力学、生态等各大领域，推动着社会的发展。

动力系统是随时间而演变的系统。

随着数学知识的不断扩充及科学技术的不断发展，动力系统被广泛应用于工程、力学、生态等各大领域，推动着社会的发展。

动力系统是随时间而演变的系统。

对于含参数的系统，当参数变化并经过某些临界值时，系统的定性性态，如平衡点或周期运动的数目和稳定性等会发生突然变化，这种变化称为分叉[2]。

分叉理论主要研究当参数在分叉值附近变化时，系统轨线的拓扑结构或定性性态将如何变化。

近几十年来，动力系统的分叉理论被系统而深入的研究，并得到了迅猛的发展，且广泛应用于物理、化学、生物、工程等研究领域中，分叉问题的研究己成为非线性动力系统研究的重点和难点之一。

1动力系统简介动力系统的研究起源于牛顿的经典力学理论.假设空间R n 的一个质点M 在时刻t 的坐标为),,,(21n x x x x =并且己知质点M 此时的运动速度为))(,),(),(()(21x v x v x v x v n =，并且只与坐标x 有关.那么质点M 的运动方程为：)(x v dtdx = （1） 这个方程是一个自治的微分方程.更进一步如果方程(1)满足微分方程解的存在和唯一性定理的条件，那么对任何的初值条件00)(x t x =，则方程存在唯一解),,()(00x t t t =ϕ。

我们称x 取值的空间n ℜ为相空间，而称((t , x )的取值空间“n ℜ⨯ℜ”为增广相空间.按照微分方程的几何意义，方程(1)定义了增广相空间中的一个向量场.解的几何意义为增广相空间中经过点),(00x t 的唯一的积分曲线[1].2 动力系统在力学中的应用稳定性是系统的一个重要特性。

对系统运动稳定性分析是系统与控制论的一个重要组成部分，一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不能付诸于工程实施的。

设系统的向量状态方程为:0,)(),,(00≥==t x t x t x f x （2.1）式中：x 为n 维状态向量；),(⋅⋅f 为n 维向量函数。

定义1：对于所考察的系统(2.1);如果存在某个状态e x ，使得下式成立:0,),(t t t x f e ≥∀=θ （2.2）式中:θ为零向量，则称e x 为系统的一个平衡状态。

所谓系统运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，也即偏离平衡状态的受扰运动，能否只依靠系统内部的结构因素而返回到平衡状态，或者限制在它的一个有限邻域内。

一般所说的稳定性就是指李亚普诺夫意义下的稳定性，即系统状态自由运动的稳定性。

定义2：设e x 为系统((2.1)的一个平衡状态，则称e x 为李亚普诺夫意义下是稳定的，如果对于给定的任一实数0>ε，都对应地存在一个实数0,0>）（t εσ，使 得由满足不等式：),(00t x x e εδ≤- (2.3)的任一初始状态0x 出发的受扰运动都满足不等式：000,,,t t x t x t e ≥∀≤-εφ ）（ （2.4）式中）（00,,t x t φ表示由初始状态0x 所引起的运动。

在上述稳定性的定义中，如果δ只依赖于ε，而和初始时刻0t 的选取无关，则进一步称平衡状态e x 是一致稳定的。

定义3：动力学系统(2.1)的平衡状态e x 称为是渐近稳定的，如果1)e x 是李亚普诺夫意义下稳定的，即满足上述关于稳定性的定义2；2)对在创）（0,t εδ和任意给定的实数0>μ，存在实数0,,0>）（t T δμ，使得得由满足(2.3)式的任一初态0x 出发的受扰运动都同时满足不等式：{}),,(,),,(0000t T t t x t x t e δμμφ+≥∀≤-（2.5） 实例1分析：设有一个可以绕定点0左右摆动的对称刚体，其质量为M ，刚体质心E 到O 点的距离为l ，在刚体内有一狭长的柱形腔，其对称轴与刚体对称轴重合，质量为m 的质点D 可以顺着柱形腔移动，用弹性系数为k 的弹簧将质点D 与固定点O 相连，弹簧的自然长度为0l ，质点D 与柱形腔之间的摩擦系数为α，其系统 如下图所示:取0点所在的水平面作为零势面，两个广义坐标分别取为刚体相对于竖直方向的偏转角θ和小质点D 距0点的距离为ξ，当不计任何摩擦时，平衡状态为：0,0l kmg +==ξθ （2.6） 此时，该系统是稳定的但不是渐近稳定的。

原因是该系统是一个保守系统，从物理角度分析，当不计任何摩擦时，给系统一个扰动，系统将在一定范围内永远摆动下去，不会稳定在其平衡状态，从后面分析看出，当取系统能量函数作为李亚普诺夫函数，该函数本身是正定的，而该函数导数为零，故上述结论成立。

如果考虑质点D 与柱形腔之间的摩擦，其余摩擦不计，该系统的稳定性又如何呢?下面讨论之：所分析实例1的总动能为:22222212121θξξθ m m Ml E k ++= （2.7） 系统的总势能为:20)(21c o s c o s l k mg Mgl E p -+--=ξθξθ （2.8） 相应地可得到以下形式的方程:0)(c o s 0s i n s i n 20222=+-+--=++++ξαξθθξξθξθθξξθξθ l k mg m m mg Mgl m m Ml （2.9） 其中α是大于零的线性因子。

取实例1的能量函数作为它的李亚普诺夫函数去判断其稳定性。

实例1的能量函数为：p k E E L +=)(21cos cos 212121022222l k mg Mgl m m Ml -+++++=ξθξθθξξθ其中k E 、p E 如上所示，但是势能零势面与上部分略有不同，此处势能零势面取为系统最低重心处所在的水平面。

由于L 是正定的，pk E E L += 利用(2.9)式进一步化简便得到：2-ξα =L由上可知L 是负定的。

故上述构造的李亚普诺夫函数可判断实例1是渐近稳定的。

但是上述方法只能对系统进行定性分析，而不能对所讨论的系统进一步进行定量分析。

3 动力系统在生物中的应用科技的发展推动着数学的发展，而数学的发展又加速了科技的发展.生态科学无疑是未来的主流科学，但它的发展必须有数学的支持.如果没有数学家的介入，所谓生态科学研究成果无非是又一次令人振奋的发现而已.种群生态学是生态学中的一个重要分支，也是迄今数学在生态学中应用的最为广泛和深入，发展得最为系统和成熟的分支.在现有的经济系统和环境下，支撑人口增长的能力一直是贯穿整个社会历史的主要问题之一。

将种群动力学模型运用在人口过剩问题的解决过程中是否符合实际呢？最早的简单的人口模型例如Malthus （指数）模型和Verhulst(logistic)模型是人口统计过程研究的出发点。

它们帮助人们了解社会学和自然科学中的基本理想化下的人口统计学的动力学现象。

Logistic 种群模型在一特定的时间内，占据一定空间的同一种物种的个体的集合称为种群.生活在一定空间里相互有直接或间接关系的有关种群的总体称为生物体群落.种群生态学包括对给定种群本身的动力学特性和结构的研究，以及给定种群与相关种群相互作用下演变规律的研究.用动力学的方法对种群生态学研究称为种群动力学.它主要研究种群个体数量和结构的变化规律.如上面的的Mathus 模型[3]，x(t)表示种群在时间t 的规模，dtdx 或)(t x '表示种群规模的变化率，假设种群增长率只依赖于种群规模，这样的假设对简单的生物体是合理的，对更复杂的有机体如植物、动物、人类就显得太简单化了，在最简单的种群模型中个体平均增长率是种群数量的递减函数ax -λ。

Verhulst(1838)第一个由这个假设引入logistic 微分方程)(ax x x -='λ以后它又被R.Pearl 和L.J.Reed 进一步研究，通常将这个方程写为形式)1(Kx rx x -=' （3.1） 其中参数λ=r ,aK λ=。

参数r 和K 假设为正数，注意到当x 较小时rx x ≈'，当x 接近K 时0='x ，即x 较小时种群经历指数增长，x 接近K 时种群几乎无变化。

分离变量可将方程（1.4）改写为⎰⎰=-dt K r x K x dx )(利用部分分式得)11(1)(1xK x K x K x -+=- 积分得))log((log 1)(1)(x K x Kx K dx x dx K x K x dx c t K r --=-+=-=+⎰⎰⎰ 其中c 为积分常数。

如果种群在时间t=0的数量是0x ，代入初始条件0)0(x x =得))log((log 100x K x Kc --= 从而有))log((log 1))log((log 100x K x Kt K r x K x K --+=-- 整理得rt e x K x x K x =--)()(00 进一步代数化简的rt rtex K x e Kx t x --+=)()(000 （3.2） 上述解仅当K x <<00时才有效，积分所得的对数才有定义。

由logistic 初值问题的解的表达式（3.2）得知，当∞→t 且00>x 时种群规模趋于极限K ，值K 称为种群的容纳量，因为它表示可用资源支持的种群规模，值r 称为内秉增长率，它表示种群规模足够小能确保资源限制可忽略时达到的个体平均增长率。

但在上述假定种群的内察增长率为恒正的，也就是说种群均有良好的生存环境，自然出生率要大于自然死亡率。

事实上，在实际的生物学和生态学研究中，我们知道生物种群生活的外部条件如温度，湿度，食物，水及其它资源通常会随时间的变化而变化，从而对一种物种而言，种群的增长率也会随时间不同而不同。

在适宜它成长的季节里，它的内察增长率自然要大些，在不适宜它成长的季节里，它的内察增长率自然小些，甚至会出现负增长。

另一方面，随着经济的发展，环境污染的日益加重，人类对资源掠夺式的开发，使得多数种群的生存环境日益恶劣，对于情况比较严重的濒危种群，在某些斑块中可能会出现负增长，即内察增长率为负.这样看来，要求内察增长恒正就有些强了。

而本文所给条件忽略了种群在个点特点，而只要求其在总体平均的意义下非负即可。

我们力图通过研究斑块间的扩散行为，找到斑块间的最佳扩散方式，从而在人为引导下使那些濒危种群也能够持续生存[4]。

4 动力系统在工程中的应用长度分形维从以包覆和量度为基础的Hausdorff 维和分配维入手，测度振动波形对空间填充能力，是针对非线性动力系统振动波形的前向性，即时间方向上的一致性提出的。