内江师范学院中学数学建模实验报告册编制数学建模组审定牟廉明专业:班级:级班学号:姓名:数学与信息科学学院2016年3月说明1.学生在做实验之前必须要准备实验,主要包括预习与本次实验相关的理论知识,熟练与本次实验相关的软件操作,收集整理相关的实验参考资料,要求学生在做实验时能带上充足的参考资料;若准备不充分,则学生不得参加本次实验,不得书写实验报告;2.要求学生要认真做实验,主要就是指不得迟到、早退与旷课,在做实验过程中要严格遵守实验室规章制度,认真完成实验内容,极积主动地向实验教师提问等;若学生无故旷课,则本次实验成绩不合格;3.学生要认真工整地书写实验报告,实验报告的内容要紧扣实验的要求与目的,不得抄袭她人的实验报告;4.实验成绩评定分为优秀、合格、不合格,实验只就是对学生的动手能力进行考核,跟据所做的的情况酌情给分。
根据实验准备、实验态度、实验报告的书写、实验报告的内容进行综合评定。
实验名称:数学规划模型(实验一)指导教师:实验时数: 4 实验设备:安装了VC++、mathematica、matlab的计算机实验日期:年月日实验地点:实验目的:掌握优化问题的建模思想与方法,熟悉优化问题的软件实现。
实验准备:1.在开始本实验之前,请回顾教科书的相关内容;2.需要一台准备安装Windows XP Professional操作系统与装有数学软件的计算机。
实验内容及要求原料钢管每根17米,客户需求4米50根,6米20根,8米15根,如何下料最节省？若客户增加需求:5米10根,由于采用不同切割模式太多,会增加生产与管理成本,规定切割模式不能超过3种,如何下料最节省？实验过程:摘要:生活中我们常常遇到对原材料进行加工、切割、裁剪的问题,将原材料加工成所需大小的过程,称为原料下料问题。
按工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大就是典型的优化问题。
以此次钢管下料问题我们采用数学中的线性规划模型、对模型进行了合理的理论证明与推导,然后借助于解决线性规划的专业软件Lingo 11、0对题目所提供的数据进行计算从而得出最优解。
关键词:钢管下料、线性规划、最优解问题一一、问题分析:(1)我们要分析应该怎样去切割才能满足客户的需要而且又能使得所用原料比较少;(2)我们要去确定应该怎样去切割才就是比较合理的,我们切割时要保证使用原料的较少的前提下又能保证浪费得比较少;(3)由题意我们易得一根长为17米的原料钢管可以分别切割成如下6种情况(如表一):表一:切割模式表模式 4m钢管根数 6m钢管根数8m钢管根数余料/m1 4 0 0 12 1 2 0 13 2 0 1 14 2 1 0 35 0 1 1 36 0 0 2 1由表一分析可知,有两种方案满足题意且使得下料最节省: (1)钢管切割后材料剩余最少; (2)切割的原料钢管根数最少。
二、 模型假设:令i X 表示运用第i 种切割方案所切割的根数(i=1,、、、,6)三、 建立模型:(一)所剩余量最少目标函数: Min Z 1=12345633x x x x x x +++++约束条件: 123424535642250..220215x x x x s t x x x x x x +++≥⎧⎪++≥⎨⎪++≥⎩ 模型求解: LingoMin =x1+x2+x3+3*x4+3*x5+x6 ; 4*x1+x2+2*x3+2*x4>50; 2*x2+x4+x5>20; x3+x5+2*x6>15;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6); end 实验结果:由Lingo 运行结果分析可知:切割钢管最优解为:x 1=10,x 2=10;x 6=8;x 3=x 4=x 5=0;最优值为:x 1+x 2+x 6=28、即按模式1切割10根,按模式2切割10根,按模式6切割8根,共28根,余料为28m 。
(二)所用钢管数最少目标函数:2123456 Min Z x x x x x x =+++++约束条件:123424535642250 ..220215x x x xs t x x xx x x+++≥⎧⎪++≥⎨⎪++≥⎩模型求解:LingoMin=x1+x2+x3+x4+x5+x6;4*x1+x2+2*x3+2*x4>50;2*x2+x4+x5>20;x3+x5+2*x6>15;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);endGlobal optimal solution found、Objective value: 28、00000Objective bound: 28、00000Infeasibilities: 0、000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 3Variable Value Reduced Cost X1 10、00000 1、000000 X2 10、00000 1、000000 X3 0、000000 1、000000 X4 0、000000 1、000000 X5 0、000000 1、000000 X6 8、000000 1、000000 X7 0、000000 1、000000 Row Slack or Surplus Dual Price1 28、00000 -1、0000002 0、000000 0、0000003 0、000000 0、0000004 1、000000 0、00000最优解为x 1=10,x 2=10;x 6=8;其余为0;最优值为:28、即按方式1切割10根,按方式2切割10根,按方式6切割8根,共28根,余料28m 。
综上,我们可以分析若按最小切割钢管根数去切割,我们需要用到28根,若要求余量最少则也只需要切割28根,所以要使下料最省我们两种选择都就是切割28根钢管。
问题二一、 问题分析:(1)与问题1类似我们要分析应该怎样去切割才能满足客户的需要而且又能使得所用原料比较少;(2)由于客户对钢管的需求又增加了一种,且需求的最小尺寸为4米,所以要能合理切割那么余量就只能小于4米;(3)每根钢管使用量不得超过17米,但也必须超过14米;(4)要使下料最节省,如果我们还就是得从所剩余量最少与所用根数最少的两种情况分析那出现的情况就不仅仅就是像问题(1)中的6种了,因此我们就可简化该问题,对使用原料数量最少进行求解以便达到最佳切割模式,并使得余量相对较少;二、 建立模型:决策变量:用i x 表示第i 种模式(i=1,2,3)切割的原料钢管的根数,生产4米长、5米长、6米长、8米长的钢管数量分别设为1234,,,i i i i y y y y 。
目标函数: 123min x x x =++约束条件: s 、t 、11112213321122223331132233341142243311213141122232421323334350;10;20;15;0,0,(1,2,3; 1...4)14456817;14456817;14456817;iji y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x x y i j y y y y y y y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎪⎪++≥⎪++≥⎪⎨≥≥==⎪⎪≤+++≤≤+++≤≤+++≤⎩⎪⎪⎪又由提议可知,增加约束条件: 原料钢管的总根数不可能少于2917158206105504=⨯+⨯+⨯+⨯为满足每种模式下的钢管需求量,有3514158206105504=⨯+⨯+⨯+⨯所以:1232935x x x <++< 模型求解: Lingo, model: sets:needs/1、、4/:length,num; cuts/1、、3/:x;patterns(needs,cuts):r; endsets data:length=4 5 6 8; num=50 10 20 15; capacity=17; enddatamin=@sum(cuts(i):x(i));@for(needs(i):@sum(cuts(j):x(j)*r(i,j))>num(i)); @for(cuts(j):@sum(needs(i):length(i)*r(i,j))<capacity);@for(cuts(j):@sum(needs(i):length(i)*r(i,j))>capacity-@min(needs:length)); @sum(cuts:x)>26; @sum(cuts:x)<31;@for(cuts(i)|i#lt#@size(cuts):x(i)>x(i+1)); @for(cuts:@gin(x);); @for(patterns:@gin(r);); end 运行结果:Local optimal solution found 、Objective value: 30、00000 Objective bound: 30、00000Infeasibilities: 0、000000Extended solver steps: 176Total solver iterations: 06027Variable ValueCAPACITY 17、00000LENGTH( 1) 4、000000LENGTH( 2) 5、000000LENGTH( 3) 6、000000LENGTH( 4) 8、000000NUM( 1) 50、00000NUM( 2) 10、00000NUM( 3) 20、00000NUM( 4) 15、00000X( 1) 15、00000X( 2) 10、00000X( 3) 5、000000R( 1, 1) 2、000000R( 1, 2) 0、000000R( 1, 3) 4、000000R( 2, 1) 0、000000R( 2, 2) 1、000000R( 2, 3) 0、000000R( 3, 1) 0、000000R( 3, 2) 2、000000R( 3, 3) 0、000000R( 4, 1) 1、000000R( 4, 2) 0、000000R( 4, 3) 0、000000Row Slack or Surplus1 30、000002 0、0000003 0、0000004 0、0000005 0、0000006 1、0000007 0、0000008 1、0000009 3、00000010 4、00000011 3、00000012 4、00000013 1、00000014 5、00000015 5、000000结果分析:方式1:每根原料切割成2根4米的与1根8米的钢管,共15根。