自我综合评价(三)
[测试范围：第十三章轴对称时间：40分钟分值：100分]
一、选择题(本大题共7小题，每小题4分，共28分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)
1．如图13－Z－1所示图案中，轴对称图形是()
图13－Z－1
2．如果点A(－3，a)与点B(3，4)关于y轴对称，那么a的值为()
A．3 B．－3 C．4 D．－4
3．若等腰三角形有一个角是45°，则这个三角形是()
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形或直角三角形
4．如图13－Z－2所示，在△ABC中，AD垂直平分BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB＋BD与DE的长度之间的关系为()
图13－Z－2
A．AB＋BD>DE B．AB＋BD＝DE
C．AB＋BD<DE D．无法确定
5．P是∠AOB内一点，分别作点P关于射线OA，OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论正确的是()
A．OP1⊥OP2
B．OP1＝OP2
C．OP1⊥OP2且OP1＝OP2
D．OP1≠OP2
6．如图13－Z－3，O是直线BC上一点，∠AOB＝30°，OP平分∠AOC，PM∥BC交OA于点M，PM＝8 cm，PD⊥OC于点D，则PD的长为()
图13－Z－3
A．7 cm B．6 cm
C．5 cm D．4 cm
7．如图13－Z－4，在△ABC中，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm 的速度向点A运动，同时点Q从点A出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是以∠A为顶角的等腰三角形时，运动的时间是()
图13－Z－4
A．2.5秒B．3秒
C．3.5秒D．4秒
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
8．如图13－Z－5，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，点E，D分别在AB，AC上，且ED垂直平分AC.若BE＝a，AE＝b，则用含a，b的式子表示△ABC的周长为________．
图13－Z－5
9．已知∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是点Q，则PQ＝________．
10．如图13－Z－6，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN.若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝________°.
图13－Z－6
11．如图13－Z－7，在△ABC中，∠C＝90°，E为BC上的一点，且ED垂直平分AB，D为垂足．若EC＝ED，则∠B的度数为________．
图13－Z－7
12．如图13－Z－8，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交边AC于点D，则图中共有________个等腰三角形．
图13－Z－8
13．如图13－Z－9，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，折叠该纸片使点C落在AB边上的点D处，折痕BE与AC交于点E.若AD＝BD，则折痕BE的长为________．
图13－Z－9
三、解答题(共42分)
14．(10分)如图13－Z－10，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(0，－2)，B(3，－1)，C(2，1)．
(1)请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△AB′C′；
(2)写出点B′和点C′的坐标．
图13－Z－10
15．(10分)如图13－Z－11，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，E为BC上的一点，且∠BAE＝90°，AE＝3 cm，求BC的长．
图13－Z－11
16．(10分)如图13－Z－12，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF＝CE.求证：△ABC是等腰三角形．
图13－Z－12
17．(12分)如图13－Z－13，△ABC为等边三角形，D是BC延长线上一点，连接AD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE，请用你学过的知识探究AC，CD，CE三条线段的长度有何关系．试写出探究过程．
图13－Z－13
教师详解详析
1.D
2.C
3．D [解析] 这个45°的角可能是顶角，也可能是底角．故选D.
4．B [解析] 因为AD 垂直平分BC ，所以AB ＝AC ，BD ＝CD.故AB ＋BD ＝AC ＋CD.又AC ＝EC ，所以AB ＋BD ＝EC ＋CD ＝DE.故选B.
5．B [解析] 如图，∵点P 关于射线OA ，OB 的对称点分别为点P 1，P 2，
∴OP 1＝OP 2＝OP ，∠AOP ＝∠AOP 1，∠BOP ＝∠BOP 2.∴∠P 1OP 2＝∠AOP ＋∠AOP 1＋∠BOP ＋∠BOP 2＝2(∠AOP ＋∠BOP)＝2∠AOB.
∵∠AOB 的度数任意，
∴OP 1⊥OP 2不一定成立．故选B.
6．D [解析] 过点P 作PE ⊥OA 于点E ，则PD ＝PE.∵BC ∥PM ，∴∠PMO ＝∠AOB ＝30°.∴PE ＝12PM ＝12
×8＝4(cm)．∴PD ＝4 cm.
7．D [解析] 由题意可设运动的时间为t 秒，则BP ＝3t ，AP ＝20－3t ，AQ ＝2t.当△APQ 是以∠A 为顶角的等腰三角形时，AP ＝AQ ，∴20－3t ＝2t ，解得t ＝4，即运动的时间是4秒．
8．2a ＋3b [解析] 根据题意可以知道AC ＝AB ＝a ＋b.∵DE 垂直平分AC ，∠BAC ＝36°，∴易证BC ＝CE ＝AE ＝b ，从而可以求得△ABC 的周长．
9．2
10．95 [解析] ∵MF ∥AD ，∠DAM ＝100°，∴∠FMB ＝100°.由轴对称的性质可知∠NMB ＝12∠FMB ＝1
2×100°＝50°.同理可求得∠MNB ＝35°，∴∠B ＝180°－∠NMB －∠MNB ＝
180°－50°－35°＝95°.
11．30° [解析] 连接AE ，如图．∵EC ＝ED ，∠C ＝90°，ED ⊥AB ，∴∠CAE ＝∠DAE.∵ED 垂直平分AB ，∴AE ＝BE.
∴∠B ＝∠DAE.∴∠B ＝∠CAE ＝∠DAE.在△ABC 中，∠B ＋∠CAE ＋∠DAE ＝90°， ∴∠B ＝30°.
12．3 [解析] ∵AB ＝AC ，∠A ＝36°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝12×(180°－36°)＝72°.
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD ＝∠DBC ＝1
2∠ABC ＝36°＝∠A.
∴AD ＝BD.
∵∠DBC ＝36°，∠ACB ＝72°， ∴∠BDC ＝180°－72°－36°＝72°. ∴∠ACB ＝∠BDC. ∴BD ＝BC.
∴△ABC ，△ADB ，△BDC 都是等腰三角形，共3个．
13．4 [解析] 在△ABC 中，易得∠BDE ＝∠ADE ＝∠C ＝90°，又BD ＝DA ，可证明△BDE ≌△ADE ，∴BE ＝AE ，∠A ＝∠EBD.又∵∠CBE ＝∠EBD ，∠CBE ＋∠EBD ＋∠A ＝90°，∴∠CBE ＝30°.∴BE ＝2CE.设AE ＝BE ＝x ，则CE ＝12x.∴6－12
x ＝x ，解得x ＝4.
14．解：(1)如图所示．
(2)B′(－3，－1)，C′(－2，1)． 15．解：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C. ∵∠BAC ＝120°，
∴∠B ＝∠C ＝1
2(180°－∠BAC)＝30°.
∵∠BAE ＝90°，∠BAC ＝120°，
∴∠EAC ＝∠BAC －∠BAE ＝120°－90°＝30°. ∴∠C ＝∠EAC.∴EC ＝AE ＝3 cm. 在Rt △ABE 中，∠B ＝30°， ∴BE ＝2AE ＝6 cm.
∴BC ＝BE ＋EC ＝6＋3＝9(cm)． 16．证明：∵D 是BC 的中点， ∴BD ＝CD.
∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，
∴△BDF 与△CDE 均为直角三角形． 在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，
⎩
⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ，BF ＝CE ， ∴Rt △BDF ≌Rt △CDE(HL)．
∴∠B ＝∠C.
∴AB ＝AC.
∴△ABC 是等腰三角形．
17．解：CE ＝AC ＋CD.
探究过程：
∵△ABC 为等边三角形，
∴AB ＝AC ＝BC ，∠BAC ＝60°. ∵△ADE 为等边三角形，
∴AD ＝AE ，∠DAE ＝60°.
∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD ， 即∠BAD ＝∠CAE.
在△BAD 和△CAE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，
∴△BAD ≌△CAE(SAS)．∴BD ＝CE. ∵AC ＝BC ，
∴BD ＝BC ＋CD ＝AC ＋CD.
∴CE ＝AC ＋CD.。