本科生毕业论文（设计）题 目：大数定律及其应用 姓 名：刘胜举 学 号：200702014001 系 别：数学与计算机科学系 年 级：2007级 专 业：数学与应用数学 指导教师 熊国敏 职称： 教授 指导教师 王海英 职称： 讲师2011年 4 月 28日目录摘要 (I)第一章绪论 (1)第二章大数定律 (2)2.1大数定律的发展历史 (2)2.2几个常用的大数定律 (3)第三章大数定律的一些应用 (6)3.1大数定律在数学分析中的一些应用 (6)3.2大数定律在保险业的应用 (10)结论 (18)参考文献 (19)致谢 (20)摘要大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，应用很广泛。
本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。
关键词：大数定律，概率分布，保险业Abstract:The law of large numbers describles the most fundamental of the random nature in rigorous mathematical formation—the stability of the average results .It is a very important law, and its applications are very wide. This article describes several common law of large numbers, and analyzes their theoretical and practical applications.Key words: law of large numbers, probability distribution, insurance第一章绪论概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。
然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。
这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。
大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。
那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。
即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。
一方面，在理论上，大数定律可以看作是求解极限、重积分以及级数的一种新思路，另一方面，在实际生活中，保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定，我们都将看到大数定律的重要作用。
第二章大数定律2.1大数定律的发展历史概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学, 而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来. 从概率的统计定义中可以看出: 一个事件发生的频率具有稳定性, 即随着试验次数的增多, 事件的频率逐渐稳定在某个常数附近. 人们在实践中观察其他一些随机现象时, 也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性. 这就是说, 无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何, 大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关, 且不再是随机的. 深入考虑后, 人们会提出这样的问题: 稳定性的确切含义是什么? 在什么条件下具有稳定性? 这就是大数定律要研究的问题.1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。
拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。
1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。
这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。
20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。
伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。
因此概率论历史上第一个极限定理属于伯努利。
它是概率论与数理统计学的基本定律之一，属于弱大数定律之一，当然也称为伯努利大数定律。
它可以通俗的理解，有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”中在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。
通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。
例如：在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷n次硬币中出现正面的次数。
不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于1／2。
频率靠近概率的一种客观存在的，可以直接观察到的现象。
而伯努利给这种现象给予了一种确切的含义。
随着数学的发展，随机变量序列服从大数定律的证明，出现了更多更广泛的大数定律，例如契贝晓夫大数定律，伯努利大数定律就是契贝晓夫大数定律的一个特例。
再到后面，出现独立同分布的辛钦大数定律等常用的大数定律。
2.2几个常用的大数定律由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率1收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。
定义1 设有一列随机变量1,2,ηηη…..，如果对于任意的0ε>，有()l i m 1n n P ηηε→∞-<=则称随机变量序列{}n η依概率收敛于η，记作(),pn n ηη−−→→∞。
定义2 设有随机变量η和一列随机变量{}n η ，1,2ηη…..，若(){}l i m 1n n P ηωη→∞==成立，则称{}n η几乎处处收敛于η，记作().,a en n ηη−−→→∞ 定义3 若12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是随机变量序列,如果存在常数列1,2,a a ⋅⋅⋅,使得对任意的0ε>,有11lim 1ni n n i P a nξε→∞=⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑ （8）成立,则称随机变量序列{}i ξ满足大数定律.定义4 设有随机变量η和随机变量序列{}n η的r 阶原点矩r E η、rn E η（n=1,2……）存在，其中r>0，若lim 0rn n E ηη→∞-=则称nηr 次平均收敛到η。
记作 rL n ηη−−→。
此时必有r r n E E ηη=。
当r=2时是常用的二阶矩，2L n ηη−−→称为均方收敛。
定义5 若12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是随机变量序列，它们的数学期望(1,2,.....)i E i ξ=存在，0ε∀>有11lim 1nnk k n iiE nnξξε→∞⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑∑则称随机变量序列12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅服从弱大数定律。
定义6 若12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是随机变量序列，它们的数学期望(1,2,.....)i E i ξ=存在，0ε∀>有()1l i m 01nkk n iP E nξξ→∞⎧⎫-==⎨⎬⎩⎭∑或等价地.110nna ekkiiE nnξξ-−−→∑∑，则称12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅服从强大数定律。
上述两个大数定律要注意，强大数定律和弱大数定律区别不仅仅是一个法则的不同，不能简单的把极限符号lim n →∞从概率号P （）中移出来，弱大数定律描述的是一列概率的收敛性，而强大数定律说的是一列随机变量收敛到一个常数，也正是这点，保证了用事件出现的频率来作为事件概率的估计的正确性。
定理1 对任意的随机变量ξ，若E a ξ=，又D ξ存在，则对任意的正常数ε，有()2D P a ξζεε-≥≤， 则称此式子为契贝晓夫不等式。
粗糙地说，如果D ξ越大，那么()P a ζε-≥也会大一些。
大数定律形式有很多种，我们仅介绍几种最常用的大数定律。
定理2 （伯努利大数定律）设n μ是n 重伯努利实验中事件A 出现的次数，且A 在每次试验中出现的概率为p （0<p<1）,则0ε∀>，有l i m 1nn P p n με→∞⎛⎫-<=⎪⎝⎭（5）此定理表明：当n 很大时，n 重伯努利试验中事件A 发生的频率几乎等于事件A 在每次试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，因此，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。
定理3 （契贝晓夫大数定律） 设12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数0C >,使有,1,2,3i D C i ξ≤=⋅⋅⋅，则对于任意的0ε>,有1111lim 1nni i n i i P E nnξξε→∞==⎛⎫-<=⎪⎝⎭∑∑（9）在上述的定理中，因为用到契贝晓夫不等式，都有对方差的要求，其实方差这个条件并不是必要的。
例如独立同分布时的辛钦大数定律定理4 （辛钦大数定律） 设12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量序列,且有有限的数学期望()1,2i E a i ξ==⋅⋅⋅,则对于任意的0ε>,有11l i m 1ni n i P a nξε→∞=⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑ （10）上式也可表示为11lim pnin i anξ→∞==∑或()11npii a n nξ=−−→→∞∑,并且称11nii nξ=∑依概率 收敛于.定理5 （泊松大数定律）设12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是相互独立的随机变量序列,()1nn P p ξ==，()0nn P q ξ==，其中1nnp q +=，则12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅服从泊松大数定律。
泊松大数定律是伯努利大数定律的推广，伯努利大数定律证明了事件在完全相同的条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性；而泊松定理表明，当独立进行的随机试验的条件变化时，频率仍然具有稳定性：随着n 的无限增大，在n 次独立试验中，事件A 的频率趋于稳定在各次试验中事件A 出现概率的算术平均值附近。
定理6 （马尔科夫大数定律）对于随机变量序列12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,若有2110,n i i D n n ξ=⎛⎫→→∞ ⎪⎝⎭∑则有1111lim 1nni i n i i P E nnξξε→∞==⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑∑第三章 大数定律的一些应用3.1大数定律在数学分析中的一些应用3.1.1大数定律在极限、重积分上的应用大数定律本身便是概率论中非常重要的定理之一，而它与其他数学理论也有密不可分的联系，而且对这些数学理论分支有不可或缺的作用。
大数定律本身便是频率靠近概率的极限理论，是大量随机现象的平均结果稳定于平均值的极限理论。