一、自然常数e1、求导xa dxd令x a y = 已知导数差商公式定义式：x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()()(lim 0'由导数差商定义式得：xa a x a a x x f x x f x f xx x x x x x x ∆-∙=∆-=∆-∆+=∆→∆∆+→∆→∆1)()()(limlim lim 000'（因子x a 与x ∆无关，因此我们可以将它提到极限号前面） 注意到上式中的极限是函数)(x f 的导数在0=x 处的值，即xa a f x x ∆-∙=∆→∆1)0(lim 00'因此，我们已经说明了如果指数函数x a x f =)(在0=x 处是可微的，则该函数是处处可微的，并且x a f x f ∙=)0()('' 上述等式说明了任何指数函数的变化率是和指数函数本身成正比的.令xa a f a M x x ∆-∙==∆→∆1)0()(lim 00'0，因为x a 已知，要求)('x f 必须求得)(0a M ，从x a a M x x ∆-=∆→∆1)(l i m 00的定义式可以猜测)(0a M 可能是一个无线不循环的数值，只能无限取小x ∆值求得)(0a M 的估算值，这种估算的过程相当繁琐且得不到)(0a M 的准确数值.hhh 12- hh 13- 0.1 0.7177 1.1612 0.01 0.6956 1.1047 0.001 0.6934 1.0992 0.00010.69321.0987在上表中，给出了2=a 和3=a 时的情况，通过数值举例，说明了)0('f 的存在.极限明显存在并且当2=a ，69.012)0(lim 0'≈∆-=∆→∆x f x x当3=a ，10.113)0(lim0'≈∆-=∆→∆xf x x 实际上，我们将在《微积分》5.6节说明它们极限存在并且精确到小数点后六位，如下：693147.0)2(0≈=x x dx d 098612.1)3(0≈=x x dx d 因此，由等式①，我们有x x dx d 2)69.0()2(∙≈ x xdxd 3)10.1()3(∙≈ 在等式①对于底数a 的所有可能的选择中，当1)0('=f 时，微分公式最为简单，即x e y =，x e y ='，并且有11)(lim00=∆-=∆→∆xe e M xx ，则有当0→∆x 时，x e x ∆=-∆1，x e x ∆+=∆1，因此x x e ∆∆+=1，再次说明了存在x x x e ∆→∆∆+=1)1(lim使得1)(0=e M，同样e 可能是一个无限不循环小数.再来看看上表中估计2=a 和3=a 时，)0('f 的数值，结合定义式xa a M x x ∆-=∆→∆1)(lim 00可以看出)(0a M 大小决定于a 的取值，可以证明)(0a M 在实数域单调递增，由)3()()2(000M e M M <<，可知32<<e .数e 的定义：h h h e 1)1(lim+=→即e 是使11lim0=-→he h h 成立的数. 这里要注意一点，一个确定的)(00a M 确定一个具体的数0a ，即当)(0a M 值确定时，原函数x a y =也确定了一个具有确切数值的底数0a ，x y 2=与69.0)2(0≈M 和x y 3=与10.1)3(0≈M 都具有对应关系，所以e 存在且使1)(0=e M 的意义在于我们可以求得x e y =的导函数x x x e e M e e dxd y =∙==)('0，当然e 是一个确定的常数，即我们只能求唯一的指数函数x e y =的导函数x e y ='.自然指数求导公式：x xe e dxd = 指数函数x a y =曲线有一个重要特点，当0=x 时，1=y 恒成立，也就是说所有的指数函数均通过)1,0(点；再来看看1)(0=e M 在x e y =图像中的几何意义.0000')()(==∙=x y e M e e M ，也就是说)(0e M 表示指数函数在0=x 处的切线斜率10=m ，也只有x e y =在0=x 处导函数1)('0==e M y ，注意体会底数a 与0m 的唯一对应关系.在指数函数x a y =中，a 值的大小直接影响图像的形状. a 值越大，x a y =曲线越陡峭，即变化率越大，导函数值'y 越大；a 值越小，x a y =曲线越平顺，即变化率越小，导函数'y 越小.当x 取值相等时，3232<<⇔<<e xx x a dxd e dx d dx d2. e 的含义 2.1 由定义式h h h e 1)1(lim+=→来理解e 的含义，简单地说e 就是单位时间内，持续翻倍增长所能达到的极限值.假设你在银行存了1元钱，很不幸同时又发生了严重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！ 银行一般1年才付一次利息，满1年后银行付给你1元利息，存款余额=2元，后来银行发善心，每半年付利息，半年后本息共计)2%1001(+，你可以把利息提前存入，利息生利息，1年本息共计2)2%1001(+元.假设银行超级实在，每4个月就付利息，4个月后本息共计)3%1001(+，8个月后本息共计2)3%1001(+，年底本息共计3)3%1001(+元 .假设银行人品爆发，时时刻刻都在付利息，则第一期本息共计)%1001(n+元，第二期本息共计2)%1001(n +元........第n 期本息共计nn)%1001(+元，这样年底本息余额7182817813.2≈元1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无法突破的天花板，这个天花板就是nn n e )%1001(lim +=∞→，有兴趣可以用这个 网上计算器算一下.2.2.1一个有关复利的例子很久以前，一个名叫伯努力的家伙回答了一个有关复利的问题.下面就是该问题。

我们假设，你在一家银行有一个银行账户，该银行付给你一个慷慨的年利率12%，是一年一次的复利的形式.你将一笔初始存款1元存入账户.每一年你的财富增加12%.这意味着n 年后，你的财富将增加到原来的n %)121(+倍.特别地，一年后，你的财富就是%)121(+元.现在，假设你发现另一家银行.它也提供12%的年利率，但现在它是一年两次的复利的形式.当然，对于半年，你不会得到12%的利息；你必须用它除以2，这意味着半年你会得到6%的利息.一年后，它会以6%的利息复利两次；结果就是你的财富会增加到2%)61(+，其结果是1.1236元.第二个账户的收益比第一个账户略好一些.因此在相同的年利率下，复利越频繁结果会越好.我们试着计算一下年利率为12%的每年3次的复利.我们取12%，并将它除以3会得到4%,然后复利3次，我们的财富将会增加到原来的3%)41(+倍，其结果近似为1.1255元...同样一年时时刻刻都复利时即∞→n ，复利利率为n%12，复利n 次后，我们的财富会增长的倍数为nn n )%121(lim +∞→ 我们用r 代替0.12，并关心更一般的极限n n nr L )1(lim +=∞→首先，我们设n r h /=，这样n r n /=.那么，当∞→n 时，我们看到+→0h （由于r 是常数）故hr h h L /0)1(lim+=+→ 现在我们可以使用指数法则来写出 r h h h L ))1((/10lim+=+→我们来变个魔术，设h h h e /10)1(lim+=+→ 代入极限中有 r r h h e h L =+=+→))1((/10lim所以r n n e nr =+∞→)1(lim2.2.2 关于e 的更多内容让我们来更好地看一下这个极限，记得 r n n e nr =+∞→)1(lim这一次，设n h /1=，则h n /1=，当∞→n 时，有+→0h ，得到 rh h e rh L =+=+→/10)1(lim这是一个右极限.事实上，你可以用0→h 代替+→0h ，对于双侧极限仍成立.我们需要证明左侧极限也是r e ，然后左极限等于右极限，则双极限也等于r e .因此，我们考虑 ?)1(/10lim=+=-→h h rh L 用t -替换h ；那么，当-→0h 时，+→0t （当h 是一个很小的负数时，h t -=就是一个很小的正数）故 tt h h rt rh L /10/10)1()1(limlim -→→-=+=+-由于对于任意的0≠A ，有A A /11=-，我们可以将极限重新写成 []tt t r /10)(11lim-++→分母就是带有利率)(r -而不是r 的经典极限.这意味着，当+→0t 时，在极限中，分母趋于r e ，因此综合起来有[]rrtt tt hh e e t r rt rh L -→-→→==-+=-=+=++-1)(11)1()1(/10/10/10limlim lim 该极限在0=x 处可微且连续，所以有 r h h e rh =+→/10)1(lim二、自然对数求导 1.导数差商定义法由x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()()(lim 0'，令x y ln =，求'y 由定义式写出x x x x x xx x x xx x xx x x x x x x dx d ∆→∆→∆→∆→∆∆+=∆+∆=∆+∆=∆-∆+=1000)ln()1ln(1)ln(1ln )ln(ln lim lim lim lim令x x h /∆=，则有hx x =∆，当0→∆x 时，0→h ，上式可写成xe x h x h x dx dhx xhx 1ln 1)1ln(1)1ln(ln 11lim lim ==+=+=→∆→∆（通过换元巧妙地将x 从对数中提到极限号外面）2.隐函数微分法对自然对数求导，也可以用隐函数微分法，这是求导逆函数的一般办法；记住，这就是知道某函数的导数，求其逆函数导数的方法.原理如下：令x y ln = 左右同时取指数x e e x y ==lnx e y = 左右同时微分所以有 dxdye dy d e dx d y y ∙= ②1=x dxd③ 联立②③等式得：xe y y e yy 11'1'==⇔=∙ 代入x e y =是因为'y 最终要表达成关于x 的因式. 3.隐函数微分法求导指数函数原理如下：令x e y = 左右同时取对数 x e x e y x ===ln ln ln 则有 x y =ln 左右同时微分 所以yy dx dy y dy d y dx d 'ln ln =∙= ④1=x dxd⑤ 联立④⑤等式得：1'=yy所以x e y y =='代入x e y =是因为'y 最终要变达成关于x 的因式.三、换底公式 1.指数换底公式a e a ln = ⑥对等式⑥左右同时取对数得：e a e a a ln ln ln ln ln ∙==2.对数换底公式证：)(log )(log )(log a b b c c a =令x b a =)(log则有 b a x = 左右同时取以c 为底的对数 a x b a c c x c log )(log )(log ==则有 )(log )(log a b x c c = 其中底数c 任意取值且0>c 且1≠c又)(log b x a = 所以 )(log )(log )(log a b b c c a =如何对)(log x a 进行换底求导呢？a x x a ln ln )(log =所以 ax x a x dx d a a x dx d x dx d a ln 11ln 1)(ln ln 1)ln ln ()(log =∙=∙==四、求导任意指数函数1. e 底法令x a y =，求导x a dxd 办法就是用e 做底数，也就是把底数a 转化为e ，把x a 变成e 的某次幂，应用指数函数的求导办法.a e e M e e dxd e dx d a dx d a x a x a x x a x ln )()(ln 0ln ln ln ∙=∙=== 又因为x a x a e =ln联立两式得： a a a dxd x x ln ∙= a a M ln )(0= 2. 对数微分法求x a dxd 有时对原函数求导时会遇到问题，但求其对数导数会相对容易 因为uu u u dx du du u d u dx d ''1ln ln =∙=∙=（应用了链式法则及对数求导公式） 因此，令x a u = 直接求导较麻烦a x lina u x ln ln == 求导较容易所以 a u ln )'(ln = 又由uu u dx d 'ln =可知： a a a u u a uu x ln ln 'ln '∙==⇔= 所以有 a a u x ln '∙=:example 1.求导x x u =:example 2.求证1-∙=r r x r x dxd r 为实数 1.e 底法因为()x r rx r e e x ln ln ==所以()1ln ln '-∙=∙=∙==r r x r x r r x r x r x e x r e x dx d指数函数的定义域为什么是R （实数）.解：什么是实数，即一切可以测量长度的数，也即可以用直角坐标系x 轴表示的数.看看指数函数的图像x a y =（1,0≠>a a ）在x 轴可以无限延伸，也就是x 取值任何实数值，指数函数都成立.2. 对数微分法令r x u =则有x r x u r ln ln ln ==对u ln 求导有()()x r x r u uu ==='ln 'ln ' 所以 1'-=∙=∙=r r rx xr x x r u u五、求导任意对数函数1.自然对数化简法令()x y a log = 求()x dxd a log 将()x a log 化简成两个自然对数的形式，其中一个自然对数含有x .()ax x y a ln ln log == 则有 ()()a x x a x aa x x dx d a ln 11ln 1'ln ln 1ln ln log '=∙=∙=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 所以()a x x dx d a ln 1log =2.指数微分法令()x y a log = 求()x dxd a log 对()x y a log = 左右同时取指数则有 ()x a a x y a ==log 左右同时求导则有 ()()''ln 'x y a a a y y =∙∙= 所以有ax a a y y ln 1ln 1'=∙=3.现在来看看：如果原函数x a y =，那么我们知道()y x a log =，现在对()y x a log =关于y 求导，使用上述结论公式，我们得到ay dy dx ln 1=a a a y dx dy a y dy dx x ln ln ln 1∙==⇒= 也可以用结论公式a x dx dy ln 1=（对换→y x ,x 换成y ，y 换成x ），则有a y dy dx ln 1=，变换写成a a a y dxdy x ln ln ∙==。