第三章作业练习题1：设两点边值问题⎪⎩⎪⎨⎧==<<=+ε1)1( ,0)0()10( 22y y a a dx dy dx y d的精确解为ax e e a y x +---=ε-ε-)1(11/1 现以h 为步长划分区间]1,0[为100等份，用差分近似代替微分，将微分方程离散化为线性方程组，代入初始条件后，得到如下的方程组问题⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-++-++-h ah ahah ah y y y y h h h h h h h εεεεεεεεεεε222299321)2()2()2()2(其中1=ε，2/1=a ，100/1=h 。

(1) 分别用J 迭代法，G-S 迭代法和SOR 迭代法求解，并与精确解进行比较；(2) 如果1.0=ε，001.0=ε，再求解该问题解：输出结果为精确值 J 迭代值 GS 迭代值 sor 迭代值0.0526 0.0501 0.0500 0.05040.1006 0.0961 0.0960 0.09660.1446 0.1384 0.1382 0.13910.1848 0.1774 0.1771 0.17820.2217 0.2132 0.2129 0.21420.2556 0.2462 0.2458 0.24740.2867 0.2767 0.2763 0.27800.3153 0.3049 0.3044 0.30630.3417 0.3309 0.3305 0.33250.3661 0.3551 0.3546 0.35680.3886 0.3775 0.3770 0.37930.4094 0.3984 0.3979 0.40020.4288 0.4178 0.4173 0.41970.4467 0.4359 0.4354 0.43790.4635 0.4528 0.4523 0.45480.4791 0.4687 0.4682 0.47070.5074 0.4976 0.4970 0.4996 0.5202 0.5107 0.5102 0.5128 0.5324 0.5232 0.5227 0.5252 0.5438 0.5349 0.5344 0.5370 0.5546 0.5461 0.5456 0.5481 0.5649 0.5567 0.5562 0.5587 0.5747 0.5668 0.5663 0.5688 0.5840 0.5765 0.5760 0.5784 0.5929 0.5857 0.5853 0.5876 0.6014 0.5946 0.5941 0.5965 0.6096 0.6031 0.6027 0.6049 0.6175 0.6113 0.6109 0.6131 0.6251 0.6192 0.6188 0.6210 0.6325 0.6269 0.6265 0.6286 0.6396 0.6343 0.6339 0.6360 0.6466 0.6415 0.6411 0.6432 0.6533 0.6485 0.6482 0.6501 0.6599 0.6554 0.6550 0.6569 0.6664 0.6620 0.6617 0.6636 0.6727 0.6686 0.6683 0.6700 0.6788 0.6750 0.6747 0.6764 0.6849 0.6812 0.6810 0.6826 0.6909 0.6874 0.6871 0.6887 0.6967 0.6935 0.6932 0.6947 0.7025 0.6994 0.6992 0.7007 0.7082 0.7053 0.7051 0.7065 0.7139 0.7111 0.7109 0.7123 0.7195 0.7169 0.7167 0.7180 0.7250 0.7226 0.7224 0.7236 0.7305 0.7282 0.7280 0.7292 0.7359 0.7337 0.7336 0.7347 0.7413 0.7393 0.7391 0.7402 0.7467 0.7447 0.7446 0.7456 0.7520 0.7502 0.7500 0.7510 0.7573 0.7556 0.7554 0.7564 0.7625 0.7609 0.7608 0.7617 0.7678 0.7663 0.7662 0.7670 0.7730 0.7716 0.7715 0.7723 0.7782 0.7769 0.7768 0.7775 0.7833 0.7821 0.7820 0.7828 0.7885 0.7874 0.7873 0.7880 0.7937 0.7926 0.7925 0.7931 0.7988 0.7978 0.7977 0.79830.8090 0.8081 0.8081 0.80860.8141 0.8133 0.8132 0.81370.8192 0.8184 0.8184 0.81890.8243 0.8236 0.8235 0.82400.8293 0.8287 0.8286 0.82910.8344 0.8338 0.8337 0.83410.8395 0.8389 0.8389 0.83920.8445 0.8440 0.8440 0.84430.8496 0.8491 0.8490 0.84940.8546 0.8542 0.8541 0.85440.8596 0.8592 0.8592 0.85950.8647 0.8643 0.8643 0.86450.8697 0.8694 0.8693 0.86960.8747 0.8744 0.8744 0.87460.8798 0.8795 0.8795 0.87970.8848 0.8845 0.8845 0.88470.8898 0.8896 0.8895 0.88970.8948 0.8946 0.8946 0.89470.8999 0.8996 0.8996 0.89980.9049 0.9047 0.9047 0.90480.9099 0.9097 0.9097 0.90980.9149 0.9147 0.9147 0.91480.9199 0.9198 0.9198 0.91990.9249 0.9248 0.9248 0.92490.9299 0.9298 0.9298 0.92990.9349 0.9348 0.9348 0.93490.9399 0.9399 0.9399 0.93990.9450 0.9449 0.9449 0.94490.9500 0.9499 0.9499 0.94990.9550 0.9549 0.9549 0.95490.9600 0.9599 0.9599 0.96000.9650 0.9649 0.9649 0.96500.9700 0.9699 0.9699 0.97000.9750 0.9750 0.9750 0.97500.9800 0.9800 0.9800 0.98000.9850 0.9850 0.9850 0.98500.9900 0.9900 0.9900 0.99000.9950 0.9950 0.9950 0.9950达到相同精度J迭代的迭代次数为：4024 达到相同精度G-S迭代的迭代次数为：2000 达到相同精度sor迭代的迭代次数为：478 sor迭代最佳松弛因子：1.7000由结果可见对于此题达到相同精度迭代次数sor 迭代<G-S 迭代<J 迭代练习题2：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3113A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=31b 对于线性方程组b Ax =建立迭代法 ),2,1,0()()()1( =+-=+k b x A I x k k ωω（1）求出ω的范围使迭代法收敛，（2）求出最优*ω使迭代法的渐进收敛速度最大。

解：迭代矩阵 B=A I ω-记i λ (i =1,2,3,…,n)为A 的特征值， n λλ,1为A 的最大和最小的特征值∵A 对称正定，∴其特征值为正，i λ>0 又B=A I ω-所以B 的特征值为i ωλ-1 所以i ωλ-1﹤1解得0﹤ω﹤i λ2又1λ为A 的最大特征值所以使迭代法收敛的ω的范围是0﹤ω﹤12λ(2)因为迭代矩阵的谱半径越小，迭代收敛越快.所以|1|min )(i i J w B λρ-=使迭代法的渐进收敛速度最大,最优松弛因子20)(112J pt B w ρ-+=练习题3：对某电路的分析，可以归结为下面的线性方程组V RI =，其中R(1,1)=31；R(1,2)=-13；R(1,6)=-10；R(2,1)=-13；R(2,2)=35；R(2,3)=-9；R(2,5)=-11；R(3,2)=-9；R(3,3)=31；R(3,4)=-10；R(4,3)=-10；R(4,4)=79；R(4,5)=-30；R(4,9)=-9；R(5,4)=-30；R(5,5)=57；R(5,6)=-7；R(5,8)=-5；R(6,5)=-7；R(6,6)=47；R(6,7)=-30；R(7,6)=-30；R(7,7)=41；R(8,5)=-5；R(8,8)=27；R(8,9)=-2；R(9,4)=-9；R(9,8)=-2；R(9,9)=29；V=(-15, 27, -23, 0, -20, 12, -7, 7, 10)T其余元素为零。

要求：（1）用高斯列主元消去法求解该方程组；（2）用SOR 方法迭代求解该方程组，误差610-≤ε，近似最佳松弛因子由试算法确定，设)99,,2,1(50/ ==i i iϖ 解：输出结果为SOR 方法迭代法近似最佳松弛因子为w=1.18,迭代次数为n=12高斯列主元消去法与SOR 方法迭代比较:高斯法值 SOR 法值-0.2892 -0.28920.3454 0.3454-0.7128 -0.7128-0.2206 -0.2206-0.4304 -0.43040.1543 0.1543-0.0578 -0.05780.2011 0.20110.2902 0.2902第四章作业练习题1：分别用不动点迭代法和牛顿迭代法求解方程05.27.19.0)(2=++-=x x x f其中初值50=x ，计算精度为610-=ε。

解：不动点迭代法使用k k x x ⨯+=+9259171进行迭代 f=inline('-0.9*x^2+1.7*x+2.5','x');df=inline('-1.8*x+1.7','x');x0=5;e=1e-6;n1=0;x1=17/9+25/9/x0;n1=n1+1;while (norm(x1-x0)>=e)&(n1<=1000)x0=x1; disp([n1,x1]); x1=17/9+25/9/x0;n1=n1+1;endx_b=x1x0=5;e=1e-6;n=0;x1=x0-feval(f,x0)/feval(df,x0);n=n+1;while (norm(x1-x0)>=e)&(n<=1000)x0=x1;x1=x0-feval(f,x0)/feval(df,x0);n=n+1;end%输出结果clc;fprintf('不动点迭代次数为n=%g',n1);fprintf('结果为x=%g\n',x_b);fprintf('牛顿迭代迭代次数为n=%g ，结果为',n);fprintf('x=%g\n',x1);结果：不动点迭代次数为n=15结果为x=2.8601牛顿迭代迭代次数为n=5，结果为x=2.8601练习题2：分别用不动点迭代法、牛顿迭代法和逆Broyden 秩1方法求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--+=---0810011100741233232213221x x x x x x x x并对结果进行比较。