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工程数学作业（第四次）
第6章 统计推断
（一）单项选择题
⒈设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2
（μσ,2均未知）的样本，则（A ）是统计量． A. x 1 B. x 1+μ C. x 12
2
σ D. μx 1 ⒉设x x x 123,,是来自正态总体N (,)μσ2（μσ,2均未知）的样本，则统计量（D ）不是μ的无偏估计．
A. max{,,}x x x 123
B. 12
12()x x + C. 212x x - D. x x x 123-- （二）填空题
1．统计量就是 __不含未知参数的样本函数 ．
2．参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 ．常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计两种方法．
3．比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 ．
4．设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2（σ2已知）的样本值，按给定的显著性水平α检验H H 0010:;:μμμμ=≠，需选取统计量 n
x U /0σμ-=．
5．假设检验中的显著性水平α为事件u x >-||0μ（u 为临界值）发生的概率．
（三）解答题
1．设对总体X 得到一个容量为10的样本值4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0 试分别计算样本均值x 和样本方差s 2． 解： 6.336101101101
=⨯==∑=i i x x 878.29.259
1)(110121012=⨯=--=∑=i i x x s
2．设总体X 的概率密度函数为f x x x (;)(),,
θθθ=+<<⎧⎨⎩1010其它 试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数θ．
解：提示教材第214页例3 矩估计：,121)1()(110∑⎰===++=+=n i i x n x dx x x X E θθθθ
x x --=112ˆθ 最大似然估计：
θθθθθ)()1()1();,,,(211
21n n i n i n x x x x x x x L +=+==
0ln 1ln ,ln )1ln(ln 11=++=++=∑∑==n i i n i i x n d L d x n L θθθθ，1ln ˆ1--=∑=n i i
x
n θ 3．测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为（单位：m ）：108.5 109.0 110.0 110.5 112.0
测量值可以认为是服从正态分布N (,)μσ2
的，求μ与σ2的估计值．并在⑴σ225=.；⑵σ2未知的情况下，
分别求μ的置信度为0.95的置信区间． 解： 11051ˆ51===∑=i i x x μ 875.1)(151ˆ51
22=--==∑=i i x x s σ
2 （1）当σ225=.时，由1－α＝0.95，975.021)(=-=Φα
λ 查表得：96.1=λ
故所求置信区间为：]4.111,6.108[],[=+-n x n
x σλσλ
（2）当2σ未知时，用2s 替代2σ，查t (4, 0.05 ) ，得 776.2=λ 故所求置信区间为：]7.111,3.108[],[=+-n
s x n s x λλ 4．设某产品的性能指标服从正态分布N (,)μσ2，从历史资料已知σ=4，抽查10个样品，求得均值为17，
取显著性水平α=005.，问原假设H 020:μ=是否成立．
解：237.0162.343|10
/42017||/|||0=⨯=-=-=n x U σμ， 由975.02
1)(=-=Φα
λ ，查表得：96.1=λ
因为 237.0||=U > 1.96 ，所以拒绝0H
5．某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm ）：
20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5
问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（α=005.）
． 解：由已知条件可求得：0125.20=x 0671.02=s
1365.0259.0035.0|8
/259.020
0125.20||/|||0==-=-=n s x T μ 62.2)05.0,9()05.0,1(==-=t n t λ ∵ | T | < 2.62 ∴ 接受H 0
即用新材料做的零件平均长度没有变化。