高等桥梁结构理论课程作业参考答案（2014版）【作业1】如图1所示薄壁单箱断面，试分别计算：（1）该截面在竖向弯矩m kN M x ⋅=100作用下的正应力（注：平截面假定成立。

）；（2）该截面在竖向剪力kN Q y 100=通过截面中心作用下的剪应力分布。

图1 薄壁单箱断面几何尺寸（单位：cm ）【参考答案】由于该截面关于y 轴对称，故需要确定主轴ox 轴的位置，假定ox 轴距离上翼缘中心线为a ，由0=x S ，得0)2(212)2(0.3212)5.20.35.2(22=-⨯--⨯-⨯+⋅++δδδδa a a a即04.01.04.03.06.01.08.022=+--+-+a a a a a0.15.1=a ，即m a 667.0=由ANSYS 计算截面几何特性参数，计算结果如图2所示。

具体几何特性计算结果为：竖向抗弯惯性矩为)(064.1)(10064.1448m cm I x =⨯=, 横向抗弯惯性矩为)(370.5)(10370.5448m cm I y =⨯=， 扭转常数为：)(470.1)(1047.1448m cm I y =⨯=， 截面几何中心至顶板中心线距离为)(667.0m a =。

（1）截面在竖向弯矩m kN M x ⋅=100作用下，由初等梁理论可知，截面正应力分布由下式 计算，即y y y I M x x z 96.93984064.1000,100===σ（Pa ） （m y m 667.0333.1≤≤-），具体截面正应力分布如图3所示。

XYO Sig1=62688PaSig2=125282Pa图2截面在竖向弯矩m kN M x⋅=100作用下正应力分布图（2）截面在竖向剪力kNQ y 100=作用下，闭口截面弯曲剪应力计算公式可知，截面剪应力为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰⎰δδds ds S S I Q q xx x y 划分薄壁断面各关键节点如图3（a ）所示。

将截面在1点处切口，变为开口截面，求x S 、⎰δds和⎰ds S xδ。

作y 图如图3（b ）所示。

（a ）薄壁断面节点划分图（单位：cm ）XY0.667-1.333O（b ）y 图（单位：cm ）**3XY12945367s810G.C.0.100050.2890.26680.20.2-0.2-0.10005-0.16680.1668-0.289-0.2668-0.2（c ）点1处开口对应的x S 图（以s 绕几何中心逆时针方向为正，单位：cm 3）XY12945367s810G.C.-94.03-271.62-250.75-187.97-187.97187.9794.03156.77-156.77271.62250.75187.972（d ） 闭口截面剪应力图（单位：kPa ）图3薄壁截面剪应力计算图式（注：剪力流为正时，对应逆时针方向；剪力流为负对应顺时针方向）由⎰=sx ydF S 0可求出该开口截面各点处的x S （以s 绕截面几何中心逆时针方向为正），即0)1(=x S ，0)9(=x S ，0)10(=x S ；)(10005.02)()2(32/0m ba x d a S b x ==-⨯⨯=⎰-δδ右； )(16675.01.05.2677.0)2(30m ad dx a S dx -=⨯⨯-=-=⨯⨯-=⎰δδ左)(2668.0)2/()()2(3)2/(0m b d a x d a S b d x =+=-⨯⨯=⎰+-δδ下)(289.002224445.02668.02)2()()2()3(320m a S y d y S S x a x x =+=+=-+=⎰δδ下)(20015.008884445.0289.02)3()()3()4(320m y S y d y S S x x y x x x=-=-=-+=⎰-δδ)(200.00.31.0333.120015.0)4()()4()5(32/2/m b y S dx y S S x x b b x x x -=⨯⨯-=-=-+=⎰-δδ)(289.008884445.0200.02)5()5()6(320m y S dy y S S x x y x x x-=--=-=+=⎰-δδ)(2668.002224445.0289.02)6()6()7(320m a S dy y S S x ax x -=+-=+=+=⎰δδ下)(10005.02-)7(3m abS x -==δ左)(16675.0)7(3m ad S x ==δ右故在1点处切口对应的开口截面各点处的x S 如图3（c ）所示。

现求⎰ds S xδ，考虑到x S 关于y 轴反对称，故0=⎰ds S xδ，即0=⎰⎰δδdsdsS x。

即截面在竖向剪力kN Q y 100=作用下的剪应力为)(85.939kPa S S I Q qx x xy-=-==δδτ，具体分布如图3（d ）所示。

从图3（d ）中可以看出，单箱薄壁截面腹板剪应力较大，而翼缘板靠近腹板处剪应力较大，向两侧逐渐减小。

【作业2】应用ANSYS 软件分析一悬臂薄壁箱梁分别在（工况一）梁端作用集中载和（工况二）梁上作用均布载时箱梁固定端、1/4，1/2和3/4处的顶板、底板正应力分布，并分析顶底板与腹板连接处的剪力滞系数变化规律。

（略！）【作业3】已知某预应力混凝土简支箱梁，计算跨径为40m ，沿梁长等截面。

截面尺寸如4所示。

采用C40混凝土，剪切模量为MPa G 410445.1⨯=，弹性模量为MPa E 41040.3⨯=。

荷载为跨中作用一偏心荷载kN P 0.451=，偏心距为m e 35.2=（计算约束扭转时，可简化为集中力矩m kN M k ⋅≈=0.106085.1059）图4 薄壁预应力混凝土箱梁截面尺寸（单位：cm ）图5 截面划分及计算尺寸（单位：cm ）【参考答案】 1）截面几何特性计算 （1）截面几何中心对顶板中心线取面积矩，即)(73608.43m S =，面积)(96.42m A =； 箱梁截面几何中心距离顶板中心线距离为：)(955.0/m A S e y ==； （2）惯性矩截面绕x 、y 轴的惯性矩分别为4556.4m I x =、4365.25m I y =。

（3）广义扇性坐标)(s c ω计算将以截面几何中心（.）为极点的扇性坐标记为c ω，将以扭转中心A 为极点的扇性坐标记为A ω。

扇性坐标原点取在y 轴与顶板中心线的交点上，如图5所示。

则根据广义扇性坐标定义可知：⎰⎰⎰Ω-=s sc tdstds ds s 00)(ρω式中，2928.19212.27.4)(m ds s =⨯⨯==Ω⎰ρ，32044.49=⎰tds ， 40405.0=Ω⎰tds ；具体截面各节点广义扇性坐标计算公式如下，具体计算结果如表1所示。

① 箱梁闭口部分：⎰⎰-=ssc tds ds s 040405.0)(ρω； ② 顶板悬臂部分：左侧⎰+=sc c ds s s 35.2'3,)()(ρωω；右侧⎰-=s c c ds s s 35.23,)()(ρωω。

表1 薄壁箱梁截面关键节点广义扇性坐标)(s c ω计算汇总（a ）箱梁截面广义扇性坐标)(s c ω（单位：m 2）xyG.C.s4.75123451'2'3'5'676'-4.752.35-2.35（b ）箱梁截面x 坐标图（单位：m ） 图6 箱梁截面广义扇性坐标与x 坐标图（4）扭转（剪切）中心的确定设扭转中心与截面几何中心的距离分别为x α和y α，具体计算公式为xAcxxI ydA s I I cx ⎰==)(ωαω，xAcyyI xdA s I I cy ⎰-=-=)(ωαω考虑到y 轴为对称轴，且广义扇性坐标关于y 轴反对称，则广义扇性坐标)(s c ω与直角坐标y 的惯性积0)(==⎰Ac ydA s I cx ωω，0=xα，即扭转中心在y 上，故只需求y α。

扇性惯性积⎰=AcxdA s I cy )(ωω可采用箱梁截面x 坐标图（图6（b ）所示）与广义扇性坐标)(s c ω图（图6（a ）所示）乘得到，即 []∑⎰+++∆==)2()2(6)(j i j j iiijij Ac x x x xt S xdA s I cy ωωωω扇性惯性积⎰=AcxdA s I cy )(ωω具体计算结果汇总见表2。

表2 扇性惯性积⎰=AcxdA s I cy )(ωω具体计算结果汇总表即扭转中心与截面几何中心竖向距离为：)(3000.0365.258048.32m I I yy cy -=⨯-=-=ωα即扭转中心A 坐标为（0，），在截面几何中心的正下方处。

图7所示为采用ANSYS 计算得到的该截面的剪切中心位置，从图7中可以看出剪切中心位于几何中心正下方，与本文计算结果比较接近。

图7 薄壁箱梁截面剪切中心ANSYS 计算结果（5）主扇性坐标)(s A ω计算将扇性坐标极点从几何中心C 移到剪切中心A 处，按下式进行主扇性坐标计算，即 C y x s s x y c A +-+=ααωω)()(其中，C 为积分常数，与广义扇性静矩⎰=sc tds s S c 0)(ωω有关，即Atds s AS C scc ⎰==)(ωω。

由于广义扇性坐标)(s c ω关于y 轴反对称，则0)(0===⎰Atds s AS C scc ωω故x s s c A 3.0)()(-=ωω，据此可计算得到各节点的主扇性坐标，结果如表3所示。

对应的主扇性坐标)(s A ω图如图8所示。

表3 主扇性坐标)(s A ω的计算结果汇总表图8箱梁截面主扇性坐标)(s A ω（单位：m 2）（6）广义扇性静矩计算在计算截面约束扭转剪应力时，需要首先计算闭口截面的广义扇性静矩：⎰⎰-=tds t ds S S S ωωω ① 计算主扇性坐标下的扇性静矩⎰=sA tds s s S 0)()(ωω，取主扇性坐标零点（4点）为)(s S ω计算的起点，即在距离i 点为s 处的广义扇性静矩s S ,ω按下式计算，即 ii i i i i i s l s t s t S S ⋅⋅-+⋅⋅+=+2)(21,,ωωωωω 在1+i 节点处的1,+i S ω为2)(1,1,ii i i i i l t S S ⋅++=++ωωωω 式中，i S ,ω为板段计算起点的广义扇性静矩。

由4点开始依次计算，则各板段起点处的s S ,ω及1,+i S ω均可以计算。

本算例中各板段的广义扇性静矩具体计算如下： ① 4-3'段：)(3533.0235.222.03667.1235.222.0))3667.1(0.0(04'3,m S -=⨯⨯-=⨯-++=ω② 3'-1'段：(2'与3'之间距离为)(51701.04.22089.122.0)3667.16453.1(089.122.03667.13533.042'2,m S -=⨯⨯⨯++⨯⨯--=ω)(27952.04.224.222.0)3667.16453.1(4.222.03667.13533.042'1,m S -=⨯⨯⨯++⨯⨯--=ω③ 3'-6'段：(3'与6'之间主扇性坐标0点距离3'点为)(6326.012.223624.130.0)3667.176.0(3624.130.03667.13533.042'10,m S -=⨯⨯⨯++⨯⨯--=ω)(54623.012.2212.230.0)3667.176.0(12.230.03667.13533.042'6,m S -=⨯⨯⨯++⨯⨯--=ω④ 6'-7段：)(24261.0235.234.0)0.076.0(54623.047,m S -=⨯⨯++-=ω ⑤ 7-6段：)(54623.0235.234.0)76.00.0(24261.046,m S -=⨯⨯-+-=ω ⑥ 6-3段：（主扇性坐标“零”值10距离6点）)(6326.012.227576.030.0))76.0(3667.1(7576.030.076.054623.04210,m S -=⨯⨯⨯--+⨯⨯--=ω)(3533.0212.230.0)3667.176.0(54623.043,m S -=⨯⨯+-+-=ω⑦ 3-4段：)(0.0225.322.0)0.03667.1(3533.044,m S =⨯⨯++-=ω（验证了计算结果的正确性！） ⑧ 3-1段：(2与3之间距离为，注：计算该段是为顺时针方向，故S 、L 均应去负值！))(51701.0)4.2(2089.122.0)3667.16453.1()089.1(22.03667.13533.0422,m S -=-⨯⨯⨯--+-⨯⨯+-=ω)(27975.02)4.2(22.0)6453.13667.1(3533.041,m S -=-⨯⨯-+-=ω对应该截面主扇性静矩如图9所示。