1 T 2 T 2 1 T U = ∫ ( ) + ( ) dxdy = ∫ 2 x y 2 x e e
e
T ( x, y ) = [N ]T {T }
e
T x x e e T = [N ]T {T } = [F ]{T } y y
e
m
其中: [H ] = ([h ]e +[h ]e ) ∑ 1 2
e =1
m
--结构总"刚度"矩阵 --结构总"载荷"
14
{P} = ∑ {P}e
e =1
m
δU = 0
U =0 {T }
即
[H ]{T } = {P}
已知"载荷",求解方程组. 求解方程组时,边界条件的处理: 对于三类边界条件,按上述分析方法处理,而在 上述分析时没有考虑一类边界条件,可在求解方程组 时考虑,即:使该边界处的节点温度取为给定值. 将整个边界按三类边界处理,而对于一类边界位 置,介质温度 T f 取为给定值,并将放热系数 λ 取为 相当大的值.
27
完全耦合热应力分析:应力,应变场和温度场之间 完全耦合热应力分析:应力,应变场和温度场之间 有耦合作用,需要同时求解. 绝热分析:力学变形产生热,而且整个过程的时间 绝热分析:力学变形产生热,而且整个过程的时间 极短,不发生热扩散. 热电耦合分析:求解电流产生的温度场. 热电耦合分析:求解电流产生的温度场. 工程中常见问题为顺序耦合热应力分析.
结构总的泛函是节点温度的二次齐次式.
δU = 0
U =0 {T }
即
[H ]{T } = 0
结合边界条件,求解方程组.
10
三,第三类边界条件问题
2T 2T + 2 =0 2 x y
等价于
δU = 0
T K = q + λ (T T f ) n
K T 2 T 2 1 2 U = ∫ ( ) + ( ) dxdy + ∫ ( λT λT f T qT )ds 2 x y 2 Γ 边界上的弧坐标
{Q}T = ∑ {Q}T e
--结构总刚度矩阵 --结构总的热载荷
当结构存在其他外载荷时,则将外载荷与热 载荷叠加.
23
二,热应力计算
[K ]{δ } = {Q}T
{δ }e 单元位移
0]
按单元温升,求得单元热应变 {ε }T = [αT αT
{σ } = [D]({ε }{ε }T )
利用有限元方法分析结构的热应力时,应先分 析各单元的温度变化,形成热载荷,与外载荷一起 求解节点位移.按单元温升计算热应变,在总应变 中减去热应变,计算应力. 结构的温度场和位移场应同时加以计算,可 以采用相同的单元和网格划分.
二,第一类边界条件问题
T T + 2 =0 2 x y
等价于
1 T 2 T 2 δU = 0 U = ∫ ( ) + ( ) dxdy 2 x y
2 2
T =T
有限元求解此 变分问题
6
简单三角形单元,单元内温度假定 为线性分布 T ( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y 设单元3个顶点的温度分别为 Tl , Tm , Tn 单元节点温度列阵为
T T x T dxdy y y
8
其中:
1 bl [F ] = 2 cl
bm cm
bn cn
--应变矩阵
1 1 e T e eT T e U = ∫ ([F ]{T } ) ([F ]{T } )dxdy = ∫ {T } [F ] [F ]{T } dxdy 2 2 e e
T K = q + λ (T T f ) n
λ =0
T K =q n
确定结构边界处的温度梯度,称为第二类边界条件. 确定结构边界处的温度梯度,称为第二类边界条件 第二类边界条件.
5
T K = q + λ (T T f ) n
λ =q=0
T =0 n
绝热条件:在边界处和周围介质没有热交பைடு நூலகம். 绝热条件:在边界处和周围介质没有热交换.
16
当物体各部分有同样温升时,热膨胀是均匀的, 若物体受外界约束,则处于各方向应变都相同的常 应变状态,不会产生内部应力. 当物体受热,又受外界约束时,或内部受热不均 匀,则内部会产生内应力.总应变应为热应变和弹性 应变之和. 结构由于温度变化引起的内部应力 ,称为热应力. ,称为热应力 热应力. 用位移法分析结构热应力,应按温度场的改变 计算热变形,进而计算热应力.
Γ e --e单元所拥有的边界.
只有靠近边界的单元才具有 这一项.
12
设单元e的m,l节点位于边界上,计算时应以直 线lm代替部分边界.
e单元的温度为
e 2
T = [N ]T {T }
e
1 2 U = ∫ ( λT λT f T qT )ds 2 Γe 1 e 2 e U = ∫ λ ([N ]T {T } ) (λT f + q)[N ]T {T } ds 2 lm 1 e T e e T [N ]T {T } ) [N ]T {T } ds ∫ {T } [N ]T (λT f + q)ds = ∫ λ( T 2 lm lm
1 1 e T e T U = ∫ ([B ]{δ } ) [D ][B ]{δ } dV + ∫ {ε }T [D ]{ε }T dV 2 Ve 2 Ve
e
∫ ([B ]{δ } )T [D ]{ε }T dV
e Ve
1 e = δ 2
{ } [k ] {δ } {δ } {Q}
T e e e T
3
第一类边界条件 平面结构的边界上保持给定的分布温度,即
T =T
第三类边界条件
边界的分布温度
在边界处与周围介质存在热交换,即 放热系数
T K = q + λ (T T f ) n
进入的热流 周围介质的温度
4
上式中包含边界温度和温度梯度,称为第三类边 上式中包含边界温度和温度梯度,称为第三类边 界条件,是一种混合边界. 界条件,是一种混合边界. 当 q ,λ 取不同值时,上式可以转化为不同的 边界条件,因此可以统一地编制有限元程序.同时, 对于平面结构的不同边界部位,通过改变 q ,λ , T f 即可. 第二类边界条件
平面结构只受热而不受外载荷作用,则势能极小 原理为 δU = δ (∑ U e ) = 0
22
U = (∑ U e ) = 0 {δ } {δ }
1 eT e e e e T U = { } [k ] { } { } {Q}T + C δ δ δ 2 [K ]{δ } = {Q}T
e
其中:
[K ] = ∑ [k ]e
bl bn + cl cn bmbn + cm cn 2 bn2 + cn
--单元"刚阵"
9
结构的泛函为
1 e U = ∑U = ∑ T e =1 e =1 2
e
m
m
{ } [h] {T }
T e e
1 T = {T } [H ]{T } 2
其中:
[H ] = ∑ [h]e
e =1
m
--整个结构的"刚阵"
e 2
1 eT = { } h2 T 2
[ ] {T } {T } [P]
e e e T
e
13
其中: [h ] == ∫ λ [N ] [N ] ds
e
2
T T
T
--边界"刚度"矩阵 --边界"载荷"
lm
[P]
e
=
lm
∫ [N ] (λT
T T
f
+ q )ds
结构总泛函为
1 T T U = ∑ U = {T } [H ]{T } {T } {P} 2 e =1
e
1 eT 1 eT e e T e = {T } ( ∫ [F ] [F ]dxdy){T } = {T } [h] {T } 2 2 e
bl2 + cl2 其中: e 1 [h] = bl bm + cl cm 4 bn bl + cn cl
bl bm + cl cm 2 2 bm + cm bnbm + cn cm
T = T ( x, y )
2
在平面求解区域内,有
2T 2T K( 2 + 2 ) + p = 0 x y 热传导系数 热源强度
一般的工程结构,本身不产生热量,热量多是由外 界传入,有 p = 0
2T 2T + 2 =0 2 x y
对应不同的热边界条件,微分方程的解是不同的, 对于平面结构有不同的温度分布.
相等
1 1 T T T U = ∫ {ε } [D ]{ε }dV + ∫ {ε }T [D ]{ε }T dV ∫ {ε } [D ]{ε }T dV 2 Ve 2 Ve Ve
e
20
总应变和节点位移的关系
{ε } = [B]{δ }e
应变矩阵
对于三角形单元,应变矩阵与一般平面问题的三 角形单元一致.
15
第二节
平面热应力
设等截面杆件,原长为l,温度由 T0 变为 T ,则
l = α (T T0 )l
热应变为 l εT = = α (T T0 ) = αT l 各向同性三维单元,由温升引起的热应变为
ε xT = ε yT = ε zT = αT γ xyT = γ yzT = γ zxT = 0
{T }e = [Tl
单元内各点温度为