函数图象的三种变换函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下 3 种：一、平移变换例1 设f(x)＝x2，在同一坐标系中画出：(1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系；(2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1 和y＝f(x)－1 的图象，并观察三个函数图象的关系．解(1)如图(2)如图点评观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移 1 个单位长度得到；y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1 个单位长度得到；y＝f(x)＋1 的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1 个单位长度得到；y＝f(x)－1 的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1 个单位长度得到．小结：二、对称变换例2 设f(x)＝x＋1，在同一坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(－x)的图象，并观察两个函数图象的关系．解画出y＝f(x)＝x＋1 与y＝f(－x)＝－x＋1 的图象如图所示．由图象可得函数y＝x＋1 与y＝－x＋1 的图象关于y 轴对称．点评函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y 轴对称；函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x 轴对称；函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．三、翻折变换例 3 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图象，并观察两个函数将x 轴下方图象翻折上去并作其关于y 轴对称的图象 图象的关系．解 y ＝f (x )的图象如图 1 所示，y ＝|f (x )|的图象如图 2 所示．点评 要得到 y ＝|f (x )|的图象，把 y ＝f (x )的图象中 x 轴下方图象翻折到 x 轴上方，其余部分不变．例 4 设 f (x )＝x ＋1，在不同的坐标系中画出 y ＝f (x )和 y ＝f (|x |)的图象，并观察两个函数图象的关系．解 如下图所示．点评 要得到 y ＝f (|x |)的图象，先把 y ＝f (x )图象在 y 轴左方的部分去掉，然后把 y 轴右边的对称图象补到左方即可．小结：y = f (x ) −−保−留x −轴上−方图−象−→ y ＝|f (x )|. y = f (x ) −−−保留−y 轴右−侧−图象−−→ y＝f (|x |).如图：四 函数图象自身的对称性1. 函数 y = f (x ) 的图象关于直 x =a +b 对称⇔ f (a + x ) = f (b - x ) ⇔ f (a + b - x ) = f (x )2 2. 函数 y =f (x ) 的图象关于点(a , b ) 对称⇔ 2b - f (x ) = f (2a - x )⇔ f (x ) = 2b - f (2a - x ) ⇔ f (a + x ) + f (a - x ) = 2b3.若 f (x ) = - f (-x ) ，则 f (x ) 的图象关于原点对称，若 f (x ) = f (-x )，则 f (x ) 的图象关于 y 轴对称。

基础训练1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当 x ∈(0，＋∞)时，函数 y ＝|f (x )|与 y ＝f (|x |)的图象相同.( × ) yy=f(|x|)a obc xy y=|f(x)| a ob c x y y=f(x) a o b c x(2)函数 y ＝f (x )与 y ＝－f (x )的图象关于原点对称. ( × )(3)若函数 y ＝f (x )满足 f (1＋x )＝f (1－x )，则函数 f (x )的图象关于直线 x ＝1 对称. ( √ )(4)将函数 y ＝f (－x )的图象向右平移 1 个单位得到函数 y ＝f (－x －1)的图象. ( × ) 2. 如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系，其中不正确的有( )A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个解析 对于一个选择题而言，求出每一幅图中水面的高度 h 和时间 t 之间的函数关系式既无必要也不可能，因此可结合相应的两幅图作定性分析，即充分利用数形结合．对于第一幅图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此不正确；对于第二幅图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此趋势愈加平缓，因此正确；同理可分析第三幅图、第四幅图都是正确的． 故只有第一幅图不正确，因此选 A.答案 A点评 本题考查函数的对应关系．由容器的形状识别函数模型，是典型的数形结合问题， “只想不算”有利于克服死记硬背，更突出了思维能力的考查．近两年的高考越来越注重对理性思维能力的考查．3. 向高为 H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如图所示， 那么水瓶的形状是( )H V 0 解析 取水深 h ＝ 2 ，此时注水量 V ′> 2 ，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水 量的一半． V 0 V 0 A 中 V ′< 2 ，C 、D 中 V ′＝ 2，故排除 A 、C 、D ，选 B. 1 4．函数 y ＝1－ － 的图象是( )．x 1－1 1 解析 将 y ＝ x 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数 y ＝1－ － x1 的图象．答案 B 5. 已知图①中的图象对应的函数为 y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数为()．A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |) 解析 y ＝f (－|x |)＝Error!答案 C 6. 直线 y ＝1 与曲线 y = x 2 - x + a 有四个交点，则 a 的取值范围是 ．如图所示， y = x 2 - x + a 是偶函数a - 1 < 1 < a ⇒ 1 < a < 54 47. 已知 f (x ) 是偶函数，则 f (x + 2) 的图像关于 对称；已知 f (x + 2) 是偶函数，则函数 f (x ) 的图像关于对称.8. 已知 y ＝f (x )的图象如图所示，则 y ＝f (1－x )的图象为 ( )解析: A ［因为 f (1-x )=f （-(x -1)）,故 y =f (1-x )的图象可以由 y =f (x )的图象按照如下变换得到：先将 y =f (x )的图象关于 y 轴翻折，得 y =f (-x )的图象，然后将 y =f (-x )的图象向右平移一个单位， 即得 y =f (-x +1)的图象.］9. 分别画出下列函数的图象：x ＋2 (1)y ＝x2－2|x |－1；(2)y ＝ . （3）(1) y x －1 x - 2 (x + 1) (1) y ＝Error!.图象如图③.3 3 (2) 因 y ＝1＋ － ，先作出 y ＝ 的图象，将其图象向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位， x 1 xx ＋2 即得 y ＝ － 的图象，如图④. x 110. 若函数 y ＝f (x )的图象如图所示，则函数 y ＝－f (x ＋1)的图象大致为 .思维启迪 从 y ＝f (x )的图象可先得到 y ＝－f (x )的图象，再得到 y ＝－f (x ＋1)的图象.解析 要想由 y ＝f (x )的图象得到 y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将 y ＝f (x )的图象关于 x 轴对称得到 y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到 y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知③正确. 答案 ③11. 已知函数 f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数 f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合 M ＝{m |使方程 f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解 f (x )＝Error!=作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]． (2)在同一坐标系中作出 y ＝f (x )和 y ＝m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)． 由图知 0<m <1，∴M ＝{m |0<m <1}． 1 12. 已知函数 f (x )的图象与函数 h (x )＝x ＋x＋2 的图象关于点 A (0,1)对称.求 f (x )的解析式；(2) 解析： (1)设 f (x )图象上任一点 P (x ，y )，则点 P 关于(0,1)点的对称点 P ′(－x,2－y )在 h (x )1 1的图象上，即 2－y ＝－x －x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋x(x ≠0). 13. 已知函数 y ＝f (x )的图象关于原点对称，且 x >0 时，f (x )＝x 2－2x ＋3，试求 f (x )在 R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．解：∵f (x )的图象关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )，∴当 x ＝0 时，f (x )＝0.又当 x >0 时， f (x )＝x 2－2x ＋3，∴当 x <0 时，f (x )＝－x 2－2x －3.∴函数的解析式为 f (x )＝Error!作出函数的图象如图．根据图象可以得函数的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；函数的减区间为(－1,0)，(0,1)．。