例1：试求当粒子位置不确定量为其德布罗意波 长时，其速度不确定量。 解：
h p
例2：（P261例21-8）设子弹的质量为0.01kg， 枪口的直径为0.1cm，试用不确定关系计算子弹 射出枪口的横向速度。
解： 取等号计算：
这就是子弹的横向速度，和子弹飞行速度每秒几百米相 比，这一横向速度是微不足道的，它的波动性不会对它 的“经典式”运动以及射击时的准确性有任何影响。
例3: 电视显象管中电子的加速电压为９kV ， 电子枪的枪口的直径为 0.01 ㎝ 。试求： 电子射出电子枪后的横向速度的不确定量。 解： 电子横向位置的不确定量: x 0.01cm
h 6.63 1034 x 7.3 m s 31 4 m x 9.11 10 1.0 10
电子经过加速后出口速度为：
2eU 2 EK 2 1.6 1019 9 103 7 5.6 10 m/s 31 9.11 10 m m 由于 x ，所以电子运动速度相对来说 仍然是相当确定的，波动性不起什么实际影响。
例4: 氢原子中电子的速度为 106m/s，原子的线度 约为10-10m，求: 原子中电子速度的不确定量。 解：原子中的电子位置的不确定量:
mo 1
2
c2
h 2 1 2 m0 c
h hc hc E 2 E0 2 p pc
hc （Ek E0 ) E0
2 2
( p 2 c 2 E 2 E0 2 )
hc E k 2 2 E0 E k


h 2m0 Ek (1 E K / 2mo c 2 )
px
y
电子通过狭缝时的 位置的不确定量： x a 电子通过狭缝后，由 于衍射原因，电子动量的 方向有了改变，要到达屏 上不同的点，具有 x 方向 动量 Px 。
x
px py
p

a x o
px
y
如果只考虑1级衍射图样。 根据单缝衍射公式，其第一级的衍射角满足：
（k 1） a sin
d
晶面
实验结果:
1.65 10 m
10
10
理论值为： 1.67 10 实验结果与理论计算结果一致
m
（1）证明了电子具有波动性，也证明了德布罗
意波长公式得正确性。 （2）说明实物粒子具有波动性，实物粒子有
能量E,动量p，质量m——粒子性 ∴实物粒子具有波粒二象性
三、应用举例
x px h
x px / 2
h 2
由于上述公式通常只用于数量级的估计， 所以这些公式所反映的物理内涵是相同的。 它又常简写为： x p
x
推广到三维空间， y p y 则还应有：
,
z pz
说明：
x px h
21.4
德布罗意假设
电子衍射实验
基本内容
• 基本概念：物质波 实物粒子的波粒二象性 • 基本规律：德布罗意假设 不确定关系
• 作业：练习40 德布罗意假设 电子衍射实验 不 确定关系
教学基本要求
1 了解德布罗意假设及电子衍射实验，了解 物质的波粒二象性，理解描述物质波动性 的物理量（波长、频率）和描述粒子性的 物理量（动量、能量）之间的关系。 2 了解一维坐标动量不确定关系
2d sin
衍射角
镍晶体: d 0.091nm 实验结果: 1.65 1010 m 另：由德布罗意公式：
0 10 20 30 40 50 60 70 80
入射电子束
h h m0 v 2m0 Ek h 1.67 1010 m 2m0eU
散射电子束
原子 晶体表面
1、德布罗意物质波的假设
质量为 m、速率为 的自由粒子，
一方面可以用能量 E 和动量 P 来描述它的粒子性；
另一方面可用频率
ν 和波长 λ 来描述它的波动性。
它们之间的关系为：
E mc 2 h
h P = mυ = λ
（德布罗意公式）
实物粒子的波称为德布罗意波或物质波， 物质波的波长称为德布罗意波长。
21.4 德布罗意假设 电子衍射实验
法国物理学家， 1923年他提 出电子既具有粒子性又具有波动 性。1924年正式发表一切物质都 具有波粒二象性的论述，并建议 用电子在晶体上做衍射实验来验 证。1927年被实验证实。 1929年诺贝尔物理学奖获得 者，波动力学的创始人，量子力 学的奠基人之一。
德布罗意
h 6.63 1034 ＝ 1.33 1025 nm 0.01 500 mv
宏观物体（子弹）由于波长小到实验难以测量 的程度，因而宏观物体表现出粒子性。
②
6.63 1034 h 146nm 31 7 ＝0. mv 9.1 10 5 10
此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当， 微观物体具有出波动性。
电子显微镜： 根据电子的波动性设 计制造的。 特点：电子的波长短， 分辨率R高。
R 1 0.82 D
min
如今它已成为探索物质结构，研究、开发新材 料的重要科研工具。
因而不仅能够直接看到蛋白质一类大分子，还能 分辨单个原子，对研究分子、原子结构提供了工具。
一、测不准关系 1、微观粒子运动特性 宏观物体： 运动状态的描述量：动量（速度）、 位置可同时确定——具有确定的轨道。 微观粒子： 由于具有波粒二象性， 其粒子性，它有确定位置和动量； 其波动性，它有确定动量，但没有 确定位置，其位置和动量不能同时 确定——没有确定轨道
I
G
电子枪

K
U
入射束

镍单晶
54
U
戴维逊－革末实验装置
实验发现，电子束 强度并不随加速电压而 单调变化，而是出现一 系列峰值。
求电子波的波长。
由布拉格公式： 2d sin k
电子对晶面的掠射角为（k 1）
65 2 2

U 54V
相 对 强 度
50
21.5 测不准关系
2.海森堡测不准关系 1927年，海森堡发现，位置和动量不能同 时确定的范围之间存在着一定的关系，而且位 置和动量的不确定性受到了普朗克常量的限制。
这一关系叫测不准关系。
---海森伯测不准关系
---海森伯测不准关系
下面用电子的单缝衍射为例来说明测不准关系：
x
px
p py

a x o
E mc 2 h
h P = mυ = λ
E 频率： = h
德布罗意
波长:
h h P m
说明： ①它是光子（粒子）公式的推广
②和实物粒子相联系的波——称德布罗意波 （物质波）
p m
p mo 1
m
m0 1
2
c2

2
c2
h 2 1 2 m0 c
p
p m
h h 2 = 1 2 p m0 c

h 2 m0 Ek (1 E K / 2 mo c 2 )
p m0
h h p m0
1 Ek = m 2 m0c 2 2
h m 0
h 2m0 Ek
例1：①飞行的子弹，m = 10-2kg，v = 500m/s； ② 电子m=9.1×10-31kg，v =5.0×107m/s；求λ。 解： ①
sin

a
第一级的衍射角满足： si n
动量在 Ox 轴上的 分量的不确定量为：

a
x a
x
p px p sin x
代入德布罗意关系：
px py
p

a x o
px
y
h p
即：
h p x x
x px h
考虑到更高级次的衍射图样，则应有：
1）它不仅适用于光子、电子，还适用于其他 微观粒子。 2）表明：对于微观粒子不能用同时确定的位 置和确定的动量来描述
粒子位置的不确定量越小，动量的不确 定量就越大，反之亦然。
微观粒子这个特性，是由于它既具有粒 子性，也同时具有波动性的缘故。
用特例说明：
其动能为
两边微分：
利用位置与动量的测不准关系
戴维孙－革末实验结果表明：
电子探测器 散射束 电子枪

G
K
U
入射束

镍单晶
戴维逊－革末实验装置
（1）散射电子束在某些方向上特别强；这 种现象类似于Ｘ射线被单晶衍射的情形，从 而显示了电子束的波动特性。
（2）使电子束与散射线之间的夹角 θ 保持不变， 并测量在不同加速电压下散射电子束的强度。
电子探测器 散射束
海森堡（W. K. Heisenberg，1901-1976） 海森堡对原子核也有很深 的研究。他不仅发展了原子核 基本粒子理论，而且在铀核分 裂被发现后，还完成了核反应 堆理论。他还完成了爱因斯坦 想解决却一直没能解决的统一 场理论。 由于他取得的上述巨大成 就，使他成了20世纪最重要的 理论物理和原子物理学家。
k sin a
x a
x
px
p
h 德布罗意关系： p
pk px p sin x
py

a x o
px
y
x px h
上述讨论，只反映不确定关系的实质， 并不表示准确的量值关系。
1927年德国物理学家海森伯由量子力学 得到位置与动量不确定量之间的关系：
X 射线波长的数量级为 10 -9 10-11 m
例2：静止的电子经电场加速，加速电势差为U=150v ， 速度 υ << c。求：德布罗意波长 。不考虑相对论效应。