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三、根轨迹的概念
设系统的开环传递函数为:
Gk
s

kg N (s) D(s)
k g为根轨迹增益(或根轨迹的放大系数)
其中:
n
N (s) (s z j ),
n
D(s) (s pj )
j 1
j 1
可得到系统的闭环特征方程式为:
此时系统的闭环极点与开环极点相同(重合)，把开环极点 称为根轨迹的起点。
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规则二 根轨迹的终点
m
由根轨迹的幅值条件可知：
s zj
j1
n
s pi
1 kg
i 1
当 kg 时，必有 s z j ( j 1, 2, , m)
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规则四 实轴上的根轨迹
实轴上的根轨迹由相角条件可证:设某段右侧的零,极点数分
别为： N z , N p
m
n
则: i j Nz N p (1 2k)
i 1
j1
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我们可以把系统的闭环特征方程的根描述成: 凡是满足幅值条件和相角条件的s值称为特征方程 的根——即闭环极点。
注：因为K g从0 变化，因此不论什么s值,总有一个 Kg 存在,使幅值条件得到满足,所以,实际上只要满足 相角条件的s值就是闭环极点,而由此s值,再由幅值条 件可确定此时系统对应的K g值。
当 k g由0到∞连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s 在平面上的变化也是连续的，因此,根轨迹是n条连续的曲线。
由于实际的物理系统的参数都是实数,如果它的特征方程有复 数根的一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称 于实轴的。
结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨 迹是连续且对称于实轴的曲线。
1 Gk
s

0
1
kg
N s Ds

0
即：
N(s) 1
D(s) kg

n
(s zi )
i 1
n
(s pj)
j1
zi 开环的零点
pi
开环的极点
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根轨迹图是闭环系统特征方程的根（闭环极点）随开环系 统某一参数由0变化到∞时在S平面上留下的轨迹。
性能
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二、根轨迹与系统性能
稳定性 当增益K1由0→∞ ，根轨迹不会越过虚轴进入s平面右半 边，因此系统对所有的值都是稳定的。如果系统特征方程的根 都位于s平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根 轨迹穿越虚轴进入右半s平面,根轨迹与虚轴交点处的K值，就是 临界稳定的开环增益。 稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属Ⅰ型系统, 因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的 稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。
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5.2 根轨迹的绘制规则
通常，我们称以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹为 普通根轨迹（或 180°根轨迹），简称根轨迹。
规则一 根轨迹的起点 s zj
j 1 n
s pi
1 kg
i1
当 kg 0 ,必有 s pi (i 1, 2, , n)
k
的变化在S平面
g
上的分布情况。
解 系统的闭环特征方程： s2 2s kg 0
特征方程的根是： s1,2 1 1 k g 设 kg 的变化范围是〔0, ∞﹚
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当 kg 0 时, s1 0, s2 2
当 0 kg 1 时, s1与 s2 为不相等的两个负实根；
本章重点
根轨迹的概念、幅值条件、 相角条件 根轨迹的基本绘制规则 等效传递函数的概念 根轨迹的简单应用
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5.1 根轨迹的基本概念
一、一个例子
例5-1 一单位负反馈系统的开环传递函数为：
Gk
s

kg s(s
2)
试分析该系统的特征方程的根随系统参数
当 kg 1时， s1 s2 1 为等实根；
当 kg 1 时，s1,2 1 j kg 1 共轭复根。
该系统特征方程
S Kg
j
的根，随开环系
统参数k从0变到 ∞时，在S平面 上变化的轨迹如 图所示。
kg 0
P1
kg 1 kg 0
P2

Kg
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规则三 根轨迹的分支数、连续性和对称性
根轨迹的分支数即根轨迹的条数。根轨迹是描述闭环系统特 征方程的根（即闭环极点） 在s平面上的分布，那么，根轨迹 的分支数就应等于系统特征方程的阶数。
由例5-1 看出，系统开环根轨迹增益k（g 实变量）与复变量 s有一一对应的关系。
此时，系统的闭环极点与开环零点相同（重合），我们把 开环零点称为根轨迹的终点。
结论：根轨迹起始于开环极点 (kg 0) ，终止于开环
零点 (kg ) 。
如果开环极点数n大于开环零点数m,则有n-m条根轨迹终止 于S平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环 极点数n，则有m-n 条根轨迹起始于S平面的无穷远处。
由此可得到满足系统闭环特征方程的幅值条件和相角条件为：
幅值条件:
n
n
1 kg

(s zi )
i 1
n
(s pj)
(s zi ) i1
n
(s pj)
j 1
j 1
相角条件:
m
n
(s zi ) (s pi ) (1 2k) , k 0,1, 2, 3....
动态性能 当0 kg 1 时, 所有闭环极点均位于实轴上,系统为过
阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。
当 kg 1 时，特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼
系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。
当 kg 1 时，特征方程为一对共轭复根系统为欠阻尼系统，
单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随K g值的 增加而加大，但调节时间不会有显著变化。