当前位置:文档之家› 平面向量的数量积优秀教案第一课时

平面向量的数量积优秀教案第一课时

2.4《平面向量的数量积》教案(第一课时)
教材分析:
教材从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的5个重要性质,运算律。

向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来,这样为解决三角形的有关问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题。

教学目标:
1.掌握平面向量数量积的定义
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律
教学重点:
平面向量的数量积定义.
教学难点:
平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学方法:
1. 问题引导法
2. 师生共同探究法
教学过程:
一.回顾旧知
向量的数乘运算定义:一般地,实数λ与向量的积是一个向量,记作λ, 它的长度和方向规定如下:
(1)= (2)当λ>0时,λ的方向与a 方向相同,当λ<0时, λ的方向与a 方向相反 特别地,当0=λ或=时,=λ 向量的数乘运算律:设a ,b 为任意向量,λ,μ为任意实数,则有: ① λ(μ)=()λμ
② (λ+μ)=μλ+
③ λ(+)=λλ+
二.情景创设
问题1. 我们已经学习了向量的加法,减法和数乘,它们的运算结果都是向量,
那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢?这种新的运算结果又是什么呢?
三.学生活动
联想:物理中,功就是矢量与矢量“相乘”的结果。

问题2. 在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ,那么力F 所做的功为多少?
W 可由下式计算:W =|F |·|s |cos θ,其中θ是F 与s 的夹角.
若把功W 看成是两向量F 和S 的某种运算结果,显然这是一种新的运算,我们引入向量数量积的概念.
四.建构数学
1.向量数量积的定义
已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角是θ,则数量|a ||b |cos θ叫a 与b
的数量积,记作a ·b ,即有a ·b =|a ||b |cos θ
说明:(1)向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量,符号由夹角决定
(2)θ是a 与b 的夹角;范围是0≤θ≤π,(注意在两向量的夹角定义中,两向量
必须是同起点的.)
当θ=0时,a 与b 同向;a ·b =|a ||b |cos0=|a ||b
| 当θ=π2 时,a 与b 垂直,记a ⊥b ;a ·b =|a ||b |cos 2
π=0 当θ=π时,a 与b 反向;a ·b =|a ||b |cos π=-|a ||b |
(3)规定·
a =0;a 2=a ·a =|a |2或|a (4)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替
2. 向量数量积的运算律 已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:
①a ·b =b ·
a (交换律) ②(λa )·
b =λ (a ·b )=a ·
(λb ) (数乘结合律) ③(a +b )·=a ·+b · (分配律) ④(a ·b )c ≠a (b ·
c ) (一般不满足结合律) 五.例题剖析
加深对数量积定义的理解
例1 判断正误,并简要说明理由.
① ∙=;
② 0∙=0;
③ 若a ≠0,则对任意非零向量b ,有0≠⋅b a
④ 如果〉⋅,那么a 与b 夹角为锐角
⑤ 若c b c a ⋅=⋅,则b a =
⑥ 若0≠c 且c b c a ⋅=⋅,则b a =
⑦ 若//,则a ·b =|a ||b |
⑧ 与是两个单位向量,则2=2
数量积定义运用
例2: 已知a =2,b =3,θ为a 与b 的夹角,分别在下列条件下求·
(1)a 与b 的夹角为135° (2)∥ (3)⊥
变式:已知||=4,||=6,a 与b 的夹角θ为60°,求
(1) b a ⋅ (2)()b a a +⋅ (3)()()
b a b a 32+⋅-
概念辨析,正确理解向量夹角定义
例3 已知△ABC 中,a =5,b =8,C =60°,求BC →·CA →
变式:三角形ABC 中,若0〉⋅,判断三角形ABC 的形状
()BC AD DAB ABCD ⋅=∠==︒.1:,60,34,.4求中在平行四边形例
()DA AB ⋅.2
六.课堂小结
通过本节学习,要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律,并能运用它们解决相关的问题.
七.课堂检测
1.
=4
=6,m 与n 的夹角为0150,则=⋅n m .
2.若⋅<0,则与的夹角θ的取值范围是( ) A. 0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. ,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. ,2ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
3.下列等式中,其中正确的是 ( )

2a = ② 2a b a ⋅a ③ ()222b a b a ⋅=⋅ ④()2b a +=2
22b b a a +⋅+ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.
5=
8=,20-=⋅b a ,则a 与b 的夹角为 。

5.已知单位向量1e 和2e 的夹角为060,则()()
=+⋅-2121232e e e e 。

八.课后作业
必做题:课本81页 习题2.4 第1,2题
九.教学反思
教学中应该强调向量数量积是实数,但与实数运算律有很大区别。

讲解数量积定义时可适当拓展数量积几何意义,让学生了解投影的概念。

相关主题