第一篇 集合与不等式 专题1.01 集 合【考纲要求】1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 【知识梳理】 1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意x ∈A ，都有x ∈B ，则A ⊆B 或B ⊇A.(2)真子集：若A ⊆B ，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则A B ⊂≠或B A ⊃≠.(3)相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示A ∪BA∩B若全集为U ，则集合A 的补集为∁UA图形表示集合表示{x|x ∈A ，或x ∈B}{x|x ∈A ，且x ∈B}{x|x ∈U ，且x ∉A}4.集合的运算性质(1)A∩A ＝A ，A∩∅＝∅，A∩B ＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.【微点提醒】1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).【疑难辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.()(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.()(4)含有n个元素的集合有2n个真子集.()【教材衍化】2.(必修1P12A5改编)若集合P＝{x∈N|x≤ 2 019}，a＝22，则()A.a∈PB.{a}∈PC.{a}⊆PD.a∉P3.(必修1P12B1改编)已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N的子集的个数为________.【真题体验】4. ①（2019·全国Ⅰ卷）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<② (2018·全国Ⅰ卷)已知集合A ＝{x|x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A.{x|－1<x<2}B.{x|－1≤x≤2}C.{x|x<－1}∪{x|x>2}D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}5.(2019·菏泽模拟)若A ＝{x|x ＝4k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x|x ＝2k －1，k ∈Z}，则集合A 与B 的关系是A________B.6.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y)|x ，y ∈R ，且y ＝x}，则A∩B 中元素的个数为________.【考点聚焦】考点一 集合的基本概念【例1】 (1)(2019·湖北四地七校联考)若集合M ＝{x||x|≤1}，N ＝{y|y ＝x 2，|x|≤1}，则( ) A.M ＝N B.M ⊆N C.M ∩N ＝∅D.N ⊆M(2)若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系”集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有“伙伴关系”的集合的个数是( ) A.1 B.3 C.7 D.31【规律方法】1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【训练1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z}，则A 中元素的个数为( ) A.9B.8C.5D.4(2)设集合A ＝{x|(x －a)2<1}，且2∈A ，3∉A ，则实数a 的取值范围为________.考点二 集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合A ＝{x|y ＝1－x 2，x ∈R}，B ＝{x|x ＝m 2，m ∈A}，则( ) A.A ØB B.B ØA C.A ⊆BD.B ＝A(2)(2019·杭州调研)已知集合A ＝{x|x 2－5x －14≤0}，集合B ＝{x|m ＋1<x<2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________.1.若B ⊆A ，应分B ＝∅和B≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解.【训练2】 (1)(2019·青岛质检)设集合M ＝{x|x 2－x>0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x <1，则( )A.M ØNB.N ØMC.M ＝ND.M ∪N ＝R(2)若将本例(2)的集合A 改为A ＝{x|x 2－5x －14>0}.其它条件不变，则m 的取值范围是________.考点三 集合的运算 角度1 集合的基本运算【例3－1】 (1)已知集合A ＝{x|x<2}，B ＝{x|3－2x>0}，则( ) A.A∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x<32 B.A∩B ＝∅ C.A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x<32D.A ∪B ＝R(2)(2018·天津卷)设全集为R ，集合A ＝{x|0<x<2}，B ＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( ) A.{x|0<x≤1} B.{x|0<x<1} C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}角度2 抽象集合的运算【例3－2】 设U 为全集，A ，B 是其两个子集，则“存在集合C ，使得A ⊆C ，B ⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件角度3 集合的新定义问题【例3－3】 若集合A 具有以下性质：(ⅰ)0∈A ，1∈A ；(ⅱ)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x≠0时，1x∈A.则称集合A 是“好集”.给出下列说法：①集合B ＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q 是“好集”；③设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A. 其中，正确说法的个数是( ) A.0 B.1C.2D.3【规律方法】1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.注意数形结合思想的应用.(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解.(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.【训练3】 (1)(2019·延安模拟)若全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{－2，2}，B ＝{x|x 2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{－1，0，1}B.{－1，0}C.{－1，1}D.{0}(2)已知集合A ＝{x|x 2－x≤0}，B ＝{x|a －1≤x<a}，若A∩B 只有一个元素，则a ＝( ) A.0 B.1C.2D.1或2【反思感悟】1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.【易错防范】1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：30分钟)一、选择题1.(2018·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝()A.{0}B.{1}C.{1，2}D.{0，1，2}2.(2019·滨州模拟)设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.63.(2019·日照质检)已知全集U＝{0，1，2，3，4}，若A＝{0，2，3}，B＝{2，3，4}，则(∁U A)∩(∁U B)＝()A. B.{1} C.{0，2} D.{1，4}4.设集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|x<0}，则下列结论正确的是()A.(∁R A)∩B＝{x|x<－1}B.A∩B＝{x|－1<x<0}C.A∪(∁R B)＝{x|x≥0}D.A∪B＝{x|x<0}5.已知集合A＝{x∈N|x2－2x－8≤0}，B＝{x|2x≥8}，则集合A∩B的子集的个数为()A.1B.2C.3D.46.已知集合M＝{x|y＝x－1}，N＝{x|y＝log2(2－x)}，则∁R(M∩N)＝()A.[1，2)B.(－∞，1)∪[2，＋∞)C.[0，1]D.(－∞，0)∪[2，＋∞)7.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是()A.0B.1C.2D.38.(一题多解)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围为()A.(0，1]B.[1，＋∞)C.(0，1)D.(1，＋∞)二、填空题9.设集合S ＝{x|(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x|x>0}，则(∁R S)∩T ＝________.10.(2017·江苏卷)已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2＋3}，若A∩B ＝{1}，则实数a 的值为________.11.(2019·济南质检)已知集合A ＝{1，3，4，7}，B ＝{x|x ＝2k ＋1，k ∈A}，则集合A ∪B 中元素的个数为________.12.集合A ＝{x|x<0}，B ＝{x|y ＝lg[x(x ＋1)]}，若A －B ＝{x|x ∈A ，且x ∉B}，则A －B ＝________.【能力提升题组】(建议用时：10分钟)13.(2018·河南百校联盟联考)若集合A ＝{x|y ＝lg(3x －x 2)}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝1＋4x ＋1，x ∈A，则A∩(∁R B)等于( ) A.(0，2]B.(2，3)C.(3，5)D.(－2，－1)14.已知集合A＝{x|y＝4－x2}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为()A.(－∞，－3]∪[2，＋∞)B.[－1，2]C.[－2，1]D.[2，＋∞)15.已知集合A＝{(x，y)|x2＝4y}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B的真子集个数是________.16.集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是________.【新高考创新预测】17.(多填题，答案不唯一型)若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c ＝2；④d≠4有且只有一个是正确的.请写出满足上述条件的一个有序数组(a，b，c，d)＝________，符合条件的全部有序数组(a，b，c，d)的个数是________.。