一、考情分析集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中.二、经验分享(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合;如下面几个集合请注意其区别: ①{}220x x x -=;②{}22x y x x =-;③{}22y y x x =-;④(){}2,2x y y xx =-.(2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy =的整数解集可表示为()()()(){}1,2,2,1,1,2,2,1----.(3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. (4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.(5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.(6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:①紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;②用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.三、知识拓展1.若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n -1. 2.A ⊆B ⇔A ∩B =A ⇔A ∪B =B ()()UUAB A B U ⇔=∅⇔= .3.奇数集:{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z .4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F 是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F 中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F 中的数,即运算封闭,则称F 为数域.四、题型分析(一)与数集有关的基本运算【例1】【2018年理新课标I 卷】已知集合,则A. B.C.D.【分析】首先利用一元二次不等式的解法,求出的解集,从而求得集合A ,之后根据集合补集中元素的特征,求得结果.【点评】对于集合的运算,一般先把参与运算的集合化简,解题的过程中,需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征,从而求得结果,要注意端点值的取舍.【小试牛刀】【2017全国1理1】已知集合{}1A x x =<,{}31xB x =<,则( ). A. {}0AB x x =< B. A B =R C. {}1A B x x => D. A B =∅【答案】A【解析】{}1A x x =<,{}{}310xB x x x =<=<,所以{}0AB x x =<,{}1A B x x =<.故选A.(二)与点集有关的基本运算 【例2】已知3(,)|3,{(,)|20},2y M x y N x y ax y a M N x -⎧⎫===++==∅⎨⎬-⎩⎭,则=a ( )A .-2B .-6C .2D .一2或-6【分析】首先分析集合M 是除去点(2,3)的直线33y x =-,集合N 表示过定点(1,0)-的直线,MN =∅等价于两条直线平行或者直线20ax y a ++=过(2,3),进而列方程求a 的值. 【解析】由3333(2)2y y x x x -=⇒=-≠-若M N φ=,则①:点(2,3)在直线20ax y a ++=上,即2602a a a ++=⇒=-;②:直线33y x =-与直线20ax y a ++=平行,∴362aa -=⇒=-,∴2a =-或6-.【点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键. 【小试牛刀】【2018年理数全国卷II 】已知集合,则中元素的个数为A. 9B. 8C. 5D. 4 【答案】A 【解析】,当时,;当时,;当时,;所以共有9个,选A.(三)根据数集、点集满足条件确定参数范围【例3】设常数a ∈R ,集合A ={x |(x -1)(x -a )≥0},B ={x |x ≥a -1},若A ∪B =R ,则a 的取值范围为( ) A .(-∞,2) B .(-∞,2] C .(2,+∞) D .[2,+∞)【分析】先得到A =(-∞,1]∪[a ,+∞),B =[a -1,+∞),再根据区间端点的关系求参数范围.【点评】求解本题的关键是对a 进行讨论.【小试牛刀】已知P ={x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素,则k 的取值范围为________. 【答案】(5,6]【解析】因为P 中恰有3个元素,所以P ={3,4,5},故k 的取值范围为5<k ≤6. (四) 数集、点集与其他知识的交汇【例4】已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体:存在非零常数T,对任意x ∈R,有()()f x T Tf x +=成立.(1)函数()f x x =是否属于集合M ?说明理由;(2)设函数()(0x f x a a =>且1a ≠)的图象与y x =的图象有公共点,证明:()x f x a =∈M ;(3)若函数()sin f x kx =∈M ,求实数k 的取值范围.【分析】抓住集合M 元素的特征,集合M 是由满足()()f x T Tf x +=的函数构成. 【解析】(1)对于非零常数T ,f (x +T )=x +T ,Tf (x )=Tx . 因为对任意x ∈R,x +T =Tx 不能恒成立,所以f (x )=x M .(2)因为函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)的图象与函数y =x 的图象有公共点, 所以方程组:⎪⎩⎪⎨⎧==xy a y x 有解,消去y 得a x =x ,显然x =0不是方程的a x =x 解,所以存在非零常数T ,使a T =T . 于是对于f (x )=a x ,有f (x +T )=a x +T = a T ·a x =T ·a x =T f (x ),故f (x )=a x ∈M .【点评】集合与其他知识的交汇处理办法往往有两种:其一是根据函数、方程、不等式所赋予的实数的取值范围,进而利用集合的知识处理;其二是由集合的运算性质,得到具有某种性质的曲线的位置关系,进而转化为几何问题处理.【小试牛刀】在直角坐标系xoy 中,全集},|),{(R y x y x U ∈=,集合}20,1sin )4(cos |),{(πθθθ≤≤=-+=y x y x A ,已知集合A 的补集A C U 所对应区域的对称中心为M ,点P 是线段)0,0(8>>=+y x y x 上的动点,点Q 是x 轴上的动点,则MPQ ∆周长的最小值为( ) A .24 B .104 C .14 D .248+ 【答案】B(五)与数集、点集有关的信息迁移题 【例5】若集合A 具有以下性质: (Ⅰ)0∈A,1∈A ;(Ⅱ)若x ∈A ,y ∈A ,则x -y ∈A ,且x ≠0时,1x ∈A .则称集合A 是“好集”.下列命题正确的个数是( ) (1)集合B ={-1,0,1}是“好集”;(2)有理数集Q 是“好集”;(3)设集合A 是“好集”,若x ∈A ,y ∈A ,则x +y ∈A . A .0 B .1 C .2 D .3【分析】抓住新定义的特点,根据“好集”满足的两个性质,逐个进行验证.【解析】选C,(1)集合B 不是“好集”,假设集合B 是“好集”,因为-1∈B,1∈B ,所以-1-1=-2∈B ,这与-2∉B 矛盾.(2)有理数集Q 是“好集”,因为0∈Q,1∈Q ,对任意的x ∈Q ,y ∈Q ,有x -y ∈Q ,且x ≠0时,1x ∈Q ,所以有理数集Q 是“好集”.(3)因为集合A 是“好集”,所以0∈A ,若x ∈A ,y ∈A ,则0-y ∈A ,即-y ∈A ,所以x -(-y )∈A ,即x +y ∈A .【点评】紧扣新定义,抓住新定义的特点,把新定义叙述的问题的本质搞清楚,并能够应用到具体的解题过程中. 【小试牛刀】【2017浙江温州高三模拟】已知集合22{(,)|1}M x y x y =+≤,若实数λ,μ满足:对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈,则称(,)λμ是集合M 的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数对”的是( )A .{(,)|4}λμλμ+=B .22{(,)|4}λμλμ+=C .2{(,)|44}λμλμ-=D .22{(,)|4}λμλμ-= 【答案】C.【解析】分析题意可知,所有满足题意的有序实数对(,)λμ所构成的集合为{(,)|11,11}λμλμ-≤≤-≤≤,将其看作点的集合,为中心在原点,(1,1)-,(1,1)--,(1,1)-,(1,1)为顶点的正方形及其内部,A,B,D 选项分别表示直线,圆,双曲线,与该正方形及其内部无公共点,选项C 为抛物线,有公共点(0,1)-,故选C.五、迁移运用1.【安徽省宿州市2018届第三次质检】已知全集,集合,集合,则( )A. B.C.D.【答案】A2.【四川省成都市2018届模拟】设,则是的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由得或,作出函数和,以及的图象,如图所示,则由图象可知当时,,当时,,因为,所以“”是“”的充分不必要条件,故选A.点睛:本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题,其中正确作出相应函数的图象,利用数形结合法求解是解答的关键,着重考查了数形结合思想方法的应用,以及推理与论证能力.3.【辽宁省葫芦岛市2018届第二次模拟】设集合,,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】,的子集个数为故选C.4.【河南省洛阳市2018届三模】设集合,,则的子集个数为()A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】C5.【安徽省皖江八校2018届联考】设集合,,若,则( )A.B.C.D.【答案】B 【解析】∵,∴,即,∴,故选B. 6.【山东省济南2018届二模】设全集,集合,集合则下图中阴影部分表示的集合为( )A. B.C.D.【答案】D【解析】由题意可得:,,∴故选:D7.【安徽省江南十校2018届二模理】已知全集为,集合,,则( )A.B.C.D.【答案】C 【解析】因为,,所以,即.8.【2018届四川成都高三上学期一诊模拟】已知集合2{|},{|320},A x x a B x x x =<=-+<若,A B B ⋂=则实数a 的取值范围是()A. 1a <B. 1a ≤C. 2a >D. 2a ≥【答案】D【解析】集合{}{}{}2|,|320|12A x x a B x x x x x =<=-+<=<<, ,A B B B A ⋂=∴⊆,则2a ≥,故选D.9.【2018届安徽蒙城高三上学期“五校”联考】已知集合{}{}0,1,1,0,3A B a ==-+,若A B ⊆,则a 的值为( )A. 2-B. 1-C. 0D. 1 【答案】A【解析】 因为{}{}0,1,1,0,3A B a ==-+,且A B ⊆, 所以31a +=,所以2a =-,故选A.10.【2018届湖南省五市十校教研教改共同体高三12月联考】已知集合{}220M x x x =--<,{}1N x y x ==-,则M N ⋃=( )A. {}1x x >-B. {}12x x ≤<C. {}12x x -<<D. {}0x x ≥ 【答案】A【解析】[)[){|12},1,1,2M x x N M N =-<<=+∞∴⋃=,选A. 11.已知集合,,则的元素个数为( )A .B .C .D . 【答案】B12.设集合,,记,则点集所表示的轨迹长度为( ) A .B .C .D .【答案】D 【解析】由题意的圆心为,半径为1,而圆心(-3sinα,-3cos α),满足(-3sinα)2+(-3cosα)2=9, 故圆心在以(0,0)圆心,半径为3的圆上,∴集合A 对应的几何图形为圆x 2+y 2=4和x 2+y 2=16之间的圆环区域,13.【2017全国2理2】设集合{}1,2,4A =,{}240B x x x m =-+=.若1AB =,则B =().A .{}1,3-B .{}1,0C .{}1,3D .{}1,5 【答案】C【解析】由题意知1x =是方程240x x m -+=的解,代入解得3m =,所以2430x x -+=的解为1x =或3x =,从而{}13B =,.故选C.14.若集合{}2|870,|3x M x N x x P x N ⎧⎫=∈-+<=∉⎨⎬⎩⎭,则M P 等于( )A.{}3,6B.{}4,5C.{}2,4,5D.{}2,4,5,7 【答案】C【解析】因为{}{}{}2|870|17=2,3,4,5,6,|3x M x N x x x N x P x N ⎧⎫=∈-+<=∈<<=∉⎨⎬⎩⎭,所以{}2,4,5MP =,故选C.15.已知集合{}∅=-==B A x y x A ,1,则集合B 不可能是( ) A .{}124+<x x xB .{}1),(-=x y y xC .{}1-=x yD .{})12(log 22++-=x x y y【答案】D 【解析】{}{}11≥=-==x x x y x A ,{}{}1)12(log 22≤=++-=y y x x y y ,故选D. 16.已知集合M 是由具有如下性质的函数()f x 组成的集合:对于函数()f x ,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时有1212()()f x f x x x ->-.则下列函数①()(0)x f x e x =>;②ln ()x f x x=;③()f x x =;④()1sin f x x =+在集合M 中的个数是A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B对于③(),()02f x x f x x '==>,函数()f x 在(0,)+∞单调递增,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时,在()f x 单调增区间时有0()1f x '<<,此时只须1x >时可得0()1f x '<<.满足题意对于④()1sin ,,()cos f x x f x x '=+=,函数()f x 在3(2,2)()22k k k Z ππππ++∈单调递减,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时,在()f x 单调减区间时有()0f x '<,满足题意.17.设{}n a 是公比为q 的等比数列,||1q >,令1(1,2,)n n b a n =+=,若数列{}n b 有连续四项在集合{53,23,19,37,82}--中,则q =( )A .32-B .43-C .23-D .32【答案】A18.已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2≤1,x ,y ∈Z },B ={(x ,y )||x |≤2,|y |≤2,x ,y ∈Z },定义集合A ⊗B ={(x 1+x 2,y 1+y 2)|(x 1,y 1)∈A ,(x 2,y 2)∈B },则A ⊗B 中元素的个数为( ) A .77 B .49 C .45 D .30【答案】C【解析】如图,集合A 表示如图所示的所有圆点“”,集合B 表示如图所示的所有圆点“”+所有圆点“”,集合A ⊗B 显然是集合{(x ,y )||x |≤3,|y |≤3,x ,y ∈Z }中除去四个点{(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合A ⊗B 表示如图所示的所有圆点“”+所有圆点“”+所有圆点“”,共45个.故A ⊗B 中元素的个数为45.故选C.19.非空集合G 关于运算⊕满足:(1)对任意a ,G b ∈,都有G a b ⊕∈;(2)存在G e ∈,使得对一切G a ∈,都有a e e a a ⊕=⊕=,则称G 关于运算⊕为“融洽集”.现给出下列集合和运算:①{}G =非负整数,⊕为整数的加法;②{}G =偶数,⊕为整数的乘法;③{}G =平面向量,⊕为平面向量的加法;④{}G =二次三项式,⊕为多项式的加法;⑤{}G =虚数,⊕为复数的乘法.其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是( )A .①③B .②③C .①⑤D .②③④【答案】B20.若集合(){},,,|04,04,04,,,E p q r s p s q s r s p q r s N =≤<≤≤<≤≤<≤∈且,(){},,,|04,04,,,F t u v w t u v w t u v w N =≤<≤≤<≤∈且,用()card X 表示集合X 中的元素个数,则()()card E card F +=( )A .50B .100C .150D .200【答案】D【解析】()()333312341010200card E card F +=++++⨯=,故选D. 21.【2018届江苏省南京市多校高三上学期第一次段考】已知集合{}1,2,21A m =--,集合{}22,B m =,若B A ⊆,则实数m =__________.【答案】1【解析】由题意得2211m m m =-⇒=,验证满足22.设P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a 、b P ∈,都有a b +、a b -、ab 、a P b ∈(除数0b ≠),则称P 是一个数域,例如有理数集Q 是数域,有下列命题:①数域必含有0,1两个数;②整数集是数域;③若有理数集Q M ⊆,则数集M 必为数域;④数域必为无限集.其中正确的命题的序号是 .【答案】①④【解析】当a b =时,0,1a a b P b -==∈,故可知①正确;当11,2,2a b Z ==∉不满足条件,故可知②不正确;对③当M 中多一个元素i 则会出现1i M +∉所以它也不是一个数域;故可知③不正确;根据数据的性质易得数域有无限多个元素,必为无限集,故可知④正确,故答案为①④.【点评】本题考查简单的合情推理、新定义问题以及转化与划归思想,属于难题.新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本题的解答都围绕新概念“数域” 对任意a 、b P ∈,都有a b +、a b -、ab 、a P b∈这一性质展开的.。